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(渝皖瓊)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2

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1、 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過對柱體、錐體、臺體的研究,掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式;能運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力. 知識點一 圓柱、圓錐、圓臺的表面積 思考1 圓柱OO′及其側(cè)面展開圖如下,則其側(cè)面積為多少?表面積為多少? 答案 S側(cè)=2πrl,S表=2πr(r+l). 思考2 圓錐SO及其側(cè)面展開圖如下,則其側(cè)面積為多少?表面積為多少? 答案 底面周長是2πr,利用扇形面積公式得 S側(cè)=×2πrl=πrl, S表=πr2+πrl=π

2、r(r+l). 思考3 圓臺OO′及其側(cè)面展開圖如下,則其側(cè)面積為多少?表面積為多少? 答案 圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán),內(nèi)弧長等于圓臺上底周長,外弧長等于圓臺下底周長,=,解得x=l. S扇環(huán)=S大扇形-S小扇形 =(x+l)×2πR-x·2πr =π[(R-r)x+Rl ]=π(r+R)l, 所以,S圓臺側(cè)=π(r+R)l,S圓臺表=π(r2+rl+Rl+R2). 梳理 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式 圖形 表面積公式 旋轉(zhuǎn)體 圓柱 底面積:S底=2πr2 側(cè)面積:S側(cè)=2πrl 表面積:S=2πr(r+l) 圓錐 底面積:S底=πr2 側(cè)面積:

3、S側(cè)=πrl 表面積:S=πr(r+l) 圓臺 上底面面積:S上底=πr′2 下底面面積:S下底=πr2 側(cè)面積:S側(cè)=π(r′l+rl) 表面積:S=π(r′2+r2+r′l+rl) 知識點二 直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積 思考1 類比圓柱側(cè)面積的求法,你認(rèn)為怎樣求直棱柱的側(cè)面積?如果直棱柱底面周長為c,高為h,那么直棱柱的側(cè)面積是什么? 答案 利用直棱柱的側(cè)面展開圖求棱柱的側(cè)面積.展開圖如圖,不難求得S直棱柱側(cè)=ch. 思考2 正棱錐的側(cè)面展開圖如圖,設(shè)正棱錐底面周長為c,斜高為h′,如何求正棱錐的側(cè)面積? 答案 正棱錐的側(cè)面積就是展開圖中各個等腰三

4、角形面積之和,不難得到S正棱錐側(cè)=ch′. 思考3 下圖是正四棱臺的展開圖,設(shè)下底面周長為c,上底面周長為c′,你能根據(jù)展開圖,歸納出正n棱臺的側(cè)面面積公式嗎? 答案 S正棱臺側(cè)=n(a+a′)h′=(c+c′)h′. 梳理 棱柱、棱錐、棱臺側(cè)面積公式 幾何體 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 直棱柱 S直棱柱側(cè)=c·h c—底面周長 h—高 正棱錐 S正棱錐側(cè)=c·h′ c—底面周長 h′—斜高 正棱臺 S正棱臺側(cè)=(c+c′)·h′ c、c′—上、下底面周長h′—斜高 1.斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來求解,其中l(wèi)為側(cè)棱長,c為底面周長.(

5、 × ) 2.多面體的表面積等于各個面的面積之和.( √ ) 3.圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.( × ) 類型一 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(表面積) 例1 圓臺的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°,則圓臺的表面積為多少. 考點  題點  解 如圖所示, 設(shè)圓臺的上底面周長為c, 因為扇環(huán)的圓心角是180°, 故c=π·SA=2π×10, 所以SA=20,同理可得SB=40, 所以AB=SB-SA=20, 所以 =π(10+20)×20+π×102+π×

6、202=1 100π(cm2). 故圓臺的表面積為1 100π cm2. 反思與感悟 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)圓柱的側(cè)面展開圖是兩邊長分別為6π和4π的矩形,則圓柱的表面積為(  ) A.6π(4π+3) B.8π(3π+1) C.6π(4π+3)或8π(3π+1) D.6π(4π+1)或8π(3π+2) 考點  題點  答案 C 解析 由題意,圓柱的側(cè)面積=6π×4π=24π2. ①當(dāng)以邊長為6π的邊為母線時,4π為圓柱底面周長,則2πr=4π, 即r=2,所以

7、=4π, 所以=+2=24π2+8π=8π(3π+1). ②當(dāng)以邊長為4π的邊為母線時,6π為圓柱底面周長,則2πr=6π,即r=3,所以=9π, 所以=24π2+18π=6π(4π+3). (2)圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分,則這兩部分側(cè)面積的比為(  ) A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 考點  題點  答案 C 解析 如圖所示,PB為圓錐的母線,O1,O2分別為截面與底面的圓心.因為O1為PO2的中點, 所以===, 所以PA=AB,. 又因為=π··PA, =π·()·AB, 則==. 類型二 多面體的側(cè)面積(表面積)及應(yīng)用

