5、所以＝＝＝＝＋>2，故的取值范圍為(2，＋∞)．
答案：60° (2，＋∞)
3．已知a，b，c為空間中的三個(gè)向量，又a，b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，向量c滿足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，|c－xa－yb|的最小值為_(kāi)_______．
解析：由題意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
又|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，
所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b
＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，(|c－xa－yb|2)min＝4，
6、
所以|c－xa－yb|的最小值為2.
答案：2
組建“方程形式”解決問(wèn)題
[典型例題]
(一題多解)已知sin(α＋β)＝，sin (α－β)＝，求的值．
【解】 法一：由已知條件及正弦的和(差)角公式，得
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝.
從而＝＝.
法二：令x＝.因?yàn)椋剑?
且＝＝＝＝.
所以得到方程＝，解這個(gè)方程得＝x＝.
運(yùn)用方程的思想，把已知條件通過(guò)變形看作關(guān)于sin αcos β與cos αsin β的方程來(lái)求解，從而獲得欲求的三角表達(dá)式的值．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．設(shè)非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝
7、2，〈b，c〉＝120°，則|b|的最大值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以a＝－(b＋c)，
所以|a|2＝|b|2＋2|b||c|cos 120°＋|c|2，
即|c|2－|b||c|＋|b|2－4＝0，
所以Δ＝|b|2－4(|b|2－4)≥0，
解得0<|b|≤，即|b|的最大值為.
答案：
2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1，1)和拋物線C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________．
解析：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，則過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0
8、)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
答案：2
二 數(shù)形結(jié)合思想
以形助數(shù)(數(shù)題形解)
以數(shù)輔形(形題數(shù)解)
借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段、數(shù)作為目的的解決數(shù)
9、學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想
借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性及嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段、形作為目的的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想
數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合
巧用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題
[典型例題]
已知函數(shù)g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函數(shù)y＝f(x)－x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 f(x)＝y(tǒng)＝f(x)－x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于y＝f(x)與y＝x有三個(gè)不同的交點(diǎn)，試想將曲線f(x)上下平移
10、使之與y＝x有三個(gè)交點(diǎn)是何等的復(fù)雜，故可變形再結(jié)合圖象求解．
由f(x)－x＝
可得f(x)－x＝a＋
所以y＝f(x)－x有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于
a＝有三個(gè)根．令h(x)＝
畫(huà)出y＝h(x)的圖象如圖所示，將水平直線y＝a從上向下平移，當(dāng)a＝0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，再向下平移，有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a＝－1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，再向下就只有兩個(gè)交點(diǎn)了，因此a∈[－1，0)．
【答案】 [－1，0)
利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性、否則會(huì)得到錯(cuò)解
11、．
(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)(cos x－a)≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析：選C.在同一坐標(biāo)系中，作出y＝sin x和y＝cos x的圖象，
當(dāng)m＝時(shí)，要使不等式恒成立，只有a＝，
當(dāng)m>時(shí)，在x∈[0，m]上，必須要求y＝sin x和y＝cos x的圖象不在y＝a＝的同一側(cè)，所以m的最大值是.
2．已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a
12、－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是________．
解析：因?yàn)?a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如圖所示．
設(shè)＝c，＝a，＝b，＝a－c，＝b－c，即⊥，又⊥所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓．
當(dāng)且僅當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，且最大值為.
答案：
一、選擇題
1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A．－1 B．2
C．1 D．－2
解析：選A.法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，
13、1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.
法二：a＋b＝(2λ＋2，2)，a－b＝(－2，0)．
由|a＋b|＝|a－b|，
可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.
2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
解析：選A.法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)樗越獾盟詀n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A.
法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
14、
因?yàn)樗越獾?
選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3；
選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，排除C；
選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D.故選A.
