《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第27講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第27講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 理（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第27講　平面向量的概念與線性運(yùn)算 考試要求　1.向量的實(shí)際背景(A級(jí)要求)；2.平面向量的概念、兩向量相等的含義、向量的幾何表示(B級(jí)要求)；3.向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算(B級(jí)要求)；4.兩個(gè)向量共線的含義(B級(jí)要求)；5.向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義(A級(jí)要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)零向量與任意向量平行.(　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.(　　) (4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立.(　　) (5)在△ABC中，D

2、是BC中點(diǎn)，則＝(＋).(　　) 解析　(2)若b＝0，則a與c不一定平行. (3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2.(必修4P62習(xí)題5改編)給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等.則所有正確命題的序號(hào)是________. 解析　根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量與互為相反向量，故③錯(cuò)誤. 答案?、? 3.(2018·贛榆高級(jí)

3、中學(xué)月考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則＋＋＋＝λ，則λ＝________. 解析　因?yàn)镸為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以M為AC，BD的中點(diǎn)，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝λ＝4，所以λ＝4. 答案　4 4.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于________. 解析　∵＝＋＝＋， ∴2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝. 答案　 5.(2015·全國Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 解析　∵向

4、量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得解得λ＝μ＝. 答案　 知 識(shí) 梳 理 1.向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為零的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 相等向量 長度相等且方向相同的

5、向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定　義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方 向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (

6、λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 考點(diǎn)一　平面向量的概念 【例1】 給出下列四個(gè)命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號(hào)是________. 解析?、俨徽_.兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同； ②正確.∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四

7、邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，∴＝； ③正確.∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c； ④不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件. 綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③. 答案　②③ 規(guī)律方法　向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn) (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制. (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等

8、. (4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，但長度都是一個(gè)單位長度. (5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線. 【訓(xùn)練1】 給出下列說法： ①有向線段就是向量，向量就是有向線段； ②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小. 其中正確的說法是________(填序號(hào)). 解析?、俨徽_，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量； ②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反； ③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均

9、為實(shí)數(shù)，可以比較大小. 答案?、? 考點(diǎn)二　平面向量的線性運(yùn)算 【例2】 (1)(2018·南京模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP＝AB，BQ＝BC.用，表示，則＝________. (2)(2013·江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________. 解析　(1)＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋. (2)由題意作圖如圖. ∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－) ＝－＋＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝. 故λ1＋λ2＝. 答案　(1)＋　(2) 規(guī)律方法

10、　(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化. (2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果. 【訓(xùn)練2】 (1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么＝________(用，表示). (2)(2018·泰州模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝________. 解析　(1)在△CEF中，有＝＋. 因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以＝. 因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)， 所以＝.

11、 所以＝＋＝＋ ＝－. (2)由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，則4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3， 則λ＝－3. 答案　(1)－　(2)－3 考點(diǎn)三　共線向量定理及其應(yīng)用(多維探究) 命題角度1　定理的理解 【例3－1】 下列敘述錯(cuò)誤的是________(填序號(hào)). ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同； ③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同； ④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa； ⑤＋＝0； ⑥若λa＝λb，則a＝b. 解析　對(duì)于①，當(dāng)b＝0時(shí)，a不一定

12、與c平行. 對(duì)于②，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同. 對(duì)于③，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立. 對(duì)于④，當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，λ有無數(shù)個(gè)值；當(dāng)a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時(shí)，λ不存在. 對(duì)于⑤，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量， 所以＋＝0. 對(duì)于⑥，當(dāng)λ＝0時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時(shí)不一定有a＝b. 故①②③④⑥均錯(cuò). 答案?、佗冖邰堍? 命題角度2　應(yīng)用定理求參數(shù)的值 【例3－2】 (2018·鹽城模擬)如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，則＋的值為________.

