2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測(含解析)蘇教版選修2-1
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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測(含解析)蘇教版選修2-1 一、空間向量的線性運算 空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算,選定空間不共面的向量作為基向量,并用它們表示出目標(biāo)向量,這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求,解題時,可結(jié)合已知和所求,根據(jù)圖形,利用向量運算法則表示所需向量. 二、空間向量的數(shù)量積 由a·b=|a||b|cos〈a,b〉可知,利用該公式可求夾角、距離.還可由a·b=0來判定垂直問題,要注意數(shù)量積是一個數(shù),其符號由〈a,b〉的大小確定. 三、空間向量與平行和垂直 空間圖形中的平行與垂直問題是立
2、體幾何中最重要的問題之一,主要是運用直線的方向向量和平面的法向量解決. 利用空間向量解決空間中的位置關(guān)系的常用方法有: (1)線線平行. 證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量. (2)線線垂直. 證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直,且a⊥b?a·b=0. (3)線面平行. 用向量證明線面平行的方法主要有: ①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直; ②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量; ③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來. (4)線面垂直. 用向量證明線面垂直的方法主要有:
3、 ①證明直線的方向向量與平面的法向量平行; ②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題. (5)面面平行. ①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量); ②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題. (6)面面垂直. ①證明兩個平面的法向量互相垂直; ②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題. 四、空間向量與空間角 利用空間向量求空間角,一般有兩種方法:即幾何法和向量法,利用向量法只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可. (1)求兩異面直線所成的角可利用公式cos〈a,b〉=,但務(wù)必注意兩異面直線所成角θ的范圍是,而兩向量之間的夾角的范圍是[0,π]. 故實質(zhì)上應(yīng)有cos θ=|cos〈a,
4、b〉|. (2)求線面角. 求直線與平面所成的角時,一種方法是先求出直線及此直線在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,通過數(shù)量積求出直線與平面所成的角;另一種方法是借助平面的法向量,先求出直線的方向向量與平面法向量的夾角φ,即可求出直線與平面所成的角θ,其關(guān)系是sin θ=|cos φ|. (3)求二面角. 基向量法:利用定義在棱上找到兩個能表示二面角的向量,將其用一組基底表示,再做向量運算; 坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求得兩個半平面的法向量n1,n2,利用cos〈n1,n2〉=結(jié)合圖形求得. (時間120分鐘,滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70
5、分.將答案填在題中的橫線上) 1.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,則x的值是________. 解析:a·b=-3+2x-5=2,∴x=5. 答案:5 2.設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點,且滿足·=0,·=0,·=0,則△BCD的形狀是________. 解析:△BCD中,·=(-)·(-)=2>0,∴∠B為銳角,同理,∠C,∠D均為銳角, ∴△BCD為銳角三角形. 答案:銳角三角形 3.已知直線l與平面α垂直,直線的一個方向向量為u=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)與平面α平行,則z=________. 解析:∵平面α的法向量u=(
6、1,3,z),v與平面α平行,∴u⊥v, ∴u·v=1×3+3×(-2)+z×1=0, ∴z=3. 答案:3 4.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分別與,垂直,則向量a為__________. 解析:設(shè)a=(x,y,z),=(-2,-1,3),=(1,-3,2). 則解得a=(1,1,1)或(-1,-1,-1). 答案:(1,1,1)或(-1,-1,-1) 5.已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(x,3,y+2),且A、B、C三點共線,則實數(shù)x,y的值分別為________、________. 解析:若A、B、C
