《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版必修2（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一章 立體幾何初步 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí).2.熟練掌握平行關(guān)系與垂直關(guān)系，能自主解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.掌握幾何體的直觀圖，能計(jì)算幾何體的表面積與體積． 1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其側(cè)面積和體積 名稱 定義 圖形 側(cè)面積 體積 多 面 體 棱柱 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行 S直棱柱側(cè)＝Ch，C為底面的周長(zhǎng)，h為高 V＝Sh 棱錐 有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形 S正棱錐側(cè)＝Ch′，C為底面的周長(zhǎng)，h′為斜高 V

2、＝Sh，h為高 棱臺(tái) 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分 S正棱臺(tái)側(cè)＝(C＋C′)h′，C，C′為底面的周長(zhǎng)，h′為斜高 V＝(S上＋S下＋)h，h為高 旋轉(zhuǎn)體 圓柱 以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體 S側(cè)＝2πrh， r為底面半徑，h為高 V＝Sh＝πr2h 圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體 S側(cè)＝πrl， r為底面半徑， h為高，l為母線 V＝Sh＝πr2h 圓臺(tái) 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分 S側(cè)＝π(r1＋

3、r2)l， r1，r2為底面半徑，l為母線 V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 球 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體 S球面＝4πR2， R為球的半徑 V＝πR3 2．空間幾何體的直觀圖 (1)斜二測(cè)畫法：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟： ①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半． (2)轉(zhuǎn)化思想在本章應(yīng)用較多，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面 ①曲面化平面，如幾何體的側(cè)面展開，把曲線(折線)化為線

4、段． ②等積變換，如三棱錐轉(zhuǎn)移頂點(diǎn)等． ③復(fù)雜化簡(jiǎn)單，把不規(guī)則幾何體通過(guò)分割，補(bǔ)體化為規(guī)則的幾何體等． 3．四個(gè)公理 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi). 公理2：過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線． 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． 4．直線與直線的位置關(guān)系 5．平行的判定與性質(zhì) (1)直線與平面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 a∩α＝? aα， b?α， a

5、∥b a∥α a∥α，aβ， α∩β＝b 結(jié)論 a∥α b∥α a∩α＝? a∥b (2)面面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 α∩β＝? aβ，bβ， a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b α∥β，aβ 結(jié)論 α∥β α∥β a∥b a∥α (3)空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系 6．垂直的判定與性質(zhì) (1)直線與平面垂直 圖形 條件 結(jié)論 判定 a⊥b，bα (b為α內(nèi)的任意直線) a⊥α a⊥m，a⊥n，m，nα，

6、 m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α 性質(zhì) a⊥α，bα a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b (2)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面 ?l⊥α (3)空間中的垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系 7．空間角 (1)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直

7、角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)． ②范圍：設(shè)兩異面直線所成角為θ，則0°<θ≤90°. (2)二面角的有關(guān)概念 ①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角． 1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n.(　×　) 2．已知a，b是兩異面直線，a⊥b，點(diǎn)P?a且P?b，一定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.(　√　) 3．平面α∥平面β，直線a∥α，直線b⊥β，那么直線a與直線b

8、的位置關(guān)系一定是垂直．(　√　) 4．球的任意兩個(gè)大圓的交點(diǎn)的連線是球的直徑．(　√　) 5．若m，n在平面α內(nèi)的射影依次是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m⊥n，則nα或n∥α.(　√　) 類型一　平行問(wèn)題 例1　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)　線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 解　當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接FO，則PF＝PB.

