(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1
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1、 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單問題. 知識點一 雙曲線的定義 思考 若取一條拉鏈,拉開它的一部分,在拉開的兩邊上各選擇一點,分別固定在點F1,F(xiàn)2上,把筆尖放在點M處,拉開或閉攏拉鏈,筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線,那么曲線上的點應(yīng)滿足怎樣的幾何條件? 答案 如圖,曲線上的點滿足條件:|MF1|-|MF2|=常數(shù);如果改變一下筆尖位置,使|MF2|-|MF1|=常數(shù),可得到另一條曲線. 梳理 (1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對
2、值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距; (2)關(guān)于“小于|F1F2|”:①若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其余條件不變,則動點軌跡是以F1,F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點);②若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”,其余條件不變,則動點軌跡不存在. (3)若將“絕對值”去掉,其余條件不變,則動點的軌跡只有雙曲線的一支. (4)若常數(shù)為零,其余條件不變,則點的軌跡是線段F1F2的中垂線. 知識點二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考 雙曲線中a,b,c的關(guān)系如何?與橢圓中a,b,c的關(guān)系有何不
3、同? 答案 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a與b的大小關(guān)系不確定;而在橢圓中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c與b大小不確定. 梳理 (1)雙曲線兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點所在的坐標(biāo)軸 x軸 y軸 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 圖形 焦點坐標(biāo) F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) a,b,c的關(guān)系式 a2+b2=c2 (2)焦點F1,F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點跟著
4、正項走”,若x2項的系數(shù)為正,則焦點在x軸上;若y2項的系數(shù)為正,那么焦點在y軸上. (1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(×) (2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F(xiàn)2(0,-4)的距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.(×) (3)平面內(nèi)到點F1(0,4),F(xiàn)2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(×) 類型一 雙曲線定義的應(yīng)用 例1 (1)若雙曲線E:-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 考點 雙曲線的定義 題點 雙
5、曲線定義的應(yīng)用 答案 B 解析 由雙曲線的定義,得||PF1|-|PF2||=2a=6, 即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9(負(fù)值舍去),故選B. (2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積等于( ) A.4 B.8 C.24 D.48 考點 雙曲線的定義 題點 雙曲線定義的應(yīng)用 答案 C 解析 由題意,得 解得 又由|F1F2|=10,可得△PF1F2是直角三角形, 則=×|PF1|×|PF2|=24. 反思與感悟 焦點F1,F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)
6、準(zhǔn)方程的類型.“焦點跟著正項走”,若x2項的系數(shù)為正,則焦點在x軸上;若y2項的系數(shù)為正,那么焦點在y軸上.雙曲線的焦點位置不確定時可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2+By2=1(AB<0). 跟蹤訓(xùn)練1 在△ABC中,已知|AB|=4,A(-2,0),B(2,0),且內(nèi)角A,B,C滿足sinB-sinA=sinC,求頂點C的軌跡方程. 考點 雙曲線的定義 題點 雙曲線定義的應(yīng)用 解 由sin B-sin A=sin C及正弦定理, 可得b-a=, 從而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|, 由雙曲線的定義知,點C的軌跡為雙曲線的右支. ∵a=,c=2, ∴b2=c2-a2=6,
7、 ∴頂點C的軌跡方程為-=1(x>). 類型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)焦距為26,且經(jīng)過點M(0,12); (2)雙曲線上兩點P1,P2的坐標(biāo)分別為(3,-4),. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 (1)∵雙曲線經(jīng)過點M(0,12),∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點,故焦點在y軸上,且a=12. 又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. (2)設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0), 則解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 反思與感悟
8、 待定系數(shù)法求方程的步驟
(1)定型:確定雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸.
(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,
①若不知道焦點的位置,則進(jìn)行討論,或設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0).
②與雙曲線-=1(a>0,b>0)共焦點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為-=1(-b2 9、
題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)由題意,知雙曲線的兩焦點為F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3).
設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),
將點A(4,-5)代入雙曲線方程,得-=1.
又a2+b2=9,解得a2=5,b2=4,
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
(2)若焦點在x軸上,
設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),
所以解得(舍去).
若焦點在y軸上,
設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),
將P,Q兩點坐標(biāo)代入可得解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
類型三 雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
例3 在相距 10、2000m的兩個哨所A,B,聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲.已知當(dāng)時的聲速是330m/s,在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4s,試判斷爆炸點在什么樣的曲線上,并求出曲線的方程.
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 設(shè)爆炸點為P,由已知可得|PA|-|PB|=330×4=1 320>0.
因為|AB|=2 000>1 320,
所以點P在以A,B為焦點的雙曲線的靠近B處的那一支上,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
使A,B兩點在x軸上,以線段AB的中點為坐標(biāo)原點.
由2a=1 320,2c=2 000,得a=660,c=1 000,b2=c2-a2=564 11、 400.
因此,點P所在曲線的方程是-=1(x≥660).
反思與感悟 可以結(jié)合雙曲線的性質(zhì),建立平面直角坐標(biāo)系,然后結(jié)合雙曲線的定義,建立關(guān)系式,然后化簡,求出相應(yīng)的方程.
跟蹤訓(xùn)練3 已知橢圓+=1與雙曲線-=1有交點P,且有公共的焦點,且∠F1PF2=2α,求證:tanα=.
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由雙曲線方程求參數(shù)
證明 如圖所示,設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,
則在△PF1F2中,
對于雙曲線有|r2-r1|=2m,
∴cos2α=
==
=-+1,
∴1-cos2α=,
∴sinα=.
則在△PF1F2中,對于橢圓有 12、r1+r2=2a,
cos2α==
==-1,
∴1+cos2α=,
∴cosα=,
∴tanα=.
1.若方程-=1表示雙曲線,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.-1 13、且|F1F2|=10,所以滿足條件|PF1|-|PF2|=10的點P的軌跡應(yīng)為一條射線.
3.(2018屆浙江東陽中學(xué)期中)△ABC的頂點為A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x>3) D.-=1(x>4)
答案 C
解析 由條件可得,圓與x軸的切點為T(3,0),由相切的性質(zhì)得|CA|-|CB|=|TA|-|TB|=8-2=6<10=|AB|,因此點C的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的右支.
由2a=6,2c=10,
得a=3,b=4,
所求的雙曲線方程為-=1.考慮到點C不在直 14、線AB上,故選C.
4.經(jīng)過點P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.
考點 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程
答案?。?
解析 設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),
則解得
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
5.橢圓+=1與雙曲線-=1有相同的焦點,則a的值為________.
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 1
解析 由題意知解得a=1.
1.雙曲線定義的理解
(1)定義中距離的差要加絕對值,否則只為雙曲線的一支.設(shè)F1,F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點,
15、
若|MF1|-|MF2|=2a,則點M在右支上;
若|MF2|-|MF1|=2a,則點M在左支上.
(2)雙曲線定義的雙向運用:
①若||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|),則動點M的軌跡為雙曲線;
②若動點M在雙曲線上,則||MF1|-|MF2||=2a.
2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
(1)定位:是指確定與坐標(biāo)系的相對位置,在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下,確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上,以確定方程的形式.
(2)定量:是指確定a2,b2的數(shù)值,常由條件列方程組求解.
特別提醒:若焦點的位置不明確,應(yīng)注意分類討論,也可以設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1的形式,為簡單起見,常 16、標(biāo)明條件mn<0.
一、選擇題
1.雙曲線2x2-y2=8的焦距是( )
A.2B.2C.4D.4
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 C
解析 因為雙曲線方程可化為-=1,
所以c2=4+8=12,得c=2,所以2c=4.
2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2為其兩個焦點,若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長|AB|=m,則△ABF2的周長為( )
A.4a B.4a-m
C.4a+2m D.4a-2m
考點 雙曲線的定義
題點 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 C
解析 不妨設(shè)|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義 17、,
知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,
于是△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.
3.若k∈R,則“k>5”是“方程-=1表示雙曲線”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 A
解析 當(dāng)k>5時,方程表示雙曲線;反之,當(dāng)方程表示雙曲線時,k>5或k<2.故選A.
4.已知雙曲線-=1的一個焦點是(0,2),則實數(shù)m的值是( ) 18、
A.1B.-1C.-D.
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 B
解析 由焦點坐標(biāo),知焦點在y軸上,∴m<0,
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,
∴-m-3m=4,∴m=-1.
5.已知雙曲線的中心在原點,一個焦點為F1(-,0),點P在雙曲線上,且線段PF1的中點的坐標(biāo)為(0,2),則此雙曲線的方程是( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
答案 B
解析 由已知條件,得焦點在x軸上,設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),則a2+b2=5.①
∵線段P 19、F1的中點的坐標(biāo)為(0,2),
∴點P的坐標(biāo)為(,4),將其代入雙曲線的方程,
得-=1.②
由①②解得a2=1,b2=4,∴雙曲線的方程為x2-=1.
6.已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2等于( )
A.B.C.D.
考點 雙曲線的定義
題點 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 C
解析 由雙曲線定義知,|PF1|-|PF2|=2,
又|PF1|=2|PF2|,
∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=4.
∴cos∠F1PF2=
===.
