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(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 等差數(shù)列學(xué)案 理

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1、 第33講 等差數(shù)列 考試要求 1.等差數(shù)列的概念(B級要求);2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(C級要求);3.等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系(A級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(  ) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(  ) (3)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(  ) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).(  ) (5)等差

2、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).(  ) 解析 (4)若公差d=0,則通項(xiàng)公式不是n的一次函數(shù). (5)若公差d=0,則前n項(xiàng)和不是二次函數(shù). 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× 2.(2017·全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為________. 解析 a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,聯(lián)立 ①×3-②得(21-15)d=24,6d=24, ∴d=4. 答案 4 3.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=________. 解

3、析 由等差數(shù)列性質(zhì)知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1, ∴a100=a10+90d=98. 答案 98 4.在等差數(shù)列{an}中,已知S8=24,S16=32,那么S24=________. 解析 因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,又=3,=2, 所以=1,即S24=24. 答案 24 5.已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為5,平方和為,則這五個(gè)數(shù)的積為________. 解析 設(shè)第三個(gè)數(shù)為a,公差為d,則這五個(gè)數(shù)分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 由已知條件得 解得 所求5個(gè)數(shù)分別為-,,1,,或,,1,,-. 故它們的積為-. 答案 

4、- 知 識(shí) 梳 理 1.等差數(shù)列的定義 一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d. 3.等差中項(xiàng) 由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng). 4.等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等

5、差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. 5.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an. (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為2d. (4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列. (5)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)

6、是公差為md的等差數(shù)列. (6)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…構(gòu)成等差數(shù)列. 6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn=或Sn=na1+d. 7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn=n2+n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)). 8.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值. 考點(diǎn)一 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 【例1-1】 (1)(2016·江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a=-3,S5=10,

7、則a9的值是________. (2)(2018·常州一模) 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a3=4,S9-S6=27,則S10=________. 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,則由題設(shè)可得 解得 則a9=a1+8d=-4+8×3=20. (2)∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3=4,S9-S6=27, ∴ 解得a1=2,d=1, ∴S10=10×2+×1=65. 答案 (1)20 (2)65 【例1-2】 設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2+a5=1,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*). (1)求Sn;

8、(2)求Tn及Tn的最小值. 解 (1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以設(shè)首項(xiàng)為a1,公差設(shè)為d,依題意得解得 所以Sn=na1+d=-2n+=. (2)由(1)知Sn=,所以=, 設(shè)bn==,則bn+1-bn=-=, 所以數(shù)列{bn}是公差為的等差數(shù)列,首項(xiàng)為b1==a1=-2. 又Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和, 所以Tn=-2n+·=. 又因?yàn)楹瘮?shù)y=的圖象開口向上,對稱軸方程為x=,且n∈N*. 所以當(dāng)n=4或n=5時(shí),(Tn)min==-5. 規(guī)律方法 等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(

9、組)求解. (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問題. 【訓(xùn)練1】 (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=__________. (2)(2017·南京三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若Sk-1=8,Sk=0,Sk+1= -10,則正整數(shù)k=________. 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得S3=3a1+3d=6+3d=12,所以d=2,a6=a1+5d=12. (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)得為等差數(shù)列, 所以,(k,0),三點(diǎn)共

10、線, 從而有=,解得k=9. 答案 (1)12 (2)9 考點(diǎn)二 等差數(shù)列的判定與證明 【例2】 已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說明理由. (1)證明 因?yàn)閍n=2-(n≥2,n∈N*), bn=(n∈N*), 所以bn+1-bn=- =-=-=1. 又b1==-. 所以數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. (2)解 由(1)知bn=n-, 則an=1+=1+. 設(shè)f(x)=1+, 則f(x)在區(qū)間和上為減

11、函數(shù). 所以當(dāng)n=3時(shí),an取得最小值-1,當(dāng)n=4時(shí),an取得最大值3. 規(guī)律方法 等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù)(直接用作差—代入—得結(jié)論更簡單). (2)等差中項(xiàng)法:證明對任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根

12、據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 【訓(xùn)練2】 數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列; (2)求{an}的通項(xiàng)公式. (1)證明 由an+2=2an+1-an+2, 得an+2-an+1=an+1-an+2, 即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. (2)解 由①得bn=1+2(n-1)=2n-1, 即an+1-an=2n-1. 于是 (ak+1-ak)= (2k-1), 所以an+1-a1=n

