《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 2 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 2 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝． [基本關(guān)系式變形] sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α， cos α＝，(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α. 2．六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin α sin α cos__α cos α

2、余弦 cos α －cos α cos__α －cos α sin α －sin__α 正切 tan α tan α －tan α －tan__α 口訣 函數(shù)名不變 符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 簡記口訣：把角統(tǒng)一表示為±α(k∈Z)的形式，奇變偶不變，符號看象限． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　) (4)若cos(nπ－θ)＝

3、(n∈Z)，則cos θ＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× [教材衍化] 1．(必修4P19例6改編)若sin α＝，<α<π，則tan α＝________． 解析：因?yàn)?α<π，所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－. 答案：－ 2．(必修4P22B組T3改編)已知tan α＝2，則的值為________． 解析：原式＝＝＝3. 答案：3 3．(必修4P28練習(xí)T7改編)化簡·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為________． 解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 答案：－sin2α [易錯糾偏]

4、 (1)不會運(yùn)用消元的思想； (2)π±α的形式?jīng)]有把k按奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)致出錯． 1．已知tan x＝2，則1＋sin2x的值為________． 解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x ＝＝ ＝. 答案： 2．已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是________． 解析：k＝2n(n∈Z)時， A＝＋ ＝＋＝2. 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時， A＝＋ ＝＋ ＝－1＋(－1)＝－2. 答案：{2，－2} 　　　　　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(高頻考點(diǎn)) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用很廣泛，也比較靈活．高考中常以選擇題、填空題的

5、形式出現(xiàn)．主要命題角度有： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦． 角度一　知弦求弦 (2020·麗水模擬)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，)，則sin θ－cos θ的值為(　　) A.　　　B.　　　C．－　　　D．－ 【解析】　(sin θ＋cos θ)2＝，所以1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，可得sin θ－cos θ＝±.又因?yàn)棣取?0，)，sin θ

6、且α∈，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D．± 【解析】　因?yàn)閏os＝，所以sin α＝－，顯然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝. 【答案】　B 角度三　知切求弦 若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A. B. C．1 D. 【解析】　法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或則sin 2α＝2sin αcos α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＋＝. 法二：cos2α＋2sin 2α

7、＝＝＝＝. 【答案】　A 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 (1)知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解． (2)知弦求切：常通過平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1及商數(shù)關(guān)系tan α＝結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解． (3)知切求弦：通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方關(guān)系求解．若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝ ＝.　 1．已知sin

8、 α＋cos α＝，那么角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第二或第四象限 解析：選D.因?yàn)閟in α＋cos α＝， 所以兩邊平方得1＋2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝－， 所以sin αcos α<0，驗(yàn)證可知，角α是第二或第四象限角，故選D. 2．已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________． 解析：因?yàn)棣潦堑诙笙薜慕牵? 所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－， 得cos α＝－2sin α，代入sin2α＋cos2α＝1中， 得5sin2α＝1，所以sin α＝，

9、cos α＝－. 答案：－ 　　　　　　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________． (2)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，則等于________． (3)已知cos(－α)＝，則sin(α－)＝________． 【解析】　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)

10、 ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋×＝1. (2)因?yàn)榉匠?x2－x－2＝0的根為x1＝1，x2＝－， 由題知cos α＝－， 所以sin α＝－，tan α＝. 所以原式＝＝tan2α＝. (3)因?yàn)椋剑?，所以α－＝－－，所以sin＝sin ＝－cos＝－. 【答案】　(1)1　(2)　(3)－ (1)誘導(dǎo)公式用法的一般思路 ①化大角為小角

11、． ②角中含有加減的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍． (2)常見的互余和互補(bǔ)的角 ①常見的互余的角：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等． ②常見的互補(bǔ)的角：＋θ與－θ；＋θ與－θ等． (3)三角函數(shù)式化簡的方向 ①切化弦，統(tǒng)一名． ②用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角． ③用因式分解將式子變形，化為最簡．　 1．若sin(＋α)＝－，且α∈(，π)，則sin(π－2α)＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：選D.由sin(＋α)＝cos α＝－，且α∈(，π)，得sin α＝，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－，