9、 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是BD的中點(diǎn)．∴OF∥PD. 又OF?平面PMD，PD平面PMD， ∴OF∥平面PMD.又MA∥PB，MA＝PB， ∴PF∥MA，PF＝MA. ∴四邊形AFPM是平行四邊形． ∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM平面PMD. ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC. ∴平面AFC∥平面PMD. 反思與感悟　(1)證明線線平行的依據(jù) ①平面幾何法(常用的有三角形中位線、平行四邊形對(duì)邊平行)；②公理4；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理；⑤線面垂直的性質(zhì)定理． (2)證明線面平行的

10、依據(jù) ①定義；②線面平行的判定定理；③面面平行的性質(zhì)． (3)證明面面平行的依據(jù) ①定義；②面面平行的判定定理；③線面垂直的性質(zhì)；④面面平行的傳遞性． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)證明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積． 考點(diǎn)　線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 (1)證明　因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH

11、，所以GH∥BC. 同理可證EF∥BC， 因此GH∥EF. (2)解　連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK. 因?yàn)镻A＝PC，O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD. 又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD， 所以平面GEFH必過(guò)平面ABCD的一條垂線， 所以PO平行于這條垂線， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 又因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，PO平面PBD， 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF平面ABCD，所以GK⊥EF，所

12、以GK是梯形GEFH的高． 由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 從而KB＝BD＝OB，即K是OB的中點(diǎn)． 再由PO∥GK得GK＝PO， 所以G是PB的中點(diǎn)，且GH＝BC＝4. 由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6， 所以GK＝3， 故四邊形GEFH的面積S＝·GK＝×3＝18. 類型二　垂直問(wèn)題 例2　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)． 證明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　直線與平面垂直的證明 證明　

13、(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC， ∴CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD， 且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. 而PD平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD

14、平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 反思與感悟　(1)兩條異面直線相互垂直的證明方法 ①定義； ②線面垂直的性質(zhì)． (2)直線和平面垂直的證明方法 ①線面垂直的判定定理； ②面面垂直的性質(zhì)定理． (3)平面和平面相互垂直的證明方法 ①定義； ②面面垂直的判定定理． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC＝CA＝AA1. (1)求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB； (2)求證：BC1⊥AB1. 考點(diǎn)　

15、平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M， ∵點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M，∴B1M⊥平面ABC. ∵AC平面ABC，∴B1M⊥AC. 又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC平面B1C1CB， ∴AC⊥平面B1C1CB. 又∵AC平面ACC1A1， ∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB. (2)連接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1. 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝CC1. ∴四邊形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1. 又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1

16、⊥AB1. 類型三　空間角問(wèn)題 例3　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點(diǎn)． (1)求證：平面MNF⊥平面ENF； (2)求二面角M－EF－N的正切值． 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　利用判定定理證明兩平面垂直 (1)證明　連接MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點(diǎn)， ∴NF⊥平面A1B1C1D1. 而MN平面A1B1C1D1， ∴NF⊥MN. 又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點(diǎn)， ∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形． ∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°， ∴∠MNE＝90°， ∴MN⊥NE，

17、又NE∩NF＝N， ∴MN⊥平面NEF. 而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF. (2)解　在平面NEF中，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，連接MG. 由(1)知MN⊥平面NEF， 又EF平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N， ∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG. ∴∠MGN為二面角M－EF－N的平面角． 設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為2， 在Rt△NEF中，NG＝＝， ∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝. ∴二面角M－EF－N的正切值為. 反思與感悟　(1)面面垂直的證明要化歸為線面垂直的證明，利用垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是證明的基本方法； (2)找二面角的平面角的方法

18、有以下兩種：①作棱的垂面；②過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在圓錐PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝，⊙O的直徑AB＝2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)． (1)證明：平面POD⊥平面PAC； (2)求二面角B－PA－C的余弦值． 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　利用判定定理證明兩平面垂直 (1)證明　連接OC. ∵PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，∴AC⊥PO. ∵OA＝OC，D是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥OD. 又∵OD∩PO＝O， ∴AC⊥平面POD. 又∵AC平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC. (2)解　在平面POD

19、內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PD于點(diǎn)H. 由(1)知，平面POD⊥平面PAC， 又平面POD∩平面PAC＝PD， ∴OH⊥平面PAC. 又∵PA平面PAC，∴PA⊥OH. 在平面PAO中，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥PA于點(diǎn)G，連接HG， 則有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG. 故∠OGH為二面角B－PA－C的平面角． ∵C是的中點(diǎn)，AB是直徑， ∴OC⊥AB. 在Rt△ODA中，OD＝OA·sin 45°＝. 在Rt△POD中， OH＝＝＝＝. 在Rt△POA中， OG＝＝＝＝. 在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝＝. ∴cos∠OGH＝＝ ＝. 故二面角B－PA－C的余弦值為.

