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2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量學(xué)案 文 新人教版

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1、 2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量學(xué)案 文 新人教版 一、向量的有關(guān)概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度(或模). 2.幾種特殊的向量 特殊向量 定義 備注 零向量 長度為零的向量 零向量記作0,其方向是任意的 單位向量 長度等于1個(gè)單位的向量 單位向量記作a0,與a同方向的單位向量a0= 平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共線向量) 0與任意向量共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量 相反向量 長度相等且方向相反的兩個(gè)向量 若a,b為相反向量,則a=-b 向量運(yùn)算

2、定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律: a+b=b+a. (2)結(jié)合律: (a+b)+c=a+(b+c) 減法 求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a-b=a+(-b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|=|λ||a|; (2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 【方法技巧】 向量加減法運(yùn)算的關(guān)鍵

3、點(diǎn): 向量加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾連,指向終點(diǎn)”,可推廣為多個(gè)向量相加的“多邊形法則”;減法的三角形法則的關(guān)鍵是“共起點(diǎn),指向被減向量”. 三、平面向量共線定理  向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa. 【拓展延伸】 巧用系數(shù)判共線 =λ+μ(λ,μ∈R),若A、B、C三點(diǎn)共線,則λ+μ=1;反之也成立. [基礎(chǔ)能力提升] 1.下列說法正確的是(  ) A.零向量是沒有方向的向量 B.單位向量都相等 C.向量的模一定是正數(shù) D.相反向量是平行向量 【解析】 零向量的方向是任意的,不是沒有方向,A錯(cuò);單位向量模相等,方向不一定相同,B錯(cuò)

4、;零向量的模為0,C錯(cuò);D正確. 【答案】 D 2.在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b,=c,=d,則下列等式中不正確的是(  ) A.a(chǎn)+b=c     B.a(chǎn)-b=d C.b-a=d D.c-a=b 【解析】 如圖所示,結(jié)合向量加法與減法的三角形法則知,B錯(cuò)誤. 【答案】 B 3.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD是(  ) A.長方形 B.平行四邊形 C.菱形 D.梯形 【解析】?。剑剑?a-2b=2(-4a-b)=2,∴四邊形ABCD是梯形. 【答案】 D 4.已知向量a、b不共線,且ka+b與a+kb共線,

5、則實(shí)數(shù)k=________. 【解析】 由題意知ka+b=λ(a+kb),∴ka+b=λa+λkb, ∴∴k=±1 【答案】 ±1 1.兩個(gè)結(jié)論 (1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)一點(diǎn),則=(+). (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C,=(++)?G是△ABC的重心.特別地,++=0?P為△ABC的重心. 2.三個(gè)注意點(diǎn) (1)作兩個(gè)向量的差時(shí),要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn); (2)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè); (3)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)

6、共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線; 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [基礎(chǔ)知識(shí)深耕] 一、平面向量基本定理  如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底. 【方法技巧】 選擇基底的規(guī)則: (1)零向量不能作為基底向量; (2)基底的選擇不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量都可以作為這個(gè)平面的一組基底. 二、平面向量的坐標(biāo)表示 1.平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐標(biāo)表

7、示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.這樣,a可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).顯然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 運(yùn)算 坐標(biāo)表示 和(差) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2) 數(shù)乘 已知a=(x1,y1),則λa=(λx1,λy1),其中λ是實(shí)數(shù) 任一向量的坐標(biāo)

8、已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1). 2.平面向量共線的坐標(biāo)表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0. 【拓展延伸】 三點(diǎn)共線與定比分點(diǎn) 1.若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三點(diǎn)共線,則(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).同樣地,當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線. 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),當(dāng)=λ時(shí),點(diǎn)P的