3．已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A．(1，＋∞) B．(－1，3)
C．(－∞，1) D．(2，4)
解析：選A.畫(huà)出f(x)圖象，如圖所示，則由方程有且僅有一個(gè)實(shí)根可得f(x)的圖象與直線y＝－x＋a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，首先讓直線過(guò)(0，1)(這是我們所說(shuō)的初始位置，因?yàn)楫?dāng)直線向下平移時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn))，由圖可知，只有向
15、上平移才能滿足f(x)圖象與直線y＝－x＋a只有一個(gè)交點(diǎn)，所以a的取值范圍是(1，＋∞)．
4．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為( )
A. B．2
C. D.
解析：選C.不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中，根據(jù)余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2
16、＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
5．已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正棱柱的體積取最大值時(shí)，其高的值為( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：選D.設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的體積V＝×h＝h＝，
令y＝－＋9h，則y′＝－＋9，
令y′＝0，解得h＝2，易知當(dāng)h＝2時(shí)，y取最大值，即正六棱柱的體積最大．
6．設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)＋f(－x)＝2x2，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)＋1<2x，若f(a＋1)≤f(－a)＋2a＋1，則
17、實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A．－ B．－1
C．－ D．－2
解析：選A.設(shè)g(x)＝f(x)－x2，則g(x)＋g(－x)＝0，
所以g(x)為R上的奇函數(shù)．
當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)＝f′(x)－2x<－1<0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以g(x)在R上單調(diào)遞減．
因?yàn)閒(a＋1)≤f(－a)＋2a＋1，
所以f(a＋1)－(a＋1)2≤f(－a)－(－a)2，
即g(a＋1)≤g(－a)，所以a＋1≥－a，
解得a≥－，所以實(shí)數(shù)a的最小值為－.
二、填空題
7．已知等差數(shù)列{an}滿足3a4＝7a7，a1>0，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sn
18、取得最大值時(shí)n＝________．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)?a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以4a1＝－33d.因?yàn)閍1>0，所以d<0，Sn＝na1＋d＝n＋d＝＝，所以n＝9時(shí)，Sn取得最大值．
答案：9
8．如圖，設(shè)直線m，n相交于點(diǎn)O，且?jiàn)A角為30°，點(diǎn)P是直線m上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線n上的定點(diǎn)．若||＝||＝2，則·的最小值是________．
解析：以O(shè)B所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則A(2，0)，B(4，0)，
設(shè)P，則＝，
＝，
所以·＝(2－a)(4－a)＋a2＝a2－6a
19、＋8＝＋≥，所以·的最小值為.
答案：
9．若不等式≤k(x＋2)－的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝________．
解析：
如圖，分別作出直線y＝k(x＋2)－與半圓y＝.
由題意，知直線在半圓的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直線y＝k(x＋2)－過(guò)點(diǎn)(1，2)，則k＝.
答案：
三、解答題
10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a4＝81，且a2，a3的等差中項(xiàng)為(a1＋a2)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝log3a2n－1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{cn}滿足cn＝，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn.
20、解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意，得解得所以an＝a1qn－1＝3n，
(2)由(1)得bn＝log332n－1＝2n－1，又bn＋1－bn＝2，
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1＝1、公差為2的等差數(shù)列，所以其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝n2.
所以cn＝＝＝，
所以Tn＝
＝＝.
11．已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求證：當(dāng)a>ln 2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，知f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
令x
21、f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，ln 2)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x>ln 2時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.
(2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)，
則g′(x)＝ex－2x＋2a，
由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a.
又a>ln 2－1，則g′(x)min>0.
于是對(duì)?x∈R，都有g(shù)′(x)>0，
22、所以g(x)在R上單調(diào)遞增．
于是對(duì)?x>0，都有g(shù)(x)>g(0)＝0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
12．已知橢圓C的離心率為，過(guò)上頂點(diǎn)(0，1)和左焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，直線l過(guò)點(diǎn)E(－1，0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)△AOB的面積是否有最大值？若有，求出此最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)因?yàn)閑＝＝，＝，b＝1，所以a＝2，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)E(－1，0)，
所以可設(shè)直線l的方程為x＝my－1或y＝0(舍去)．
聯(lián)立消去x并整理，
得(m2＋4)y2－2my－3＝0，
Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|y2－y1|＝，
所以S△AOB＝|OE||y2－y1|＝
＝.
設(shè)t＝，則g(t)＝t＋，t≥，
所以g′(t)＝1－>0，
所以g(t)在區(qū)間[，＋∞)上為增函數(shù)，
所以g(t)≥，所以S△AOB≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)等號(hào)成立．
所以△AOB的面積存在最大值，最大值為.
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（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第2講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想學(xué)案 文 新人教A版