20、 1．如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是(　　) A．①是棱臺(tái) B．②是圓臺(tái) C．③是棱錐 D．④不是棱柱 考點(diǎn)　空間幾何體 題點(diǎn)　空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　C 解析　圖①不是由棱錐截來(lái)的，所以①不是棱臺(tái)；圖②上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺(tái)；圖③是棱錐，圖④前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱，故選C. 2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)說(shuō)法： ①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，則m∥γ；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥

21、β. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是(　　) A．① B．②③ C．③④ D．①④ 考點(diǎn)　線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行與垂直的判定 答案　A 解析?、谌绻鹠γ，則m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，則m，n相交，平行或異面，④若α⊥γ，β⊥γ，則α，β相交或平行． 3．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，有4個(gè)為每個(gè)面都是等邊三角形的正三棱錐的頂點(diǎn)，則這個(gè)三棱錐的表面積與正方體的表面積之比為(　　) A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，S正方體表面積＝6a2，正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為a，則三棱錐表面積為S三棱錐表面積＝4××2

22、a2＝2a2.∴＝＝. 4．水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一個(gè)(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形 考點(diǎn)　平面圖形的直觀圖 題點(diǎn)　由直觀圖還原平面圖形 答案　A 解析　由圖形，知在原△ABC中，AO⊥BC. ∵A′O′＝， ∴AO＝. ∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2， ∴△ABC為等邊三角形．故選A. 5.如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分別為

23、AB，VA的中點(diǎn)． (1)求證：VB∥平面MOC； (2)求證：平面MOC⊥平面VAB. 考點(diǎn)　線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行、垂直綜合問(wèn)題的證明 證明　(1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥VB. 又因?yàn)閂B?平面MOC，OM平面MOC， 所以VB∥平面MOC. (2)因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB. 又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC平面ABC， 所以O(shè)C⊥平面VAB. 又因?yàn)镺C平面MOC， 所以平面MOC⊥平面VAB. 1.轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為

24、 一、選擇題 1．給出下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱 B．底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體 C．棱柱的底面一定是平行四邊形 D．棱錐的底面一定是三角形 考點(diǎn)　多面體的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn)　多面體的結(jié)構(gòu)特征 答案　A 解析　平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成兩個(gè)棱柱，故A正確；三棱柱的底面是三角形，故C錯(cuò)誤；底面是矩形的平行六面體的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長(zhǎng)方體，故B錯(cuò)誤；四棱錐的底面是四邊形，故D錯(cuò)誤．故選A. 2.如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積為(　　) A．6 B．3 C．6

25、D．12 答案　D 解析　由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，△OAB為直角三角形，且兩直角邊長(zhǎng)分別為4和6，故面積為12. 3．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．經(jīng)過(guò)空間內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 B．如果直線l上有一個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，那么直線上所有點(diǎn)都不在平面α內(nèi) C．四棱錐的四個(gè)側(cè)面可能都是直角三角形 D．用一個(gè)平面截棱錐，得到的幾何體一定是一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái) 考點(diǎn)　線、面關(guān)系的綜合問(wèn)題 題點(diǎn)　線、面關(guān)系的其他綜合問(wèn)題 答案　C 解析　在A中，經(jīng)過(guò)空間內(nèi)的不共線的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；在B中，如果直線l上有一個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，那么直線與平面相交或平行，則直線上最多有一個(gè)點(diǎn)