13、解析　設(shè)＝a，＝b，由題意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三點(diǎn)共線，得存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb， 從而消去λ，得＋＝3. 答案　3 命題角度3　應(yīng)用定理證明共線問題 【例3－3】 設(shè)兩個(gè)向量 a與b不共線. (1)試證：起點(diǎn)相同的三個(gè)向量a，b，3a－2b的終點(diǎn)在同一條直線上(a≠b)； (2)求實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與2a＋kb共線. (1)證明　設(shè)＝a，＝b，＝3a－2b. 因?yàn)椋剑?3a－2b)－a＝2(a－b)， ＝－＝b－a， 所以＝－2，故，共線. 又，有公共起點(diǎn)A，所以A，B，C在同一條直線上. (

14、2)解　因?yàn)閗a＋b與2a＋kb共線， 所以設(shè)ka＋b＝λ(2a＋kb)，λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb， 又a與b不共線，所以所以k＝±. 規(guī)律方法　(1)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，b不共線. (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線. (3)對(duì)于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，，不共線，滿足＝x＋y(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1. 【訓(xùn)練3】 設(shè)兩個(gè)非零向量

15、a與b不共線. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線. (1)證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b). ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共線，又它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線. (2)解　∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共線的兩個(gè)非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 一、必做題 1.

16、(教材改編)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量y＝________. 解析　由2－(c＋b－3y)＋b＝0， 得2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， 所以y＝a－b＋c. 答案　a－b＋c 2.(教材改編)已知實(shí)數(shù)m，n和向量a，b，給出下列命題： ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，則a＝b； ④若ma＝na(a≠0)，則m＝n. 其中正確的命題是________(填序號(hào)). 解析　若m＝0，則ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故③不正確. 答案?、佗冖? 3.(2018·

17、徐州模擬)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是________(填序號(hào)). ①a＋b＝0； ②a＝b； ③a與b共線反向； ④存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb. 解析　因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故④正確. 答案　④ 4.(2018·新海高級(jí)中學(xué)月考)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線， 則實(shí)數(shù)p的值為________. 解析　由＝a＋b，＝a－2b，可得＝＋＝a＋b＋a－2b＝2a－b. 因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ滿足＝λ，即2a＋pb＝

18、λ(2a－b)， 所以解得p＝－1. 答案?。? 5.(2018·徐州四校聯(lián)考)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 解析　由＝2， 由＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 結(jié)合＝＋λ，知λ＝. 答案　 6.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為________. 解析　因?yàn)椋?，所以＝＋＝＋.因?yàn)镃D ∥，所以設(shè)＝m，從而＝＋＝＋＋＝＋.因?yàn)椋? ＋λ，所以＝，λ＝1＋＝. 答案　 7.(2017·鹽阜中學(xué)檢測)設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＝3，設(shè)＝

19、x＋y，則x＋y＝________. 解析　畫出圖形，如圖所示： ∵＝3， ∴＝＋＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， ∴x＝－，y＝， ∴x＋y＝1. 答案　1 8.(2017·無錫一中質(zhì)檢)在△ABC中，D在線段BC上，＝2.若＝m＋n，則＝________. 解析　因?yàn)椋剑?，＝＋，?， 所以＝＋＝m＋n， 所以m＝，n＝，所以＝. 答案　 9.已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析　由已知條件得＋＝－，如圖，延長AM交BC于D點(diǎn)，則D為BC的中點(diǎn).延長BM交AC于E點(diǎn)，延長CM交AB于F點(diǎn)，同理可證E，F(xiàn)

20、分別為AC，AB的中點(diǎn)，即M為△ABC的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝3，則m＝3. 答案　3 10.已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且＝m＋n(m，n∈R). (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線； (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1. 證明　(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線. 又∵與有公共點(diǎn)B，則A，P，B三點(diǎn)共線， (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ， ∴－＝λ(－). 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共線，∴

21、，不共線， ∴∴m＋n＝1. 二、選做題 11.O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的________(從“外心”“內(nèi)心”“重心”“垂心”中選填一個(gè)). 解析　作∠BAC的平分線AD. ∵＝＋λ， ∴＝λ ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·， ∴∥.∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心. 答案　內(nèi)心 12.(2018·如東高級(jí)中學(xué)期中)已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＋2＋3＝0，設(shè)Q為CP的延長線與AB的交點(diǎn)，令＝p，用p表示. 解　∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3＝0， 即＋3＋2＋3＝0. 又∵A，Q，B三點(diǎn)共線，C，P，Q三點(diǎn)共線， ∴設(shè)＝λ，＝μ. ∴λ＋3＋2＋3μ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0， 又∵，為不共線的向量， ∴ 解得λ＝－2，μ＝－1， ∴＝－＝，故＝＋＝2＝2p. 13