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1、2022年高一數(shù)學(xué)必修4 3-2簡單的三角恒等變換 教案2 一、教學(xué)目標(biāo) 重點: 運用三角恒等變換化簡函數(shù)表達式，分析其有關(guān)性質(zhì)，以及解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的思路、步驟和方法. 難點：利用三角恒等變換化簡函數(shù)表達式，以及如何科學(xué)的把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式． 知識點：利用三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式并利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值. 能力點：由特殊到一般,由具體到抽象,不斷提升學(xué)生的探究能力和數(shù)學(xué)思維能力. 自主探究點：如何選擇三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式. 考試點：利用三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式,并求解化簡后的三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

2、 易錯易混點：對于求解化簡后的三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)時,學(xué)生易出現(xiàn)計算上的錯誤. 拓展點：從具體問題中抽象出解決三角恒等變換和求解最值的一般性方法. 二、引入新課 同學(xué)們，在第一章我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的圖像、誘導(dǎo)公式及周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等一系列性質(zhì).這部分知識學(xué)習(xí)的時間較長了,可能有些同學(xué)已經(jīng)忘了,那么我們一起復(fù)習(xí)一下. 【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)加深對正弦函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的理解,為更好的解決課本例3打下知識的基礎(chǔ). 對于相關(guān)性質(zhì)通過復(fù)習(xí)我們已經(jīng)熟悉了,那么對于的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等一系列性質(zhì),我們怎樣求解呢?這就是我們這節(jié)課的主要任務(wù). 【設(shè)計意圖】開篇點題，明確

3、本節(jié)課的教學(xué)重點. 三、探究新知 例1已知,求該函數(shù)的周期，最大值和最小值. 分析：不是正弦函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，那么第一步我們應(yīng)先把其化為標(biāo)準(zhǔn)式,才能利用正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)去求解.如何進行恒等變形這是關(guān)鍵.通過配湊系數(shù)我們可以利用兩角和與差的正余弦公式去化簡.即: 或 所以,所求函數(shù)的周期是,最大值是,最小值是. 【設(shè)計意圖】本題是三角變換的重要問題，先對三角函數(shù)式進行三角恒等變換，化簡成的形式.主要培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式，熟練進行三角恒等變換的能力. 思考：如果上述題目中的自變量的范圍變?yōu)?，如何求函?shù)的最大值和最小值？ 分析：結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性

4、質(zhì)，要求在上的最值,關(guān)鍵求的范圍.具體求解如下: 由,得. 又由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得:, 所以,,,最大值為,最小值為. 【設(shè)計意圖】主要是使學(xué)生掌握求有定義域限制的三角函數(shù)式最值的方法,明白求最值時,必須先考慮自變量的取值范圍,這一過程也可以用換元法. 師生共同探究: 對于怎么進行三角恒等變換呢，是否有一般性的方法呢? 分析:結(jié)合所學(xué)我們要想解決好此類問題,關(guān)鍵要充分利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行解決,這里要引入一個輔助角,這個輔助角在內(nèi)是唯一確定的,必須寫出輔助角的正弦值和余弦值.即: . 其中. 注：上述變形方法是解決合角問題的一般性方法.這里輔助角的引入既是

5、重點又是難點,教師在具體的教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的情況進行引入、解釋. 【設(shè)計意圖】總結(jié)解決合角問題的一般性方法,便于學(xué)生更好的解決問題. O D Q A B P C 例2如圖,已知是半徑為1,圓心角為的扇形,是扇形弧上的動點,是扇形的內(nèi)接矩形.記, 求角取何值時,矩形的面積最大?并求這個最大面積. 分析：要求當(dāng)角取何值時，矩形的面積最大，可以這樣去解決： 第一:首先根據(jù)已知條件找出與的函數(shù)關(guān)系; 第二:有函數(shù)關(guān)系及角取值范圍,求的最大值. 我們一起先完成第一步: 在中,,. 在中,, 所以, , 所以, . 設(shè)矩形的面積為,則

6、. 對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍: 由 , 得 . 所以當(dāng) , 即時, 因此,當(dāng)時, 矩形的面積最大,最大面積為. 注：（1）在求解最大值時，要特別注意 “”這一隱含條件; （2）應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最后要回歸到實際問題. 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生了解三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生自主探究,獨立思考的數(shù)學(xué)品質(zhì),掌握解決實際問題的思路和方法,學(xué)會思考問題、分析問題和解決問題. 思考：若上述條件去掉記 “”，結(jié)論改成“求矩形的最大面積”，還有其它解決方法嗎？ 分析:我們可設(shè),根據(jù)已知條件可得, 則轉(zhuǎn)換成函數(shù)在某區(qū)間求最值問題,但目前此函數(shù)

7、還解決不了. 【設(shè)計意圖】盡管對所得函數(shù)還暫時無法求最大值,但能促進學(xué)生對函數(shù)模型多樣性的理解,并能在對比中使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點. 師生共同總結(jié)解決問題的一般性方法: (1)根據(jù)已知條件,選擇變量并確定變量的取值范圍; (2)建立所求值與變量的函數(shù)關(guān)系; (3)在變量所取值的范圍內(nèi)(體現(xiàn)實際問題的實際意義)求解函數(shù)的最值; (4)把計算結(jié)果回歸到實際問題. 【設(shè)計意圖】總結(jié)用三角函數(shù)解決實際問題的一般步驟,便于學(xué)生更好的解決問題. 四、理解新知： 1、對于變形應(yīng)注意的問題: (1)常數(shù)應(yīng)為不同時為零的實數(shù),即. (2)輔助角滿足,在唯一確定的,若把滿足的條件只寫

8、成,這導(dǎo)致在內(nèi)可能有兩個值,其中一個值是增根,應(yīng)根據(jù)的符號進行取舍. 2、對于合角后,求三角函數(shù)在某一區(qū)間上的最值應(yīng)先清楚 的取值范圍,下一步可以利用換元法,也可以直接求解. 3、三角變換的基本思想： ⑴降冪(化次數(shù)較高的三角函數(shù)為次數(shù)較低的三角函數(shù)，一般運用公式，，這必然會引起角的倍數(shù)的增大(單角化為倍角)； ⑵統(tǒng)一函數(shù)名稱(化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù))； ⑶統(tǒng)一角(化多角為單一角，減少角的種類)． 五、運用新知 1、求函數(shù)的周期、最大值和最小值. 分析：根據(jù)已知條件要想求相關(guān)性質(zhì)應(yīng)先把上式進行合角,因此應(yīng)先借助于平方關(guān)系與二倍角公式對降冪,然后引入輔助角. 解：由題

9、意可得 所以,所求函數(shù)的周期為,最大值為，最小值為. 注:引入輔助角“”是進行三角變換的關(guān)鍵.另外,降冪化簡也是常用的一種變換. 【設(shè)計意圖】引用此例題是讓學(xué)生進一步鞏固三角函數(shù)的恒等變換的思路和方法,提高學(xué)生的邏輯推理和應(yīng)變能力. 變式訓(xùn)練1:已知函數(shù) (1) 求函數(shù)的最小正周期； (2) 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 分析:觀察的形式,各自展開為 相加后可以進一步化簡,而是標(biāo)準(zhǔn)的二倍角余弦公式. 解: (1) 所以的最小正周期為； (2) 由則 所以 即:函數(shù)在區(qū)間上的最大值為和最小值為. 【設(shè)計意圖】引入此例題一是讓學(xué)生進一步熟練恒等變換;二是明確

10、合角情況的多變性. 2、如圖,四邊形是一個邊長為100米的正方形地皮,其中是一半徑為90米的扇形小山,其余部分都是平地,是弧上一點，現(xiàn)有一位開發(fā)商想在平地上建造一個兩邊落在與上的長方形停車場.求長方形停車場面積的最大值和最小值. 分析:要想求停車場面積的最值,首先應(yīng)建立長方形面積的函數(shù)關(guān)系式,而建立關(guān)系式的關(guān)鍵是選取自變量.結(jié)合本題具體情況可設(shè),則,這時此法易列式但不好求.因此不妨設(shè)作為自變量,然后延長交與,則 ,則 . 解：設(shè)延長交與, A M T B S D R C Q P 則 ,則

11、 設(shè) 所以，當(dāng)時,有最小值950. 當(dāng)時,有最大值. 即.長方形停車場面積的最大值為,最小值為950. 【設(shè)計意圖】本變式訓(xùn)練是進一步鞏固三角函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用,在講解時應(yīng)注重自然語言與數(shù)學(xué)語言的結(jié)合.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型,首先應(yīng)選準(zhǔn)角作為自變量,其次要明確角的范圍,

12、利用三角函數(shù)恒等變換求解. 六、課堂小結(jié) 1．知識：如何采用兩角和或差的正余弦公式進行合角,借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問題是對三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和(差)角公式的綜合應(yīng)用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn). 如何科學(xué)的把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題． 2．思想：本節(jié)課通過由特殊到一般方式把關(guān)系式化成的形式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生探究、歸納、類比的能力. 通過探究如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識，進一步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識． 【師生活

13、動】在總結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進行討論，相互補充后進行回答，老師最后總結(jié)、板書. 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅能總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 七、布置作業(yè) 必做題：1.設(shè),,滿足 求函數(shù)在的最大值和最小值. 2.如圖，在一塊半徑為的半圓形的鐵板中截取一個內(nèi)接矩形，使其一邊落在圓的直徑上，問應(yīng)該怎樣截取，能使矩形的面積最大？并求出這個矩形的最大面積。 選做題：1.已知函數(shù). (1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；

14、 (2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 2.某公司位于兩條大道之間的處,且到兩道的距離分別為.今公司想在兩道上分別設(shè)置一個產(chǎn)品銷售點和,使,試問如何設(shè)置使的面積最小?此時最小值為多少? E C D B A 【設(shè)計意圖】設(shè)置必做題的目的是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果,同時進一步培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；設(shè)置選做題是鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)進一步加深本節(jié)內(nèi)容的理解． 八、教后反思 1. 本節(jié)課的亮點：教學(xué)過程中教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生通過課本中的例3為出發(fā)點，研究函數(shù)的恒等變換問題(主要是拆、合角)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并

15、推廣到一般情況.這個過程中既讓學(xué)生獲得了關(guān)于新知的內(nèi)容，更可貴的是讓學(xué)生體會到如何研究一個新問題，即探究方法的體驗與感知.同時也滲透了歸納、類比推理的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，積累了探究經(jīng)驗. 2. 不足之處：通過學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在拆、合角方面學(xué)生還是很困難,這充分體現(xiàn)學(xué)生對相關(guān)三角公式不熟練,由于本節(jié)課課上時間緊張,在下節(jié)課這方面應(yīng)多加強訓(xùn)練一下. 九、板書設(shè)計 3.2簡單的三角恒等變換（2） 一、引入新課 二、探究新知 三、理解新知： 四、運用新知 例1: 變式訓(xùn)練:1 例2: 變式訓(xùn)練:2 五、課堂小結(jié) 1．知識： 2．思想： 六、布置作業(yè) 必做題： 1. 2. 選做題： 1. 2.