26、在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；在C中，如圖的四棱錐，底面是矩形，一條側(cè)棱垂直底面，那么它的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故C正確；在D中，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，得到兩個(gè)幾何體，一個(gè)是棱錐，一個(gè)是棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤．故選C. 4．設(shè)α－l－β是二面角，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且a，b與l均不垂直，則(　　) A．a(chǎn)與b可能垂直也可能平行 B．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行 C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行 D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行 考點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系的判定 答案　A 解析　∵α－l－β是二面角，直線a在平面α內(nèi)，直

27、線b在平面β內(nèi)，且a，b與l均不垂直， ∴當(dāng)a∥l，且b∥l時(shí)，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故B與D不正確；當(dāng)a，b垂直時(shí)，若二面角是直二面角，則a⊥l與已知矛盾，若二面角不是直二面角，則a，b可以垂直，且滿足條件，故C不正確；∴a與b有可能垂直，也有可能平行，故選A. 5．在空間中，a，b是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列條件中可推出a∥b的是(　　) A．a(chǎn)α，bβ，α∥β B．a(chǎn)∥α，bα C．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)⊥α，bα 考點(diǎn)　直線與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn)　應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行 答案　C 解析　對(duì)于A，若aα，bβ

28、，α∥β，則a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，即a與b平行或異面；對(duì)于B，若a∥α，bα，則a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，即a與b平行或異面；對(duì)于C，若a⊥α，b⊥α，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得a∥b；對(duì)于D，若a⊥α，bα，則由線面垂直的定義可得a⊥b，故選C. 6．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“禾蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為(　　)

29、 A. B. C. D. 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 答案　D 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的底面周長(zhǎng)L＝2πr，∴r＝，∴V＝πr2h＝.令＝L2h，得π＝，故選D. 7．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍，所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍． 在三棱錐O

30、－ABC中，其棱長(zhǎng)都是1，如圖所示， S△ABC＝×AB2＝， 高OD＝＝， ∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝. 8．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，則二面角C1－BD－C的大小為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　知題作角 答案　A 解析　如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OC1. 因?yàn)锳B＝AD＝2，所以AC⊥BD， 又易知BD⊥平面ACC1A1， 所以BD⊥OC1， 所以∠COC1為二面角C1－BD－C的一個(gè)平面角． 因?yàn)樵凇鰿OC1中，OC＝，CC1＝， 所以

31、tan∠COC1＝， 所以二面角C1－BD－C的大小為30°. 二、填空題 9．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2a，母線與軸的夾角為30°，一個(gè)底面圓的半徑是另一個(gè)底面圓的半徑的2倍，則兩底面圓的半徑分別為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　a,2a 解析　如圖，畫出圓臺(tái)軸截面， 由題設(shè)，得∠OPA＝30°，AB＝2a， 設(shè)O1A＝r，PA＝x， 則OB＝2r，x＋2a＝4r，且x＝2r， ∴a＝r，即兩底面圓的半徑分別為a,2a. 10.一個(gè)正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)P是棱VA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，若木塊的棱長(zhǎng)為a，則截面面積為________．

32、 考點(diǎn)　直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn)　與性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 答案　 解析　在平面VAC內(nèi)作直線PD∥AC，交VC于D，在平面VBA內(nèi)作直線PF∥VB，交AB于F，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥VB，交BC于E，連接EF. ∴PF∥DE， ∴P，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且面PDEF與VB和AC都平行， 則四邊形PDEF為邊長(zhǎng)為a的正方形， 故其面積為. 11.如圖，若邊長(zhǎng)為4和3與邊長(zhǎng)為4和2的兩個(gè)矩形所在平面互相垂直，則cos α∶cos β＝________. 考點(diǎn)　平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn)　有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計(jì)算 答案　∶2 解析　由題意，兩個(gè)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5,

