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(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修2

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1、 1.1.1 任意角 學(xué)習(xí)目標 1.了解角的概念.2.掌握正角、負角和零角的概念,理解任意角的意義.3.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念,會用集合符號表示這些角. 知識點一 角的相關(guān)概念 思考1 用旋轉(zhuǎn)方式定義角時,角的構(gòu)成要素有哪些? 答案 角的構(gòu)成要素有始邊、頂點、終邊. 思考2 將射線OA繞著點O旋轉(zhuǎn)到OB位置,有幾種旋轉(zhuǎn)方向? 答案 有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向. 梳理 (1)角的概念:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點O從一個位置 OA旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所成的圖形.點O是角的頂點,射線OA,OB分別是角α的始邊和終邊. (2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向,分為如下三類

2、: 類型 定義 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個零角 知識點二 象限角 思考 把角的頂點放在平面直角坐標系的原點,角的始邊與x軸的非負半軸重合,旋轉(zhuǎn)該角,則其終邊(除端點外)可能落在什么位置? 答案 終邊可能落在坐標軸上或四個象限內(nèi). 梳理 在平面直角坐標系內(nèi),使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合. 象限角:終邊在第幾象限就是第幾象限角; 軸線角:終邊落在坐標軸上的角. 知識點三 終邊相同的角 思考1 假設(shè)60°的終邊是OB,那么-660°,420°的終邊與60°的終邊

3、有什么關(guān)系,它們與60°分別相差多少? 答案 它們的終邊相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它們與60°分別相差了-2個周角及1個周角. 思考2 如何表示與60°終邊相同的角? 答案 60°+k·360°(k∈Z). 梳理 終邊相同角的表示: 所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}, 即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和. 1.經(jīng)過1小時,時針轉(zhuǎn)過30°.( × ) 提示 因為是順時針旋轉(zhuǎn),所以時針轉(zhuǎn)過-30°. 2.終邊與始邊重合的角是零角.( × ) 提示 

4、終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z). 3.小于90°的角是銳角.( × ) 提示 銳角是指大于0°且小于90°的角. 4.鈍角是第二象限角.( √ ) 5.第二象限角是鈍角.( × ) 提示 第二象限角不一定是鈍角. 類型一 任意角概念的理解 例1 (2018·牌頭中學(xué)月考)下列命題正確的是(  ) A.第一象限角是銳角 B.鈍角是第二象限角 C.終邊相同的角一定相等 D.不相等的角,它們終邊必不相同 考點 任意角的概念 題點 任意角的概念 答案 B 反思與感悟 解決此類問題要正確理解銳角、鈍角、0°~90°角、象限角等概念.角的概念推廣后,確定角的關(guān)

5、鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大?。? 跟蹤訓(xùn)練1 寫出下列說法所表示的角. (1)順時針擰螺絲2圈; (2)將時鐘撥慢2小時30分,分針轉(zhuǎn)過的角. 考點 任意角的概念 題點 任意角的概念 解 (1)順時針擰螺絲2圈,螺絲順時針旋轉(zhuǎn)了2周,因此所表示的角為-720°. (2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn),因此將時鐘撥慢2小時30分,分針轉(zhuǎn)過的角為900°. 類型二 象限角的判定 例2 (1)已知下列各角:①-120°;②-240°;③180°;④495°.其中是第二象限角的是(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答

6、案 D 解析?。?20°為第三象限角,①錯;-240°=-360°+120°,∵120°為第二象限角,∴-240°也為第二象限角,故②對;180°為軸線角;495°=360°+135°,∵135°為第二象限角,∴495°為第二象限角,故④對.故選D. (2)已知α為第三象限角,則是第幾象限角? 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 解 因為α為第三象限角, 所以k·360°+180°<α

7、所以終邊在第二象限, 當(dāng)k為奇數(shù)時,記k=2n+1,n∈Z, n·360°+270°<

8、據(jù)α所在第幾象限時,的終邊所落在的區(qū)域,如此,所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀的看出. 跟蹤訓(xùn)練2 在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角. (1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′. 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 解 (1)因為-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因為650°=360°+290°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因為-950°15′=-3×360°+1

9、29°45′,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 類型三 終邊相同的角 命題角度1 求與已知角終邊相同的角 例3 在與角10 030°終邊相同的角中,求滿足下列條件的角. (1)最大的負角; (2)最小的正角; (3)[360°,720°)的角. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 與10 030°終邊相同的角的一般形式為β=k·360°+10 030°(k∈Z), (1)由-360°<k·360°+10 030°<0°,得-10 390°<k·360°<-10 030°,解得k=-28,故所求的最大

10、負角為β=-50°. (2)由0°<k·360°+10 030°<360°,得-10 030°<k·360°<-9 670°,解得k=-27,故所求的最小正角為β=310°. (3)由360°≤k·360°+10 030°<720°,得-9 670°≤k·360°<-9 310°,解得k=-26,故所求的角為β=670°. 反思與感悟 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值. 跟蹤訓(xùn)練3 寫出與α=-1 910°終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來. 考點 終邊相同的角

11、 題點 終邊相同的角 解 由終邊相同的角的表示知,與角α=-1 910°終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°-1 910°,k∈Z}. ∵-720°≤β<360°, 即-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z), ∴3≤k<6(k∈Z),故取k=4,5,6. 當(dāng)k=4時,β=4×360°-1 910°=-470°; 當(dāng)k=5時,β=5×360°-1 910°=-110°; 當(dāng)k=6時,β=6×360°-1 910°=250°. 命題角度2 求終邊在給定直線上的角的集合 例4 寫出終邊在直線y=-x上的角的集合. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相

12、同的角 解 終邊在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z}; 終邊在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}. 因此,終邊在直線y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z}, 即S={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}. 故終邊在直線y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}. 反思與感悟 求終

13、邊在給定直線上的角的集合,常用分類討論的思想,即分x≥0和x<0兩種情況討論,最后再進行合并. 跟蹤訓(xùn)練4 寫出終邊在直線y=x上的角的集合. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 終邊在y=x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=30°+k·360°,k∈Z}; 終邊在y=x(x<0)上的角的集合是S2={α|α=210°+k·360°,k∈Z}. 因此,終邊在直線y=x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=30°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=210°+k·360°,k∈Z}, 即S={α|α=30°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=30°+(2k+1)·1

14、80°,k∈Z}={α|α=30°+n·180°,n∈Z}. 故終邊在直線y=x上的角的集合是S={α|α=30°+n·180°,n∈Z}. 1.下列說法正確的是(  ) A.終邊相同的角一定相等 B.鈍角一定是第二象限角 C.第四象限角一定是負角 D.小于90°的角都是銳角 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應(yīng)用 答案 B 2.與-457°角終邊相同的角的集合是(  ) A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z} C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z} D.{α|α=k·360°-263°,k∈

15、Z} 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 C 解析 -457°=-2×360°+263°,故選C. 3.2 018°是(  ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 C 解析 2 018°=5×360°+218°,故2 018°是第三象限角. 4.已知α=30°,將其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為________. 考點 任意角的概念 題點 任意角的概念 答案 1 110° 解析 3×360°+30°=1 110°. 5.如圖所示. (1)寫出終邊落在射線OA,O

16、B上的角的集合; (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 (1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}. 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}. (2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}. 1.對角的理解,初中階段是以“靜止”的眼光看,高中階段應(yīng)用“運動”的觀點下定義,理解這一概念時,要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負”,“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小”. 2.關(guān)于終邊相同的角的認

17、識 一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和. 注意:(1)α為任意角; (2)k·360°與α之間是“+”號,k·360°-α可理解為k·360°+(-α); (3)相等的角終邊一定相同;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍; (4)k∈Z這一條件不能少. 一、選擇題 1.(2017·甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是(  ) A.終邊在x軸非正半軸上的角是零角 B.第二象限角一定是鈍角 C.第四象限角一定是負角

18、 D.若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°+180°,k∈Z,零角為0°,所以A錯誤;480°角為第二象限角,但不是鈍角,所以B錯誤;285°角為第四象限角,但不是負角,所以C錯誤,故選D. 2.(2017·濟寧高一檢測)下列各角中,與60°角終邊相同的角是(  ) A.-300° B.-60° C.600° D.1 380° 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 A 解析 與60°角終邊相同的角α=k·360°+60°,k∈Z, 令k=-1

19、,則α=-300°. 3.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(  ) A.315°-5×360° B.45°-4×360° C.-315°-4×360° D.-45°-10×180° 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 A 解析 可以估算-1 485°介于-5×360°與-4×360°之間.∵0°≤α<360°,∴k=-5,則α=315°. 4.(2017·河北邯鄲一中月考)已知A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},則A,B,C關(guān)系正確的是(  ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.AC

20、 D. A=B=C 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 B 解析 由題意得B(A∩C),故A錯誤;BC,所以B∪C=C,故B正確;A與C互不包含,故C錯誤;由以上分析可知D錯誤. 5.若α是第四象限角,則180°-α是(  ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 C 解析 可以給α賦一特殊值-60°, 則180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 6.時針走過了2小時40分,則分針轉(zhuǎn)過的角度是(  ) A.80° B.-80° C.960° D.-960°

21、 考點 任意角的概念 題點 任意角的概念 答案 D 解析 分針轉(zhuǎn)過的角是負角,且分針每轉(zhuǎn)一周是-360°,故共轉(zhuǎn)了-360°×=-960°. 7.(2017·臨沂高一檢測)角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,則α與β的關(guān)系為(  ) A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 B 解析 方法一 (特殊值法)令α=30°,β=150°, 則α+β=180°. 方法二 (直接法)因為角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,所以β=

22、180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z. 8.設(shè)集合A={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z},集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},則(  ) A.A∩B=? B.AB C.BA D.A=B 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 對于集合A, α=45°+k·180°=45°+2k·90° 或α=135°+k·180°=45°+90°+2k·90° =45°+(2k+1)·90°. ∵k∈Z, ∴2k表示所有的偶數(shù),2k+1表示所有的奇數(shù),

23、 ∴集合A={α|α=45°+n·90°,n∈Z}, 又集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z}, ∴A=B.故選D. 二、填空題 9.已知角α=-3 000°,則與α終邊相同的最小正角是________. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 240° 解析 與α=-3 000°終邊相同的角的集合為{θ|θ=-3 000°+k·360°,k∈Z}, 令-3 000°+k·360°>0°,解得k>, 故當(dāng)k=9時,θ=240°滿足條件. 10.若α=k·360°+45°,k∈Z,則是第________象限角. 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 

24、一或三 解析 ∵α=k·360°+45°,k∈Z, ∴=k·180°+22.5°,k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù),即k=2n,n∈Z時, =n·360°+22.5°,n∈Z,∴為第一象限角; 當(dāng)k為奇數(shù),即k=2n+1,n∈Z時, =n·360°+202.5°,n∈Z,∴為第三象限角. 綜上,是第一或第三象限角. 11.如圖,終邊落在OA的位置上的角的集合是________________;終邊落在OB的位置上,且在-360°~360°內(nèi)的角的集合是________;終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是____________________. 考點 終邊相同的角 題點 任意角

25、的綜合應(yīng)用 答案 {α|α=120°+k·360°,k∈Z} {315°,-45°} {α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z} 解析 終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α=120°+k·360°,k∈Z}. 終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α=315°+k·360°,k∈Z}, 取k=0,-1得α=315°,-45°. 故終邊落在OB的位置上, 且在-360°~360°內(nèi)的角的集合是{315°,-45°}. 終邊落在陰影部分的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}. 12.集合A={α|α=k·90°-

26、36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},則A∩B=________________. 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應(yīng)用 答案 {-126°,-36°,54°,144°} 解析 當(dāng)k=-1時,α=-126°; 當(dāng)k=0時,α=-36°; 當(dāng)k=1時,α=54°; 當(dāng)k=2時,α=144°. ∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°}. 13.已知角β的終邊在直線x-y=0上.則角β的集合S為__________. 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應(yīng)用 答案 {β|β=60°+n·180°,n∈Z} 解析 如圖,直線x-y=0過原

27、點,傾斜角為60°,在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在射線OA上的角是60°,終邊落在射線OB上的角是240°,所以以射線OA,OB為終邊的角的集合分別為 S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z}, S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z}, 所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z} ={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}. 14.(2017·山東臨沂一中月考)若角α滿足180°<α<3

28、60°,角5α與α有相同的始邊與終邊,則角α=________. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 270° 解析 ∵角5α與α具有相同的始邊與終邊, ∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z, ∴α=k·90°,k∈Z, 又180°<α<360°,∴當(dāng)k=3時,α=270°. 三、解答題 15.(2017·山西平遙一中月考)一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓(半徑為1的圓)上爬動,兩只螞蟻均從點A(1,0)同時逆時針勻速爬動,紅螞蟻每秒爬過α角,黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°),如果兩只螞蟻都在第14 s時回到A點,并且

29、在第2 s時均位于第二象限,求α,β的值. 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應(yīng)用 解 根據(jù)題意,可知14α,14β均為360°的整數(shù)倍, 故可設(shè)14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z, 則α=·180°,m∈Z,β=·180°,n∈Z. 由兩只螞蟻在第2 s時均位于第二象限,知2α,2β均為第二象限角. 團為0°<α<β<180°,所以0°<2α<2β<360°, 所以2α,2β均為鈍角,即90°<2α<2β<180°, 于是45°<α<90°,45°<β<90°. 所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°, 即

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