13、2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2. 考點(diǎn)三 等差數(shù)列通項(xiàng)及求和問題 【例3】 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知4Sn=a-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列. (1)求證:a2=; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (1)證明 當(dāng)n=1時(shí),4a1=a-5,a=4a1+5, 因?yàn)閍n>0,所以a2=. (2)解 當(dāng)n≥2時(shí),4Sn-1=a-4(n-1)-1, 則4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4, 即a=a+4an+4=(an+2)2, 因?yàn)閍n>0, 所以an+1=an+2,a

14、n+1-an=2, 所以當(dāng)n≥2時(shí),{an}是公差d=2的等差數(shù)列. 因?yàn)閍2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列, 所以a=a2·a14, 即(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3. 由(1)可知4a1=a-5=4,所以a1=1. 因?yàn)閍2-a1=3-1=2, 所以{an}是首項(xiàng)a1=1、公差d=2的等差數(shù)列. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1. 規(guī)律方法 (1)等差數(shù)列的判斷,主要通過等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷:an+1-an為常數(shù)d,而不能是關(guān)于n變化的函數(shù)f(n). (2)等差數(shù)列的求和是數(shù)列中考查頻率比較高的知識(shí)點(diǎn),通常會(huì)與解不等式及求最值等知識(shí)點(diǎn)綜合考查.

15、 【訓(xùn)練3】 已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,問:是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求出n的最小值;若不存在,請說明理由. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, 依題意得2,2+d,2+4d成等比數(shù)列, 所以(2+d)2=2(2+4d), 解得d=0或d=4. 當(dāng)d=0時(shí),an=2; 當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)×4=4n-2, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2. (2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n,顯然2n<60n+800,不

16、存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800. 當(dāng)an=4n-2時(shí),Sn==2n2, 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去), 此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. 綜上所述,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的正整數(shù)n; 當(dāng)an=4n-2時(shí),存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. 考點(diǎn)四 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【例4-1】 (1)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________. (2)已知{an},{bn}都是等差數(shù)列,若a1+b10=9,a

17、3+b8=15,則a5+b6=________. 解析 (1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,所以a5=5,故a2+a8=2a5=10. (2)因?yàn)閧an},{bn}都是等差數(shù)列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21. 答案 (1)10 (2)21 【例4-2】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=-12,S9=45,則S12=________. (2)在等差數(shù)列{an}

18、中,a1=-2 018,其前n項(xiàng)和為Sn,若-=2,則S2 018的值為________. 解析 (1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數(shù)列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6), 即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3. 又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9), 即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114. (2)由題意知數(shù)列為等差數(shù)列,其公差為1, ∴=+(2 018-1)×1 =-2 018+2 017=-1. ∴S2 018=-2 018. 答案 (1)114

19、 (2)-2 018 規(guī)律方法 等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,am-an=(m-n)d?=d(m≠n),其幾何意義是點(diǎn)(n,an),(m,am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差. (2)和的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,則 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an. 【訓(xùn)練4】 (1)在等差數(shù)列{an}中,已知S30=20,S90=80,那么S60=________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-6n,那么數(shù)列{|an|}的前6項(xiàng)和T6=________. (3)(一題多解)

20、在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,則當(dāng)n為________時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值為________. 解析 (1)設(shè)S60=x,則20,x-20,80-x成等差數(shù)列, 所以20+(80-x)=2(x-20),解得x=. (2)由Sn=n2-6n,得{an}是等差數(shù)列,且an=2n-7. 當(dāng)n≤3時(shí),an<0,當(dāng)n≥4時(shí),an>0, 所以T6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=18. (3)∵a1=20,S10=S15, ∴10×20+d=15×20+d, ∴d=-. 法一 由an=20+(n-1)×=-n+

21、, 得a13=0. 即當(dāng)n≤12時(shí),an>0,當(dāng)n≥14時(shí),an<0. ∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn取得最大值, 且最大值為S12=S13=12×20+×=130. 法二 Sn=20n+· =-n2+n =-+. ∵n∈N*,∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130. 法三 由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130. 答案 (1) (2)18 (3)12或13 130 一、必做題 1.(2018·蘇州

22、一模) 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2=7,S7=-7,則a7的值為________. 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, ∵a2=7,S7=-7,∴ 解方程組可得 ∴a7=a1+6d=11-6×4=-13. 答案?。?3 2.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8=________. 解析 設(shè){bn}的公差為d, ∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2. ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6. ∴b1+b2+…+b7=7b1+d =7×(-6)+21×2=

23、0. 又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0, ∴a8=3. 答案 3 3.(2015·安徽卷)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________. 解析 由題意知數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列. ∴S9=9×1+×=9+18=27. 答案 27 4.(一題多解)在等差數(shù)列{an}中,a9=a12+6,則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11=________. 解析 法一 由a1+8d=(a1+11d)+6, 得a1+5d=12,∴a1=12-5d.

24、又S11=11a1+d=11a1+55d =11(12-5d)+55d=132. 法二 由a9=a12+6,得2a9-a12=12. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得,a6+a12-a12=12,a6=12,S11===132. 答案 132 5.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-,且a1=5,設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為________. 解析 由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5,公差為-的等差數(shù)列,所以an=5-(n-1)=,該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng),第8項(xiàng)是0,從第9項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng),所以Sn取得最大值時(shí),n=7或n=8. 答案 7或8 6.(2018·南通

25、模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,則n的值為________. 解析 由Sn-Sn-3=51,得an-2+an-1+an=51, 所以an-1=17,又a2=3, Sn==100,解得n=10. 答案 10 7.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-10(n∈N*),則|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 解析 由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,又由an=2n-10≥0,得n≥5,∴當(dāng)n≤5時(shí),an≤0,當(dāng)n>5時(shí),an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1

26、+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130. 答案 130 8.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對任意自然數(shù)n都有=,則+的值為________. 解析 ∵{an},{bn}為等差數(shù)列, ∴+=+==. ∵====, ∴+=. 答案  9.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=. (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (1)證明 當(dāng)n≥2時(shí),由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2, 又==2, 故是首項(xiàng)為2,

27、公差為2的等差數(shù)列. (2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=. 當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn-Sn-1=-= =-. 當(dāng)n=1時(shí),a1=不適合上式. 故an= 10.(2017·蘇北四市摸底)已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2+k(n∈N*,k∈R),且a1=2,a3+a5=-4. (1)若k=0,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn; (2)若a4=-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解 (1) 當(dāng)k=0時(shí),2an+1=an+an+2,即an+2-an+1=an+1-an,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, 則解得 所以Sn=na1+d =2n

28、+×=-n2+n. (2)由題意得2a4=a3+a5+k,即-2=-4+k,所以k=2. 當(dāng)n=1時(shí),2a2=a1+a3+2, 當(dāng)n=2時(shí),2a3=a2+a4+2, 所以a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6=-1,所以a2=3, 由2an+1=an+an+2+2,得(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2,所以數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=1為首項(xiàng),-2為公差的等差數(shù)列,所以an+1-an=-2n+3. 當(dāng)n≥2時(shí),有an-an-1=-2(n-1)+3, 于是an-1-an-2=-2(n-2)+3, an-2-an-3=-2(n-3)+3, … a3

29、-a2=-2×2+3, a2-a1=-2×1+3, 疊加得,an-a1=-2[1+2+…+(n-1)]+3(n-1)(n≥2), 所以an=-2×+3(n-1)+2=-n2+4n-1(n≥2). 又當(dāng)n=1時(shí),a1=2也適合上式. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+4n-1,n∈N*. 二、選做題 11.(2017·蘇州暑假測試) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=,且an(an-1+an+1)= 2an+1an-1(n≥2),則a2 016=________. 解析 由an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2)得+=(n≥2),又a1=1,a2=,所

30、以數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.所以=n,即an=,所以a2 016=. 答案  12.(2014·江蘇卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“H數(shù)列”. (1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數(shù)列”; (2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d<0,若{an}是“H數(shù)列”,求d的值; (3)證明:對任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立. (1)證明 首先a1=S1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=

31、2n-2n-1=2n-1,所以an=所以對任意的n∈N*,Sn=2n是數(shù)列{an}中的n+1項(xiàng),因此數(shù)列{an}是“H數(shù)列”. (2)解 由題意an=1+(n-1)d,Sn=n+d,數(shù)列{an}是“H數(shù)列”,則存在k∈N*,使n+d=1+(k-1)d,k=++1,由于∈N*,又k∈N*,則∈Z對一切正整數(shù)n都成立,所以d=-1. (3)證明 首先,若dn=bn(b是常數(shù)),則數(shù)列{dn}前n項(xiàng)和為Sn=b是數(shù)列{dn}中的第項(xiàng),因此{(lán)dn}是“H數(shù)列”,對任意的等差數(shù)列{an},an=a1+(n-1)d(d是公差),設(shè)bn=na1,cn=(d-a1)(n-1),則an=bn+cn,而數(shù)列{bn},{cn}都是“H數(shù)列”,證畢. 14

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