7、三點共線,則,也共線. =(1,-1,3),=(x-2,-1,y+1), ∴=1=.∴x=3,y=2. 答案:3 2 6.已知向量p關(guān)于基底{a,b,c}的坐標(biāo)為(3,2,-1),則p關(guān)于基底{2a,-b,c}的坐標(biāo)是________. 解析:由已知得p=3a+2b-c, 則p=(2a)+(-2)(-b)+(-2). 故p關(guān)于基底的坐標(biāo)為. 答案: 7.已知直線l1,l2的方向向量分別為a,b,且a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則實數(shù)m的值為________. 解析:∵l1⊥l2,∴a⊥b. ∴a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×m=4-2m
8、=0. ∴m=2. 答案:2 8.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),則向量a+b與a-b的夾角是________. 解析:(a+b)·(a-b)=a2-b2=(cos2α+sin2α+1)-(sin2α+1+cos2α)=0,∴(a+b)⊥(a-b). 答案:90° 9.已知向量a=(cos θ,sin θ,1),b=(,-1,2),則|2a-b|的最大值是________. 解析:因為2a-b=(2cos θ-,2sin θ+1,0), 所以|2a-b|= =≤4. 答案:4 10.平面α的法向量為u=(-1,-2,-1),平面
9、β的法向量為v=(2,4,2),則不重合的平面α與平面β的位置關(guān)系為________. 解析:∵v=-2(-1,-2,-1)=-2u, ∴v∥u,∴α∥β. 答案:平行 11.已知直角△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D為AB的中點,沿中線將△ACD折起使得AB= ,則二面角A-CD-B的大小為________. 解析:如圖,取CD中點E,在平面BCD內(nèi)過B點作BF⊥CD,交CD延長線于F. 據(jù)題意知AE⊥CD, AE=BF=,EF=2,AB=. 且〈,〉為二面角的平面角, 由2=(++)2得 13=3+3+4+2×3×cos〈,〉, ∴cos〈,〉=
10、-, ∴〈,〉=120°. 即所求的二面角為120°. 答案:120° 12.如圖,在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點,BE=3ED,若以{,,}為基底,則=________. 解析:=- =+- =+-(+) =+--- =--+. 答案:--+ 13.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為________. 解析:以D為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體棱長為1,D(0,0,0),B1(1,1,1),B(1,1,0),則=(0,0,1). ∵B1D⊥平面ACD1, ∴=(1,1,
11、1)為平面ACD1的法向量. 設(shè)BB1與平面ACD1所成的角為θ, 則sin θ===, ∴cos θ=. 答案: 14.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當(dāng)·取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為________. 解析:∵Q在OP上,∴可設(shè)Q(x,x,2x), 則=(1-x,2-x,3-2x), =(2-x,1-x,2-2x). ∴·=6x2-16x+10, ∴x=時,·最小,這時Q. 答案: 二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分14分)如圖,已知ABCD-A′B′C
12、′D′是平行六面體. (1)化簡++,并在圖中標(biāo)出其結(jié)果; (2)設(shè)M是BD的中點,N是側(cè)面BCC′B′對角線BC′上的分點,設(shè)=α+β+γ,試求α、β、γ的值. 解:(1)取DD′的中點G,過點G作DC的平行線GH, 使GH=DC,連接AH, 則=++. 如圖所示. (2)=+ =+ =(-)+(+) =++. ∴α=,β=,γ=. 16.(本小題滿分14分)已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=,b=. (1)求a和b的夾角θ的余弦值; (2)若向量ka+b與ka-2b互相垂直,求k的值. 解:a==(-1,1,2)
13、-(-2,0,2)=(1,1,0), b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2). (1)cos θ===-, ∴a與b的夾角θ的余弦值為-. (2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), ∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k2-8=0. 即2k2+k-10=0, ∴k=-或k=2. 17.(本小題滿分14分)如圖所示,已知直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D是AB的中點,AC=BC=BB1.
14、 (1)求證:BC1⊥AB1; (2)求證:BC1∥平面CA1D. 證明:如圖所示,以C1點為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0), D(1,1,2). (1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2), ∴·=0-4+4=0, 即⊥,故BC1⊥AB1. (2)取A1C的中點E,連結(jié)DE. 由于E(1,0,1), ∴=(0,1,1),又=(0,-2,-2), ∴=-,且ED與BC1不共線, ∴ED∥BC1,又ED?平面CA1D,BC1?