7.已知雙曲線C:x2-=1的右焦點 20、為F,P是雙曲線C的左支上一點,M(0,2),則△PFM的周長的最小值為( )
A.2+4 B.4+2
C.3 D.2+3
考點 雙曲線的定義
題點 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 A
解析 依題意可知,c=2,a=1,
所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,
F1為左焦點,當(dāng)M,P,F(xiàn)1三點共線時,
|PM|+|PF1|最小,最小值為|MF1|,|MF1|=2,
故周長的最小值為2+2+2=2+4.
二、填空題
8.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1的左、右焦點,PQ是過焦點F1的弦,且PQ的傾斜角為60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值為_ 21、_______.
考點 雙曲線的定義
題點 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 16
解析 在雙曲線-=1中,2a=8,
由雙曲線定義,得|PF2|-|PF1|=8,|QF2|-|QF1|=8,
所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=(|PF2|-|PF1|)+(|QF2|-|QF1|)=16.
9.若曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點在x軸上的雙曲線,則m的取值范圍為________.
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 (2,+∞)
解析 由曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點在x軸上的雙曲線,可得-=1,
即有m>0,且m-2>0,解得m>2.
22、
10.已知雙曲線的兩個焦點F1(-,0),F(xiàn)2(,0),P是雙曲線上一點,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.
考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
答案 -y2=1
解析 由題意可設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0).
由·=0,得PF1⊥PF2.
根據(jù)勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,
即|PF1|2+|PF2|2=20.
根據(jù)雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=±2a.
兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|=2,
得20-2×2=4a2,解得a2=4,
從而b2=5- 23、4=1,
所以雙曲線方程為-y2=1.
11.過雙曲線-=1的一個焦點作x軸的垂線,則垂線與雙曲線的一個交點到兩焦點的距離分別為________.
考點 雙曲線的定義
題點 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 ,
解析 因為雙曲線方程為-=1,
所以c==13.
設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,
則F1(-13,0),F(xiàn)2(13,0).
設(shè)過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(-13,y)(y>0),則=-1=,
所以y=,即|AF1|=.
又|AF2|-|AF1|=2a=24,
所以|AF2|=24+=.
即所求距離分別為,.
三、解答題
12.已知與雙曲線-=1 24、共焦點的雙曲線過點P,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
考點 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 已知雙曲線-=1,
由c2=a2+b2,得c2=16+9=25,∴c=5.
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0).
依題意知b2=25-a2,
故所求雙曲線方程可寫為-=1.
∵點P在所求雙曲線上,
∴-=1,
化簡得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=.
當(dāng)a2=時,b2=25-a2=25-=-<0,
不合題意,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
13.已知雙曲線-=1的左、右焦點分 25、別為F1,F(xiàn)2.
(1)若點M在雙曲線上,且·=0,求M點到x軸的距離;
(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點,且過點(3,2),求雙曲線C的方程.
考點 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)如圖所示,不妨設(shè)M在雙曲線的右支上,M點到x軸的距離為h,·=0,
則MF1⊥MF2,
設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,
由雙曲線定義,知m-n=2a=8,①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·n=8,
∴mn=4=|F1F2|·h,
∴h=.
(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為
-=1(-4<λ<16),
由于雙曲線C過點(3,2 26、),
∴-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求雙曲線C的方程為-=1.
四、探究與拓展
14.若雙曲線-y2=1(n>1)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2,則△PF1F2的面積為( )
A.1B.C.2D.4
考點 雙曲線的定義
題點 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 A
解析 設(shè)點P在雙曲線的右支上,
則|PF1|-|PF2|=2,
已知|PF1|+|PF2|=2,
解得|PF1|=+,|PF2|=-,
|PF1|·|PF2|=2.
又|F1F2|=2,
則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以△ 27、PF1F2為直角三角形,
且∠F1PF2=90°,
于是=|PF1|·|PF2|=×2=1.
故選A.
15.已知△OFQ的面積為2,且·=m,其中O為坐標(biāo)原點.
(1)設(shè)<m<4,求與的夾角θ的正切值的取值范圍;
(2)設(shè)以O(shè)為中心,F(xiàn)為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q,如圖所示,||=c,m=c2,當(dāng)||取得最小值時,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
考點 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)因為
所以tan θ=.
又<m<4,
所以1<tan θ<4,
即tan θ的取值范圍為(1,4).
(2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),
Q(x1,y1),則=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=||·|y1|=2,則y1=±.
又·=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,
解得x1=c,
所以||==≥=2,
當(dāng)且僅當(dāng)c=4時,取等號,||最小,
這時Q的坐標(biāo)為(,)或(,-).
因為所以
于是所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
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