《（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合學案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合學案 理 新人教B版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2節(jié)　排列與組合 最新考綱　1.理解排列、組合的概念；2.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；3.能解決簡單的實際問題. 知 識 梳 理 1.排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同元素 按照一定的順序排成一列 組合 合成一組 2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù). (2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù). 3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 公式 (1)A＝n(n－1

2、)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N+，且m≤n).特別地C＝1 性質(zhì) (1)0?。?；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C [常用結(jié)論與微點提醒] 1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏. 2.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復或遺漏. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(　　) (2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.(　　) (3)若組合式C＝C

3、，則x＝m成立.(　　) (4)kC＝nC.(　　) 解析　(1)元素相同但順序不同的排列是不同的排列，故(1)錯；(2)一個組合中的元素不講究順序，元素相同即為同一組合，故(2)錯；(3)若C＝C，則x＝m或n－m，故(3)錯. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(　　) A.12 B.24 C.64 D.81 解析　4本不同的課外讀物選3本分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法為A＝24. 答案　B 3.(一題多解)(教材練習改編)從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某

4、項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是(　　) A.18 B.24 C.30 D.36 解析　法一　選出的3人中有2名男同學1名女同學的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學2名女同學的方法有CC＝12種，故3名學生中男女生都有的選法有CC＋CC＝30種. 法二　從7名同學中任選3名的方法數(shù)，再除去所選3名同學全是男生或全是女生的方法數(shù)，即C－C－C＝30. 答案　C 4.用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A.8 B.24 C.48 D.120 解析　末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA＝48種. 答案　C

5、 5.在一展覽會上，要展出5件藝術作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標志性建筑設計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該次展出這5件作品不同的擺放方案共有________種(用數(shù)字作答). 解析　將2件必須相鄰的書法作品看作一個整體，同1件建筑設計展品全排列，再將2件不能相鄰的繪畫作品插空，故共有AAA＝24種不同的展出方案. 答案　24 考點一　排列問題 【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù). (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)(一題多解)全

6、體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； (4)全體排成一排，女生必須站在一起； (5)全體排成一排，男生互不相鄰. 解　(1)從7人中選5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(種). (2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有A·A＝5 040(種). (3)法一　(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5×A＝3 600(種). 法二　(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA＝3 600(種). (4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女

7、生全排列，有A種方法，共有A·A＝576(種). (5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A種方法，共有A·A＝1 440(種). 規(guī)律方法　排列應用問題的分類與解法 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法. (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法. 【訓練1】 (1)(2018·赤峰二模)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4

8、人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為(　　) A.120 B.240 C.360 D.480 (2)(2018·撫順模擬)某班準備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有(　　) A.30 B.600 C.720 D.840 解析　(1)第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種，第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種，第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人有5種，此時形成6個空，任選一個空加一人，有6種，根據(jù)分步計數(shù)原理有3×4

9、×5×6＝360種方法. (2)若只有甲、乙其中一人參加，有CCA＝480種方法；若甲、乙兩人都參加，有CCA＝240種方法，則共有480＋240＝720種方法. 答案　(1)C　(2)C 考點二　組合問題 【例2】 某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ 解　(1)從余下的34種商品中

10、，選取2種有C＝561(種)，∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種. (2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或者C－C＝C＝5 984(種). ∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種. (3)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件有CC＝2 100(種). ∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種. (4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(種). ∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種. (5)選取3種的總數(shù)為C，選取3種假貨有C種，因此共有選取方式 C－C＝6 545－455＝6

11、090(種). ∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種. 規(guī)律方法　組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理. 【訓練2】 (1)在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務.已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；

12、②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有(　　) A.80種 B.70種 C.40種 D.10種 (2)(2018·咸陽二模)若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 解析　(1)Grace不參與該項任務，則有CC＝30種；Grace參與該項任務，則有C＝10種，故共有30＋10＝40種，故選C. (2)共有4

13、個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(種). 答案　(1)C　(2)D 考點三　排列與組合的綜合應用(多維探究) 命題角度1　簡單的排列與組合應用問題 【例3－1】 (1)(2017·全國Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 (2)從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A.24 B.18 C.

