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2022年高一數(shù)學(xué)必修4 3-2簡(jiǎn)單的三角恒等變換 教案1

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1、2022年高一數(shù)學(xué)必修4 3-2簡(jiǎn)單的三角恒等變換 教案1 一、教學(xué)目標(biāo) 重 點(diǎn): 引導(dǎo)學(xué)生以三角函數(shù)的和(差)公式與倍角公式為依據(jù),推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式以及積化和差、和差化積公式. 難 點(diǎn):認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn),并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì),不斷提高從整體上把握變換過(guò)程的能力. 知識(shí)點(diǎn):半角的正弦、余弦、正切公式、積化和差與和差化積公式. 能力點(diǎn):能運(yùn)用二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式,并能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式,能利用公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明.體會(huì)換元、化歸、方程等思想,提高學(xué)生的觀察能力、推理能力和

2、運(yùn)算能力. 教育點(diǎn):讓學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程,了解半角公式與倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力和辯證唯物主義觀點(diǎn);在探究和解決問(wèn)題的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、勇于探索、互相合作的精神. 自主探究點(diǎn):通過(guò)二倍角公式的變形,探究半角的正弦、余弦、正切公式,利用和與差的正弦、余弦公式探究推導(dǎo)積化和差與和差化積公式. 易錯(cuò)易混點(diǎn):三角函數(shù)值符號(hào)的判斷和三角變換的靈活應(yīng)用. 拓展點(diǎn):通過(guò)三角變換改變函數(shù)式結(jié)構(gòu)求函數(shù)最值問(wèn)題. 二、引入新課 知識(shí)回顧: 問(wèn)題1:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式?

3、 問(wèn)題2:二倍角的正弦、余弦、正切公式? 【師生活動(dòng)】教師展示課件、提出問(wèn)題,學(xué)生思考默寫公式、并請(qǐng)學(xué)生板演公式.并明確本節(jié)將綜合運(yùn)用和(差)角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換. 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所必備的基礎(chǔ)知識(shí)有一個(gè)清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),分散教學(xué)難點(diǎn),更為學(xué)生自主探究鋪平道路.在開課之初就讓學(xué)

4、生明確本節(jié)課所要研究的內(nèi)容,讓學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí),引發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的欲望,并使得教學(xué)過(guò)程自然流暢. 三、探究新知 探究一: 試以表示. 問(wèn)題1:與有什么樣的關(guān)系?由此可以聯(lián)想到我們學(xué)習(xí)過(guò)的哪個(gè)公式? 是的二倍,由此可聯(lián)想到利用二倍角的余弦公式. 問(wèn)題2:從之間的關(guān)系出發(fā)思考有怎樣的關(guān)系呢?如何建立這兩個(gè)三角式之間的關(guān)系? 由, 得, 由,得. 因此 . 【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思、總結(jié)的習(xí)慣;通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立的探究學(xué)習(xí),提高學(xué)生的邏輯推理能力. 另解:因?yàn)槭堑亩督牵? 在倍角公式中,以,, 即得 所以 ; 在倍角公式中,以,, 即得 ,所以 .

5、 所以. 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解角的倍、半間的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì),比較兩種方法的異同,找出其內(nèi)在的聯(lián)系,以達(dá)融會(huì)貫通,靈活運(yùn)用之功效. 問(wèn)題3:已知,如何求、、? ;; 師生共同進(jìn)行總結(jié),公式中的“”號(hào)由所在象限決定. 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)自主探究引入半角公式,符合認(rèn)知規(guī)律,學(xué)生容易接受;通過(guò)公式探究重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力和靈活運(yùn)用的能力,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角公式的進(jìn)一步理解. 問(wèn)題4:代數(shù)式變換與三角變換有什么不同呢? 師生共同分析得出: (1)代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換; (2)對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會(huì)有所包含的角,

6、以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn). 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類的差異”對(duì)三角變換的影響進(jìn)行認(rèn)識(shí),從而使學(xué)生更好地把握三角恒等變換的特點(diǎn).并為解決本節(jié)課的重難點(diǎn)問(wèn)題作鋪墊,便于知識(shí)水到渠成的向前發(fā)展. 探究二:求證:(1); (2). 問(wèn)題1:觀察(1)式,從哪端入手更容易變形? 從右式出發(fā)容易變形,可以利用兩角和(差)的正弦公式展開. 問(wèn)題2:(1)式在結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)?哪些公式中包含sinαcosβ、cosαsinβ

7、呢? ; . 證明:因?yàn)椋? . 兩式相加得:; 所以. 問(wèn)題3:能否利用(1)式的結(jié)果證明(2)式呢?比較(1)、(2)兩式的結(jié)構(gòu)形式,思考它們有什么區(qū)別和聯(lián)系? 證明:由(1)可得 . ① 設(shè),則. 把的值代入①式,即得 . 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)問(wèn),能更好的發(fā)揮本例的教育功能,把兩個(gè)三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn),并在建立它們之間的聯(lián)系進(jìn)而消除不同點(diǎn)上下功夫,這樣不僅有利于深化對(duì)和(差)角公式的理解,而且還有利于本例的兩個(gè)小題的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí). 問(wèn)題4:如果不用(1

8、)的結(jié)果,如何證明呢? 從右端入手,由右往左證;利用兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式將 展開變形. 證明:右邊= 問(wèn)題5:回顧證明過(guò)程,我們都用到了哪些數(shù)學(xué)思想? (1)換元的思想.如把看作,看作,從而把包含α,β的三角函數(shù)式變換成的三角函數(shù)式. (2)方程的思想.把看作,看作,把等式看作,的方程,通過(guò)解方程求得. 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)和差化積和積化和差公式的探究證明,使學(xué)生感受三角式結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)特點(diǎn),以及角的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.另外,通過(guò)角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,體會(huì)數(shù)學(xué)上

9、的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換、換元、方程等思想方法. 四、理解新知 1.半角公式與積化和差、和差化積公式不要求記憶,但要了解其推導(dǎo)過(guò)程,體會(huì)換元、化歸、方程等思想方法,需要用時(shí)可自行推導(dǎo)應(yīng)用. 2.體會(huì)角的構(gòu)造與變形在三角變換中的作用,逐步掌握構(gòu)造角的技巧;充分觀察角與角之間的內(nèi)在聯(lián)系,通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式,將所求角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知角的三角函數(shù),使“目標(biāo)角”變成“已知角”. 五、運(yùn)用新知 例1求證: 證明:方法一: , . 方法二: , . 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)題給出了的關(guān)系式,是對(duì)半角公式(例1結(jié)論)的進(jìn)一步理解和延伸. 例2求證:.

10、 證明:原式等價(jià)于. 左邊== 右邊. ∴ 變式訓(xùn)練: 求證:. 證明:證法一: 證法二: 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此例題讓學(xué)生感知證明三角恒等式,一般要遵循由繁到簡(jiǎn)的原則,另外化弦為切與化切為弦也是在三角的恒等變換中經(jīng)常使用的方法. 六、課堂小結(jié) 教師提問(wèn):通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?留給你印象最深的是什么?(引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)點(diǎn)、思想方法兩方面進(jìn)行總結(jié)) 學(xué)生總結(jié):1.知識(shí):半角公式、積化和差公式、和差化積公式、三角恒等變換. 2.方法:轉(zhuǎn)化、換元、方程等思想方法. 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)小結(jié),反思學(xué)習(xí)過(guò)程,提升對(duì)所學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法的理解和

11、應(yīng)用意識(shí);提高學(xué)生的概括、歸納能力.同時(shí)學(xué)生在回顧、總結(jié)、反思的過(guò)程中,將知識(shí)條理化、系統(tǒng)化,使認(rèn)知結(jié)構(gòu)更趨合理. 七、布置作業(yè) 必做題: 習(xí)題3.2 A組 1、(2)、(4)、(8);2;B組1. 選做題:1. 若,在第二象限,則的值為( ) A. B. C. D. 2.已知,求的值. 3.已知,求證:. 答案:1.. 2., 3. 證明:(方法一) ,. , 又 (方法二):, 且, , , , . 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)適量的課后作業(yè),復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)

12、知識(shí),也便于教師及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況.書面作業(yè)的布置,設(shè)置了必做與選作兩組練習(xí),可以使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí),又能得到符合自身實(shí)踐的感悟,使不同層次的學(xué)生都能獲得成功的喜悅,加強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.課外思考探究活動(dòng)有利于進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,探究新知的欲望,使課堂教學(xué)得以延伸. 八、教后反思 1.在本節(jié)課的教學(xué)中,力求使學(xué)生通過(guò)自主探究,獨(dú)立思考,推導(dǎo)公式,總結(jié)規(guī)律,探究三角變換的常用方法,重點(diǎn)突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較所證明的公式,找出異同點(diǎn),加深記憶,通過(guò)總結(jié)證明公式的過(guò)程,不斷提高學(xué)生利用三角變換進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、

13、化簡(jiǎn)、證明的能力. 2.教學(xué)中突出學(xué)生的主體地位,把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生.通過(guò)巧妙地設(shè)計(jì)問(wèn)題,恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探究,經(jīng)過(guò)小組討論、交流,概括得出結(jié)論,讓學(xué)生感受取得新知識(shí)的成就感. 3.這節(jié)課學(xué)生感覺都能聽懂但是在遇到實(shí)際題目的時(shí)候自己還是感覺無(wú)從下手,所以接下來(lái)要多做題加以鞏固. 九、板書設(shè)計(jì) 3.2簡(jiǎn)單的三角變換(1) 一、半角公式 方法一: 方法二: 二、積化和差、和差化積公式 (1) (2) 復(fù)習(xí)回顧 學(xué)生默寫公式 例1 例2 課堂小結(jié):

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