15、平面CA1D, ∴BC1∥平面CA1D. 18.(本小題滿分16分)正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B. (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由; (2)求二面角E-DF-C的余弦值; (3)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由. 解:(1)在△ABC中,由E,F(xiàn)分別是AC,BC中點, 得EF∥AB, 又AB?平面DEF,EF?平面DEF, ∴AB∥平面DEF. (2)以點D為坐標(biāo)原點,以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z
16、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,,1),F(xiàn)(1,,0),=(1,,0),=(0,,1),=(0,0,2). 平面CDF的法向量為=(0,0,2), 設(shè)平面EDF的法向量為n=(x,y,z), 則即 取n=(3,-,3), cos〈,n〉==, 所以二面角E-DF-C的余弦值為. (3)存在.設(shè)P(s,t,0),則·=t-2=0, ∴t=, 又=(s-2,t,0),=(-s,2-t,0), ∵∥,∴(s-2)(2-t)=-st, ∴s+t=2. 把t=代入上式得s=,∴=·, ∴在線段BC上存在點P,使AP⊥D
17、E. 此時=. 19.(北京高考)(本小題滿分16分)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E分別為AC、AB上的點,且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2. (1)求證:A1C⊥平面BCDE; (2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大??; (3)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由. 解:(1)證明:因為AC⊥BC,DE∥BC, 所以DE⊥AC. 所以ED⊥A1D,DE⊥CD,所以DE⊥平面A1DC. 所以DE⊥A1C. 又因為A1C⊥CD,且CD∩
18、DE=D, 所以A1C⊥平面BCDE. (2)如圖,以C為坐標(biāo)原點, CB、CD、CA1為x、y、z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz, 則A1(0,0,2),D(0,2,0), M(0,1,),B(3,0,0), E(2,2,0).設(shè)平面A1BE的法向量為n=(x,y,z), 則n·=0,n·=0. 又=(3,0,-2),BE=(-1,2,0), 所以 令y=1,則x=2,z=.所以n=(2,1,). 設(shè)CM與平面A1BE所成的角為θ. 因為=(0,1,) 所以sin θ=|cos〈n,〉| =||==. 所以CM與平面A1BE所成角的大小為. (3)線段
19、BC上不存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直,理由如下:假設(shè)這樣的點P存在, 設(shè)其坐標(biāo)為(p,0,0),其中p∈[0,3]. 設(shè)平面A1DP的法向量為m=(x,y,z),則 m·=0,m·=0. 又=(0,2,-2),=(p,-2,0), 所以 令x=2,則y=p,z=.所以m=. 平面A1DP⊥平面A1BE,當(dāng)且僅當(dāng)m·n=0, 即4+p+p=0. 解得p=-2,與p∈[0,3]矛盾. 所以線段BC上不存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直. 20.(山東高考)(本小題滿分16分) 如圖所示,在三棱錐P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E
20、,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,AQ=2BD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH. (1)求證:AB∥GH; (2)求二面角D-GH-E的余弦值. 解:(1)證明:因為D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC. 又EF?平面PCD,DC?平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 又EF?平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH, 所以EF∥GH. 又EF∥AB,所以AB∥GH. (2)在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90°. 又PB⊥平面ABQ, 所以BA,BQ,BP兩兩垂直.
21、 以B為坐標(biāo)原點,分別以BA,BQ,BP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)BA=BQ=BP=2, 則E(1,0,1),F(xiàn)(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1), =(-1,-1,2),=(0,-1,2). 設(shè)平面EFQ的一個法向量為m=(x1,y1,z1), 由m·=0,m·=0,得 取y1=1,得m=(0,1,2). 設(shè)平面PDC的一個法向量為n=(x2,y2,z2), 由n·=0,n·=0,得 取z2=1,得n=(0,2,1), 所以cos〈m,n〉==. 因為二面角D-GH-E為鈍角, 所以二面角D-GH-E的余弦值為-.
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