8、 例2 如圖所示,已知六棱錐P-ABCDEF,其中底面ABCDEF是正六邊形,點P在底面的投影是正六邊形的中心,底面邊長為2 cm,側(cè)棱長為3 cm.求六棱錐P-ABCDEF的表面積. 解  =6××2×2×sin 60°=6. 又==6××2× =6=12. 反思與感悟 多面體中的有關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計算,對于棱錐中的計算問題往往要構(gòu)造直角三角形,即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形,或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形. 跟蹤訓(xùn)練2  已知正四棱臺上底面邊長為4 cm,側(cè)棱和下底面邊長都是8 c

9、m,求它的側(cè)面積. 考點  題點  解 方法一 如圖,作B1F⊥BC, 垂足為F,設(shè)棱臺的斜高為h′. 在Rt△B1FB中, B1F=h′, BF=(8-4)=2(cm), B1B=8 cm, ∴B1F==2(cm), ∴h′=B1F=2 cm. ∴S正棱臺側(cè)=×4×(4+8)×2=48(cm2). 方法二 延長正四棱臺的側(cè)棱交于點P,如圖,設(shè)PB1=x cm, 則=, 得x=8 cm. ∴PB1=B1B=8 cm, ∴E1為PE的中點. ∴PE1==2(cm). PE=2PE1=4 cm. ∴S正棱臺側(cè)=S大正棱錐側(cè)-S小正棱錐側(cè) =4××8×

10、PE-4××4×PE1 =4××8×4-4××4×2 =48(cm2). 類型三 組合體的側(cè)面積(表面積) 例3 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD內(nèi),過C作l⊥CB,以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周,求此旋轉(zhuǎn)體的表面積. 考點  題點  解 如圖所示,該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構(gòu)成的.在直角梯形ABCD中,AD=a,BC=2a, AB=(2a-a)tan 60°=a, DC==2a, 又DD′=DC=2a, 則S表=S圓柱表+S圓錐側(cè)-S圓錐底 =2π·2a·a+2π·(2a)2+π·a·

11、2a-πa2 =(9+4)πa2. 反思與感悟 (1)對于由基本幾何體拼接成的組合體,要注意拼接面重合對組合體表面積的影響. (2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體,要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化. 跟蹤訓(xùn)練3 已知△ABC的三邊長分別是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積. 考點  題點  解 如圖,在△ABC中,過C作CD⊥AB,垂足為點D. 由AC=3,BC=4,AB=5, 知AC2+BC2=AB2, 則AC⊥BC. 所以BC·AC=AB·CD, 所以CD=,記為r=, 那么△ABC

12、以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐,且底面半徑r=,母線長分別是AC=3,BC=4, 所以S表面積=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π. 1.一個圓錐的表面積為πa m2,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則圓錐的底面半徑為(  ) A. m B. m C. m D. m 考點  題點  答案 B 解析 設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為r, 則 解得r=. 2.一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3 cm和6 cm,高是 cm.則三棱臺的側(cè)面積為(  ) A.27 cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 考點  題點  答案 

13、B 解析 如圖,O1,O分別是上、下底面中心,則O1O= cm, 連接A1O1并延長交B1C1于點D1,連接AO并延長交BC于點D,連接DD1,過D1作D1E⊥AD于點E. 在Rt△D1ED中,D1E=O1O= cm, DE=DO-OE=DO-D1O1=××(6-3)= (cm), DD1=== (cm), 所以S正三棱臺側(cè)=(c+c′)·DD1= (cm2). 3.如圖所示,圓臺的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4,母線長為10,則圓臺的側(cè)面積為________. 答案 100π 解析 設(shè)圓臺的上底半徑為r,則下底半徑為4r,高為4r. 由母線長為10可知10==5

14、r, ∴r=2. 故圓臺的上、下底半徑和高分別為2,8,8. 所以圓臺的側(cè)面積為π(2+8)×10=100π. 4.若圓臺的高是12,母線長為13,兩底面半徑之比為8∶3,則該圓臺的表面積為________. 考點 柱體、錐體、臺體的表面積 題點 臺體的表面積 答案 216π 解析 設(shè)圓臺上底面與下底面的半徑分別為r,R, 由勾股定理可得R-r==5. ∵r∶R=3∶8, ∴r=3,R=8. S側(cè)=π(R+r)l=π(3+8)×13=143π, 則表面積為143π+π×32+π×82=216π. 5.正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍,它的高SO=3,求此正三

15、棱錐的側(cè)面積. 考點  題點  解 設(shè)正三棱錐底面邊長為a,斜高為h′, 如圖所示,過O作OE⊥AB,垂足為E,連接SE, 則SE⊥AB,且SE=h′. 因為S側(cè)=2S底, 所以×3a×h′=a2×2. 所以a=h′. 因為SO⊥OE,所以SO2+OE2=SE2. 所以32+2=h′2. 所以h′=2,所以a=h′=6. 所以S底=a2=×62=9. 所以S側(cè)=2S底=18. 1.多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和. 2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面,就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解.而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐,再借助相

16、似的相關(guān)知識求解. 3.S圓柱表=2πr(r+l);S圓錐表=πr(r+l);S圓臺表=π(r2+rl+Rl+R2). 一、選擇題 1.已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形,則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(  ) A. B. C. D. 考點  題點  答案 A 解析 設(shè)圓柱底面半徑、母線長分別為r,l,由題意知l=2πr,S側(cè)=l2=4π2r2. S表=S側(cè)+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2(2π+1), ==. 2.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是(  ) A.4π B.3π C.2π D

17、.π 考點  題點  答案 C 解析 底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S=2πrh=2π×1×1=2π.故選C. 3.如圖所示,側(cè)棱長為1的正四棱錐,若底面周長為4,則這個棱錐的側(cè)面積為(  ) A.5 B. C. D.+1 考點  題點  答案 B 解析 設(shè)底面邊長為a,則由底面周長為4,得 a=1,SE= =,∴S側(cè)=4×××1=. 4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84π,則圓臺較小底面的半徑為(  ) A.7 B.6 C.5 D.3 考點  題點  答案 A 解析 設(shè)圓臺較小底面半徑為r, 則另

18、一底面半徑為3r, S側(cè)=π(r+3r)×3=84π,∴r=7. 5.底面為正方形的直棱柱,它的底面對角線長為,體對角線長為,則這個棱柱的側(cè)面積是(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 D 解析 由已知得底面邊長為1,側(cè)棱長為=2. ∴S側(cè)=1×2×4=8. 6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為(  ) A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2 考點  題點  答案 C 解析 設(shè)正方體棱長為a, 由題意知,三棱錐的各面都是正三角形, 其表面積為4=4×a2=2a2. 正方體的

19、表面積為6a2, ∴三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a2∶6a2=1∶. 7.已知正三棱錐的底面邊長為a,高為a,則其側(cè)面積為(  ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案 A 解析 正三棱錐如圖, OD=××a=a, ∴PD==a, ∴S側(cè)=×a×a×3=a2,故選A. 二、填空題 8.圓臺的母線長擴(kuò)大為原來的n倍,兩底面半徑都縮小為原來的倍,那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉淼腳_______倍. 答案 1 解析 由S側(cè)=π(r′+r)l.當(dāng)r,r′縮小倍,l擴(kuò)大n倍時,S側(cè)不變. 9.棱長都是3的三棱錐的表面積S為________.

20、考點 柱體、錐體、臺體的表面積 題點 錐體的表面積 答案 9 解析 因為三棱錐的四個面是全等的正三角形, 所以S=4××32=9. 10.正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是方程x2-9x+18=0的兩根,其側(cè)面積等于兩底面面積之和,則其側(cè)面梯形的高為________. 考點  題點  答案  解析 方程x2-9x+18=0的兩個根為x1=3,x2=6,設(shè)側(cè)面梯形的高為h,則由題意得×(3+6)·h×4=32+62,解得h=. 11.如圖所示,在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔,則打孔后的幾何體的表面積為________. 考點 組合幾何體的

21、表面積與體積 題點 柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積 答案 96+6π 解析 由題意知,所打圓柱形孔穿透正方體,因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積,再加上一個圓柱的側(cè)面積,同時減去兩個圓的面積,即S=6×42+4×2π-2π×12=96+6π. 12.已知一個正四棱柱的對角線的長是9 cm,表面積等于144 cm2,則這個棱柱的側(cè)面積為________ cm2. 答案 112或72 解析 設(shè)底面邊長、側(cè)棱長分別為a cm,l cm, 則 ∴或 ∴S側(cè)=4×4×7=112(cm2)或S側(cè)=4×6×3=72 (cm2). 三、解答題 13.圓柱有一個內(nèi)接長

22、方體AC1,長方體的體對角線長是10 cm,圓柱的側(cè)面展開平面圖為矩形,此矩形的面積是100π cm2,求圓柱的底面半徑和高. 解 設(shè)圓柱底面半徑為r cm,高為h cm,如圖所示, 則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長, 則 ∴ 即圓柱的底面半徑為5 cm,高為10 cm. 四、探究與拓展 14.直平行六面體底面是菱形,兩個對角面的面積分別為Q1和Q2,則此平行六面體的側(cè)面積為________. 答案 2 解析 設(shè)側(cè)棱為b,底面邊長為a, 則2+2=a2,∴=4a2b2, ∴S側(cè)=4ab=2. 15.如圖,一個圓錐的底面半徑為1,高為3,在圓錐中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱. (1)試用x表示圓柱的高; (2)當(dāng)x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大,最大側(cè)面積是多少? 考點 柱體、錐體、臺體的表面積 題點 柱體的表面積 解 (1)軸截面如圖,設(shè)圓柱的高為h, BO=1,PO=3, 由圖,得=,即h=3-3x.(0

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