9、坐標(biāo)是. [基礎(chǔ)能力提升] 1.如果e1,e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底,那么下列說法正確的是(  ) A.若實(shí)數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ1e2=0,則λ1=λ2=0 B.對(duì)空間任意向量a都可以表示為a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e不一定在平面α內(nèi),λ1,λ2∈R D.對(duì)于平面α內(nèi)任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對(duì) 【解析】 由平面向量基本定理知,只有A選項(xiàng)正確. 【答案】 A 2.給出下列幾種說法: ①相等向量的坐標(biāo)相同. ②平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo). ③一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)唯一的向量. 其中正確的說法

10、的個(gè)數(shù)是(  ) A.0    B.1    C.2    D.3 【解析】 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示知,①③正確,但由于所用基底不同,同一向量坐標(biāo)不同,故②錯(cuò)誤. 【答案】 C 3.若=(2,4),=(1,3),則=(  ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7) 【解析】?。剑?1,3)-(2,4)=(-1,-1). 【答案】 B 4.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,則x=(  ) A.9 B.6 C.5 D.3 【解析】 ∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6. 【答案】 B 1.兩種形式 向量共線的充要

11、條件的兩種形式: (1)a∥b?b=λa(a≠0,λ∈R) (2)a∥b?x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). 2.三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) (1)若a、b為非零向量,當(dāng)a∥b時(shí),a,b的夾角為0°或180°,求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò); (2)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同,盡管在形式上它們完全一樣,但意義完全不同,向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成=,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0. 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 [基礎(chǔ)知識(shí)深

12、耕] 一、向量的夾角  (1)定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB就是向量a與b的夾角. (2)圖示: (3)范圍:設(shè)θ是向量a與b的夾角,則0°≤θ≤180°. (4)共線與垂直:若θ=0°,則a與b同向; 若θ=180°,則a與b反向;若θ=90°,則a與b垂直. 二、平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何意義 數(shù)量a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|c

13、os θ的乘積 【拓展延伸】 幾種特殊情況下的數(shù)量積: 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ,則 當(dāng)θ=0°時(shí),cos θ=1,a·b=|a||b|; 當(dāng)θ為銳角時(shí),cos θ>0,a·b>0; 當(dāng)θ為直角時(shí),cos θ=0,a·b=0; 當(dāng)θ為鈍角時(shí),cos θ<0,a·b<0; 當(dāng)θ=180°時(shí),cos θ=-1,a·b=-|a||b|. 三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1.交換律:a·b=b·a; 2.?dāng)?shù)乘結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); 3.分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a=(x1,y1

14、),b=(x2,y2),θ為a、b的夾角. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|= |a|= 數(shù)量積 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 夾角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要條件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2+y1y2|≤· [基礎(chǔ)能力提升] 1.下列說法正確的是(  ) A.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0 B.若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cos θ<0,則兩向量的

15、夾角θ一定是鈍角 C.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則向量a,b的夾角θ滿足cos θ= D.若A(1,0),B(0,-1),則||= 【解析】 A、C中a、b必須為非零向量,B中θ還有可能是平角,D正確. 【答案】 D 2.若a與b的夾角為120°,且|a|=|b|=4,則a·b=(  ) A.8    B.-8    C.4    D.-4 【解析】 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=4×4×cos 120°=-8 【答案】 B 3.已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,則a與b的夾角為(  ) A. B. C. D. 【解

16、析】 設(shè)a、b夾角為θ,則cos θ===.∴θ=. 【答案】 C 4.已知向量a,b夾角為60°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=(  ) A. B.2 C.4 D.12 【解析】 |a+2b|2=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos 60°=12,∴|a+2b|=2. 【答案】 B 1.一個(gè)條件 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件: a⊥b?a·b=0 2.兩個(gè)結(jié)論 (1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角,則有a·b>0,反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立); (2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角,則有a·b<0,反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立). 3.三個(gè)防范 (1)數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律,若向量a,b,c滿足a·b=a·c(a≠0),則不一定有b=c. (2)數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律,即(a·b)c≠a(b·c),這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量,a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量,而a與c不一定共線,因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等. (3)領(lǐng)會(huì)向量夾角的概念,比如正三角形ABC中,與的夾角應(yīng)為120°,而不是60°.

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