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1、高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細分類題庫 考點40 橢圓(文、理)(含詳解,13高考題)
一、選擇題
1. (xx·新課標全國Ⅱ高考文科·T5)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,是上的點,,,則的離心率為( )
A. B. C. D.
【解題指南】利用已知條件解直角三角形,將用半焦距c表示出來,然后借助橢圓的定義,可得a,c的關(guān)系,從而得離心率.
【解析】選D. 因為,
所以。
又,所以,
即橢圓的離心率為,選D.
2.(xx·大綱版全國卷高考理科·T8)橢圓C:的左、右頂點分別為,,點P在C上且直線斜率的取值范圍是,那
2、么直線斜率的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
【解題指南】將代入到中,得到與之間的關(guān)系,利用為定值求解的取值范圍.
【解析】選B.設(shè),則,,
,故.因為,所以
3. (xx·大綱版全國卷高考文科·T8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交于A,B兩點,且=3,則C的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解題指南】由過橢圓的焦點且垂直軸的通徑為求解.
【解析】選
3、C.設(shè)橢圓得方程為,由題意知,又,解得或(舍去),而,故橢圓得方程為.
4. (xx·四川高考文科·T9)從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且(是坐標原點),則該橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì),解題時要注意兩個條件的應(yīng)用,一是與軸垂直,二是
【解析】選C,根據(jù)題意可知點P,代入橢圓的方程可得,根據(jù),可知,即,解得,即,解得,故選C.
5. (xx·廣東高考文科·T9)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,則
4、C的方程是( )
A. B. C. D.
【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質(zhì),用好的關(guān)系即可.
【解析】選D.設(shè)C的方程為,則,C的方程是.
6. (xx·遼寧高考文科·T11)已知橢圓的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解題指南】 由余弦定理解三角形,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性)求出點到右焦點的距離,進而求得
【解析】選B.在三角形中,由余弦定理得
,又
解
5、得在三角形中,,故三角形為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點為,連接,根據(jù)橢圓的對稱性,四邊形為矩形,
則其對角線且,即焦距
又據(jù)橢圓的定義,得,所以.故離心率
二、填空題
7.(xx·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T12) 在平面直角坐標系中,橢圓的標準方程為,右焦點為,右準線為,短軸的一個端點為,設(shè)原點到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為
【解題指南】利用構(gòu)建參數(shù)a,b,c的關(guān)系式.
【解析】由原點到直線的距離為得,因到的距離為故,又所以又解得
【答案】.
8.(xx·上海高考文科·T12)與(xx·上海高考理科·T9)相同
設(shè)AB是橢圓的長軸,點C在上,且.若AB=
6、4,BC=,則的兩個焦點之間的距離為 .
【解析】 如圖所示,以AB的中點O為坐標原點,建立如圖所示的坐標系.
【答案】 .
9.(xx·福建高考文科·T15) 與(xx·福建高考理科·T14)相同
橢圓Γ: 的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于 .
【解題指南】,而2c是焦距,2a是定義中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果題目出現(xiàn)焦點三角形(由曲線上一點連接兩個焦點而成),求解離心率,一般會選用這種定義法: .
【解析】∠MF1F2是直線的傾斜角,所以∠
7、MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以.
【答案】 .
10. (xx·遼寧高考理科·T15)已知橢圓的左焦點為,與過原點的直線相交于兩點,連接若,則的離心率
【解題指南】由余弦定理解三角形,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性)求出點A到右焦點的距離,進而求得.
【解析】在三角形中,由余弦定理得,又,解得在三角形中,,故三角形為直角三角形。
設(shè)橢圓的右焦點為,連接,根據(jù)橢圓的對稱性,四邊形為矩形,則其對角線且,即焦距
又據(jù)橢圓的定義,得,所以.
故離心率
【答案】.
三、解答
8、題
11. (xx·陜西高考文科·T20)
已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(1) 求動點M的軌跡C的方程;
(2) 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線m的斜率.
【解題指南】設(shè)出動點M的坐標,根據(jù)已知條件列方程即可;設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得出k與的關(guān)系式,利用中點坐標即可得斜率.
【解析】(1) 點M(x,y)到直線x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍,則.
所以,動點M的軌跡為橢圓,方程為.
(2) P(0, 3), 設(shè),
橢圓經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這2點,即直
9、線m斜率k存在。.聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:
所以,直線m的斜率.
12. (xx·四川高考理科·T20)
已知橢圓:的兩個焦點分別為,且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點,點是線段上的點,且,求點的軌跡方程.
【解題指南】(1)關(guān)注橢圓的定義,利用定義求出,再求出離心率;(2)首先確定橢圓的方程,設(shè)出點的坐標,結(jié)合已知,找到點的坐標滿足的關(guān)系.
【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,
所以a=,又由已知,c=1,
所以橢圓的離心率e===.
(2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1, 設(shè)點
10、Q的坐標為(x,y).
(ⅰ) 當直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點,,此時點Q的坐標為(0,2?).
(ⅱ) 當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,因為M,N在直線l上,可設(shè)點M,N的坐標分別為則
|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2,
由=+,得=+,
即=+=, ①
將y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ②
由D=(8k)2?4(2k2+1)′6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=, 代入①并化簡得x2=. ③
因為點Q在直線y=kx+2上, 所以k=, 代入③并化簡,得10(y?2)2?3x2=18.
由③及k2>,可知0