33、2， 所以cos α＝＝， cos β＝， 所以cos α∶cos β＝∶2. 三、解答題 12．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上的一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到M的最短路線為.設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求： (1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線的長(zhǎng)； (2)PC和NC的長(zhǎng)． 考點(diǎn)　多面體表面上繞線最短距離問(wèn)題 題點(diǎn)　棱柱體表面上繞線最短距離問(wèn)題 解　(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖是寬為4，長(zhǎng)為9的矩形， 所以對(duì)角線的長(zhǎng)為＝. (2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB1展開，如圖所示． 設(shè)PC的長(zhǎng)為x

34、， 則MP2＝MA2＋(AC＋x)2. 因?yàn)镸P＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(負(fù)值舍去)，即PC的長(zhǎng)為2. 又因?yàn)镹C∥AM，所以＝，即＝，所以NC＝. 13．如圖所示，在幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長(zhǎng)為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC. (1)求幾何體ABCDFE的體積； (2)證明：平面ADE∥平面BCF. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 (1)解　取BC的中點(diǎn)為O，ED的中點(diǎn)為G，連接AO，OF，F(xiàn)G，AG. ∵AO⊥BC，AO平面ABC，平面BCED⊥平面ABC， 平面BCED∩平面ABC＝BC，

35、 ∴AO⊥平面BCED. 同理FG⊥平面BCED. ∵AO＝FG＝， ∴VABCDFE＝×4××2＝. (2)證明　由(1)知AO∥FG，AO＝FG， ∴四邊形AOFG為平行四邊形， ∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE平面ADE，AG平面ADE，F(xiàn)O∩BC＝O，F(xiàn)O平面BCF，BC平面BCF， ∴平面ADE∥平面BCF. 四、探究與拓展 14．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是(　　) ①EF與BB1垂直； ②EF⊥平面BCC1B1； ③EF與C1D所成的

36、角為45°； ④EF∥平面A1B1C1D1. A．②③ B．①④ C．③ D．①②④ 考點(diǎn)　線面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行與垂直的判定 答案　B 解析　顯然①④正確，②③錯(cuò)誤． 15．如圖，在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB＝AC，AO＝2OC＝2.將△BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B′點(diǎn)重合． (1)求證：AO⊥平面B′OC； (2)當(dāng)三棱錐B′－AOC的體積取最大時(shí)，求二面角A－B′C－O的余弦值； (3)在(2)的條件下，試問(wèn)在線段B′A上是否存在一點(diǎn)P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論，并求AP的長(zhǎng)． 考

37、點(diǎn)　空間角問(wèn)題 題點(diǎn)　空間角的綜合問(wèn)題 (1)證明　∵AB＝AC且O是BC的中點(diǎn)， ∴AO⊥BC，即AO⊥OB′，AO⊥OC， 又∵OB′∩OC＝O， OB′平面B′OC， OC平面B′OC， ∴AO⊥平面B′OC. (2)解　在平面B′OC內(nèi)，作B′D⊥OC于點(diǎn)D， 則由(1)可知B′D⊥OA， 又OC∩OA＝O，∴B′D⊥平面OAC， 即B′D是三棱錐B′－AOC的高， 又B′D≤B′O，∴當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐B′－AOC的體積最大， 過(guò)O作OH⊥B′C于點(diǎn)H，連接AH，如圖． 由(1)知AO⊥平面B′OC， 又B′C平面B′OC，∴B′C⊥AO，∵AO∩OH＝O， ∴B′C⊥平面AOH， ∴B′C⊥AH， ∴∠AHO即為二面角A－B′C－O的平面角． 在Rt△AOH中，AO＝2，OH＝，∴AH＝， ∴cos∠AHO＝＝， 故二面角A－B′C－O的余弦值為. (3)解　如圖，連接OP，在(2)的條件下，易證OC⊥平面B′OA， ∴CP與平面B′OA所成的角為∠CPO， ∴sin∠CPO＝＝， ∴CP＝. 又在△ACB′中，sin∠AB′C＝＝， ∴CP⊥AB′， ∴B′P＝＝，∴AP＝. 23