12、選項(xiàng)D正確． 2．已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x－y＝0上，則＝________． 解析：由題意可知tan θ＝3，原式＝＝＝. 答案： 3．(2020·寧波高三模擬)已知cos(π＋α)＝－，求(n∈Z)． 解：因?yàn)閏os(π＋α)＝－， 所以－cos α＝－，cos α＝. ＝ ＝＝＝－＝－4. [基礎(chǔ)題組練] 1．計算：sin π＋cos π＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B．1 C．0 D.－ 解析：選A.原式＝sin＋cos ＝－sin ＋cos＝－－cos ＝－－＝－1. 2．已知tan(α－π

13、)＝，且α∈，則sin＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選B.由tan(α－π)＝?tan α＝. 又因?yàn)棣痢?，所以cos α＝－， 所以α為第三象限的角，sin＝cos α＝－. 3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，則θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D.因?yàn)閟in(π＋θ)＝－cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝. 因?yàn)閨θ|<，所以θ＝. 4．已知sin(3π－α)＝－2sin(＋α)，則sin αcos α等于(　　) A．－　　　　　　　　　　 B.

14、C.或－ D．－ 解析：選A.因?yàn)閟in(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， 當(dāng)α在第二象限時，， 所以sin αcos α＝－； 當(dāng)α在第四象限時，， 所以sin αcos α＝－， 綜上，sin αcos α＝－，故選A. 5．已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D.依題意得＝5，所以tan α＝2. 所以sin2α－sin αcos α＝ ＝＝＝. 6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，則tan α的值為(　　) A

15、.或 B．－或－ C.或－ D．－或不存在 解析：選D.由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos2α＝1，即5cos2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，當(dāng)cos α＝0時，tan α的值不存在，當(dāng)cos α＝－時，sin α＝－3cos α－1＝，tan α＝＝－，故選D. 7．化簡＋＝________． 解析：原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0 8．已知sin＝，則cos＝________． 解析：cos＝cos ＝cos＝－cos， 而sin＝sin ＝cos＝， 所以cos＝－. 答案：

16、－ 9．已知θ為第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，則tan θ＝________． 解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－. 答案：－ 10．(2020·杭州市富陽二中高三質(zhì)檢)若3sin α＋cos α＝，則tan α的值為________；的值為________． 解析：由3sin α＋cos α＝，得到cos α＝－3sin α，代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋(－3sin α)2＝1， 得1

17、0sin2α－6sin α＋9＝0，即(sin α－3)2＝0， 解得sin α＝，cos α＝， 則tan α＝＝3； ＝ ＝＝＝. 答案：3　 11．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 解：因?yàn)閏os(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－，所以cos α＝. 所以sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝. 12．已知α為第三象限角， f(α)＝. (1)化簡f(α)； (2)若cos(α－)＝，求f(α)的值

18、． 解：(1)f(α)＝ ＝＝－cos α. (2)因?yàn)閏os(α－)＝， 所以－sin α＝， 從而sin α＝－. 又α為第三象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以f(α)＝－cos α＝. [綜合題組練] 1．(2020·臺州市高三期末評估)已知cos α＝1，則sin＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：選C.因?yàn)閏os α＝1?α＝2kπ，所以sin＝sin＝sin＝－sin ＝－，故選C. 2．(2020·金華十校聯(lián)考)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為(　　) A．－ B.

19、 C．－ D. 解析：選B.因?yàn)?α<， 所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， 所以cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， 所以cos α－sin α＝. 3．sin π·cos π·tan的值是________． 解析：原式＝sin·cos·tan ＝·· ＝××(－)＝－. 答案：－ 4．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，則cos α＝________． 解析：因?yàn)閟in α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan2α＝9tan2

20、β.② 由①2÷②得：9cos2α＝4cos2β.③ 由①2＋③得sin2α＋9cos2α＝4. 又sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝， 所以cos α＝±. 答案：± 5．已知f(x)＝(n∈Z)． (1)化簡f(x)的表達(dá)式； (2)求f＋f的值． 解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時， f(x)＝ ＝ ＝ ＝sin2x(n＝2k，k∈Z)； 當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時， f(x)＝ ＝ ＝ ＝ ＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)． 綜上得f(x)＝sin2x. (2)由(1)得 f＋f＝sin2＋sin2 ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋cos2＝1. 14