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(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 新人教B版

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1、 第8節(jié) 曲線與方程 最新考綱 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì);3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 知 識(shí) 梳 理 1.曲線與方程的定義 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系: 那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線. 2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟 [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.“曲線C是方程f(x,y)=0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解”的充分不必要條件. 2.曲線的交點(diǎn)與

2、方程組的關(guān)系: (1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解,即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解; (2)方程組有幾組解,兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn);方程組無(wú)解,兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn). 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)f(x0,y0)=0是點(diǎn)P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.(  ) (2)方程x2+xy=x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.(  ) (3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.(  ) (4)方程y=與x=y(tǒng)2表示同一曲線.(  ) 解析 對(duì)于(2),由方程得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,所以方程表示兩

3、條直線,錯(cuò)誤;對(duì)于(3),前者表示方程,后者表示曲線,錯(cuò)誤;對(duì)于(4),曲線y=是曲線x=y(tǒng)2的一部分,錯(cuò)誤. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.已知M(-1,0),N(1,0),|PM|-|PN|=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(  ) A.雙曲線 B.雙曲線左支 C.一條射線 D.雙曲線右支 解析 由于|PM|-|PN|=|MN|,所以D不正確,應(yīng)為以N為端點(diǎn),沿x軸正向的一條射線. 答案 C 3.(2018·廣州調(diào)研)方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲線是(  ) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線

4、解析 原方程可化為或-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線. 答案 D 4.已知A(-2,0),B(1,0)兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上,且滿足∠APO=∠BPO,其中O為原點(diǎn),則P點(diǎn)的軌跡方程是(  ) A.(x+2)2+y2=4(y≠0) B.(x+1)2+y2=1(y≠0) C.(x-2)2+y2=4(y≠0) D.(x-1)2+y2=1(y≠0) 解析 由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|=2|PB|,設(shè)P(x,y),則=2,整理得(x-2)2+y2=4(y≠0),故選C. 答案 C 5.過(guò)橢圓+=1(a>b>0)上任意一點(diǎn)M

5、作x軸的垂線,垂足為N,則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是________. 解析 設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x,y), 則點(diǎn)M(x,2y)在橢圓上,∴+=1, 即+=1(a>b>0). 答案?。?(a>b>0) 考點(diǎn)一 直接法求軌跡方程 【例1】 (1)(2018·豫北名校聯(lián)考)已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|=3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_______. (2)(2018·大同模擬)與y軸相切并與圓C:x2+y2-6x=0也外切的圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)_______. 解析 (1)設(shè)A(x,y),由題意可知D.又∵|CD|=3,∴+=9,即(x-1

6、0)2+y2=36,由于A,B,C三點(diǎn)不共線,∴點(diǎn)A不能落在x軸上,即y≠0,∴點(diǎn)A的軌跡方程為(x-10)2+y2=36(y≠0). (2)若動(dòng)圓在y軸右側(cè),設(shè)與y軸相切,且與圓x2+y2-6x=0外切的圓的圓心為P(x,y)(x>0),則半徑長(zhǎng)為|x|,因?yàn)閳Ax2+y2-6x=0的圓心為(3,0),所以=|x|+3,則y2=12x(x>0), 若動(dòng)圓在y軸左側(cè),則y=0,即圓心的軌跡方程為y2=12x(x>0)或y=0(x<0). 答案 (1)(x-10)2+y2=36(y≠0) (2)y2=12x(x>0)或y=0(x<0) 規(guī)律方法 直接法求曲線方程的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn) (1)關(guān)

7、鍵點(diǎn):直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性,通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這幾個(gè)步驟,但最后的證明可以省略. (2)注意點(diǎn):求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性. 【訓(xùn)練1】 (2018·聊城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,0),B(2,2),若點(diǎn)C滿足=+t(-),其中t∈R,則點(diǎn)C的軌跡方程是________. 解析 設(shè)C(x,y),則由=+t(-)得-=t(-),所以=t,即(x-1,y)=t(1,2),故消去t得y=2(x-1),即2x-y-2=0. 答案 2x-y-2=0 考點(diǎn)二

8、 相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程 【例2】 (1)(2017·銀川模擬)動(dòng)點(diǎn)A在圓x2+y2=1上移動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________. (2)(2018·武威模擬)設(shè)F(1,0),M點(diǎn)在x軸上,P點(diǎn)在y軸上,且=2,⊥,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)N的軌跡方程為_(kāi)_______. 解析 (1)設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則圓上的動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x-3,2y),所以(2x-3)2+(2y)2=1,即x2+y2-3x+2=0. (2)設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), ∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0), ∴(x0,-y0)·(1,-y0)

9、=0, ∴x0+y=0, 由=2,得(x-x0,y)=2(-x0,y0), ∴即 ∴-x+=0,即y2=4x, 故點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x. 答案 (1)x2+y2-3x+2=0 (2)y2=4x 規(guī)律方法 “相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn):設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0). (2)求關(guān)系式:求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換:將上述關(guān)系式代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的曲線方程,便可得到所求被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 【訓(xùn)練2】 已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:+=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則△PF1F2的重心G的軌跡方程為(  ) A.+=1(y≠0)

10、 B.+y2=1(y≠0) C.+3y2=1(y≠0) D.x2+=1(y≠0) 解析 依題意知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè)P(x0,y0), G(x,y),則由三角形重心坐標(biāo)關(guān)系可得 即代入+=1, 得重心G的軌跡方程為+3y2=1(y≠0). 答案 C 考點(diǎn)三 定義法求軌跡方程(典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程. 解 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,

11、y),半徑為R. 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2. 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2). 【遷移探究1】 將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”,則圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______. 解析 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R,因?yàn)閳AP與圓M,N都外切,所以|PM|-|PN|=(R+r

12、1)-(R+r2)=r1-r2=-2,即|PN|-|PM|=2,又|MN|=2,所以點(diǎn)P的軌跡方程為y=0(x<-2). 答案 y=0(x<-2) 【遷移探究2】 把本例中圓M的方程換為:(x+3)2+y2=1,圓N的方程換為:(x-3)2+y2=1,則圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______. 解析 由已知條件可知圓M和N外離,所以|PM|=1+R,|PN|=R-1,故|PM|-|PN|=(1+R)-(R-1)=2<|MN|=6,由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支,其方程為x2-=1(x>1). 答案 x2-=1(x>1) 【遷移探究3】 在本例中,若動(dòng)圓P過(guò)圓N的圓心,并且與直線

13、x=-1相切,則圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______. 解析 由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1,0)和定直線x=-1的距離相等,所以根據(jù)拋物線的定義可知,點(diǎn)P的軌跡是以N(1,0)為焦點(diǎn),以x軸為對(duì)稱軸、開(kāi)口向右的拋物線,故其方程為y2=4x. 答案 y2=4x 規(guī)律方法 定義法求曲線方程的兩種策略 (1)運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫(xiě)出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程. (2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來(lái),使問(wèn)題得解. 【訓(xùn)練3】 △ABC的頂點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點(diǎn)C

14、的軌跡方程是________. 解析 如圖,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6, |AB|=10. 根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為焦點(diǎn), 實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支, 方程為-=1(x>3). 答案?。?(x>3) 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.(2018·長(zhǎng)沙月考)若方程x2+=1(a是常數(shù)),則下列結(jié)論正確的是(  ) A.任意實(shí)數(shù)a方程表示橢圓 B.存在實(shí)數(shù)a方程表示橢圓 C.任意實(shí)數(shù)a方程表示雙曲線 D.存在實(shí)數(shù)a方程表示拋物線 解析 當(dāng)a>0且

15、a≠1時(shí),方程表示橢圓,故選B. 答案 B 2.若M,N為兩個(gè)定點(diǎn),且|MN|=6,動(dòng)點(diǎn)P滿足·=0,則P點(diǎn)的軌跡是(  ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 以線段MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)(0,0),以MN所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則M(-3,0),N(3,0). 設(shè)P(x,y),則·=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2+y2-9=0,即x2+y2=9,則P點(diǎn)的軌跡是以(0,0)為圓心,以3為半徑的圓. 答案 A 3.已知點(diǎn)P在曲線2x2-y=0上移動(dòng),則點(diǎn)A(0,-1)與點(diǎn)P連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(  ) A.y2=2x B.y

16、2=8x2 C.y=4x2- D.y=4x2+ 解析 設(shè)AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則P(2x,2y+1),由點(diǎn)P在曲線上,得2·(2x)2-(2y+1)=0,即y=4x2-. 答案 C 4.設(shè)點(diǎn)A為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點(diǎn)的軌跡方程為(  ) A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 解析 如圖,設(shè)P(x,y),圓心為M(1,0).連接MA,PM,則MA⊥PA,且|MA|=1, 又因?yàn)閨PA|=1, 所以|PM|==, 即|PM|2=2, 所以(x-1)2+

17、y2=2. 答案 D 5.(2018·長(zhǎng)春模擬)設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則M的軌跡方程為(  ) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 解析 ∵M(jìn)為AQ的垂直平分線上一點(diǎn),則|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的軌跡是以定點(diǎn)C,A為焦點(diǎn)的橢圓. ∴a=,∴c=1,則b2=a2-c2=, ∴M的軌跡方程為+=1. 答案 D 二、填空題 6.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足|+|=2,則點(diǎn)P的軌跡方程

18、為_(kāi)_______. 解析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則=(x,y),=(x-1,y-2),+=(2x-1,2y-2),所以(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理可得4x2+4y2-4x-8y+1=0. 答案 4x2+4y2-4x-8y+1=0 7.直線+=1與x,y軸交點(diǎn)的連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________. 解析 設(shè)直線+=1與x,y軸的交點(diǎn)分別為A(a,0),B(0,2-a),AB中點(diǎn)為M(x,y),則x=,y=1-,消去a,得x+y=1,因?yàn)閍≠0,a≠2,所以x≠0,x≠1. 答案 x+y=1(x≠0,x≠1) 8.在△ABC中,||=4,△ABC的內(nèi)切圓切BC于D

19、點(diǎn),且||-||=2,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_______. 解析 以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,E,F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn). 則|BE|=|BD|,|CD|=|CF|, |AE|=|AF|. ∴|AB|-|AC|=2<|BC|=4, ∴點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)且a=,c=2,∴b=, ∴軌跡方程為-=1(x>). 答案?。?(x>) 三、解答題 9.如圖所示,動(dòng)圓C1:x2+y2=t2,1

20、 由橢圓C2:+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0), 由曲線的對(duì)稱性及A(x0,y0),得B(x0,-y0), 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y), 直線AA1的方程為y=(x+3).① 直線A2B的方程為y=(x-3).② 由①②得y2=(x2-9).③ 又點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓C2上,故y=1-.④ 將④代入③得-y2=1(x<-3,y<0). 因此點(diǎn)M的軌跡方程為-y2=1(x<-3,y<0). 10.(2018·廣州模擬)已知點(diǎn)C(1,0),點(diǎn)A,B是⊙O:x2+y2=9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),且滿足·=0,設(shè)P為弦AB的中點(diǎn). (1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程; (2)

21、試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn):它到直線x=-1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離?若存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由. 解 (1)連接CP,OP,由·=0,知AC⊥BC, ∴|CP|=|AP|=|BP|=|AB|, 由垂徑定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2, 即|OP|2+|CP|2=9, 設(shè)點(diǎn)P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化簡(jiǎn),得x2-x+y2=4. (2)存在.根據(jù)拋物線的定義,到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)C(1,0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y2=2px(p>0)上,其中=1. ∴p=2,故拋物線方程為y2=4x, 由方程組得x2

22、+3x-4=0, 解得x1=1,x2=-4,由x≥0, 故取x=1,此時(shí)y=±2. 故滿足條件的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為(1,-2)和(1,2). 能力提升題組 (建議用時(shí):20分鐘) 11.(2018·葫蘆島調(diào)研)在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M為平面上的兩點(diǎn)且滿足++=0,||=||=||,∥,則頂點(diǎn)C的軌跡為(  ) A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(長(zhǎng)軸端點(diǎn)除外) B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(短軸端點(diǎn)除外) C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(實(shí)軸端點(diǎn)除外) D.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(頂點(diǎn)除外) 解析 設(shè)C(x,y)(y≠0),則由++=0, 即G為△ABC的重心,得G.

23、 又||=||=||, 即M為△ABC的外心, 所以點(diǎn)M在y軸上, 又∥,則有M. 所以x2+=4+, 化簡(jiǎn)得+=1,y≠0. 所以頂點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸端點(diǎn)). 答案 B 12.如圖,P是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且=+,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________. 解析 由于=+, 又+==2=-2. 設(shè)Q(x,y),則=-=,即P點(diǎn)坐標(biāo)為,又P在橢圓上,則有+=1,即+=1. 答案?。? 13.(2018·安慶模擬)已知拋物線x2=2py(p>0),F(xiàn)為其焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩

24、點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線OA于點(diǎn)C,如圖所示. (1)求點(diǎn)C的軌跡M的方程; (2)直線n是拋物線不與x軸重合的切線,切點(diǎn)為P,軌跡M與直線n交于點(diǎn)Q,求證:以線段PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F. (1)解 依題意可得,直線l的斜率存在,故設(shè)其方程為y=kx+,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y), 由?x2-2pkx-p2=0?x1·x2=-p2. 易知直線OA:y=x=x,直線BC:x=x2, 由得y==-, 即點(diǎn)C的軌跡M的方程為y=-. (2)證明 由題意知直線n的斜率存在. 設(shè)直線n的方程為y=k1x+m, 由?x2-2pk1x-2pm=0?Δ=4p2k+8pm. ∵直線n與拋物線相切, ∴Δ=0?pk+2m=0, 可得P(pk1,-m). 又由?Q, ∵F,·=· =--mp+pm+=0, ∴FP⊥FQ, ∴以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F. 12

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