14、12 D.6 解析　(1)由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為CCA＝36(種). (2)從0，2中選一個數(shù)字0，則0只能排在十位，從1，3，5中選兩個數(shù)字排在個位與百位，共有A＝6種；從0，2中選一個數(shù)字2，則2排在十位(或百位)，從1，3，5中選兩個數(shù)字排在百位(或十位)、個位，共有A·A＝12種，故共有A＋AA＝18種. 答案　(1)D　(2)B 命題角度2　分組、分配問題 【例3－2】 (1)某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方法有(　　) A.80種 B.90種 C

15、.120種 D.150種 (2)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法. 解析　(1)有兩類情況：①其中一所學校3名教師，另兩所學校各一名教師的分法有CA＝60種；②其中一所學校1名教師，另兩所學校各兩名教師的分法有 CA＝90種，∴共有150種，故選D. (2)先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有A＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有·A＝90種分派方法. 答案　(1)D　(2)

16、90 規(guī)律方法　(1)解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).對于排列組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列. (2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的差異.其次對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”. 【訓練3】 (1)將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有(　　) A.12種

17、 B.10種 C.9種 D.8種 (2)(2018·合肥聯(lián)考)若無重復數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是(　　) A.540 B.480 C.360 D.200 解析　(1)將4名學生均分為2個小組共有＝3(種)分法；將2個小組的同學分給2名教師共有A＝2(種)分法，最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A＝2(種)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種). (2)由個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有CCA＝50(種)排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是

18、奇數(shù)，有C＝4(種)滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有50×4＝200(個). 答案　(1)A　(2)D 基礎鞏固題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1.從6本不同的書中選出4本，分別發(fā)給4個同學，已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學，則不同分配方法有(　　) A.180種 B.220種 C.240種 D.260種 解析　因為其中兩本書不能發(fā)給甲同學，所以甲只能從剩下的4本中分一本，然后再選3本分給3個同學，故有A·A＝240種. 答案　C 2.(2016·四川卷)用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A.24

19、B.48 C.60 D.72 解析　由題意，可知個位可以從1，3，5中任選一個，有A種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個數(shù)字中任選，進行全排列，有A種方法，所以奇數(shù)的個數(shù)為AA＝3×4×3×2×1＝72. 答案　D 3.從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個數(shù)是(　　) A.9 B.10 C.18 D.20 解析　由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)， ∴l(xiāng)g 有多少個不同的值，只需看不同值的個數(shù). 從1，3，5，7，9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，∴l(xiāng)g a－ lg

20、 b的不同值的個數(shù)有A－2＝18. 答案　C 4.10名同學合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為(　　) A.CA B.CA C.CA D.CA 解析　首先從后排的7人中抽2人，有C種方法；再把2個人在5個位置中選2個位置進行排列有A種.由分步乘法計數(shù)原理知不同調(diào)整方法種數(shù)是CA. 答案　C 5.(2018·濰坊模擬)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有(　　) A.34種 B.48種 C.96種 D.144種 解析　特殊元素優(yōu)先安排，先

21、讓甲從頭、尾中選取一個位置，有C種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個元素，與其余三個元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有C·A·A＝96(種). 答案　C 6.(2018·東北三省四市聯(lián)考)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則坐法種數(shù)為(　　) A.10 B.16 C.20 D.24 解析　一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A＝20種坐法. 答案　C 7.(一題多解)(2018·石家莊模擬)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個

22、相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　) A.72 B.120 C.144 D.168 解析　法一　先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.對于第一種情況，形式為“□，小品1，歌舞1，小品2，□，相聲，□”，有ACA＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個人，其形式為“□，小品1，□，相聲，□，小品2，□”.有AA＝48種安排方法，故共有36＋36＋48＝120種安排方法. 法二　先不考慮

23、小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A·A＝144(種)，再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有A·A·A＝24(種)，于是符合題意的排法共有144－24＝120(種). 答案　B 8.(2018·豫南九校聯(lián)考)某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有(　　) A.72種 B.36種 C.24種 D.18種 解析　2名內(nèi)科醫(yī)生，每村一名，有2種方法；3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有：則分1名外科醫(yī)生、2名護士和2

24、名外科醫(yī)生、1名護士，若甲村有1名外科醫(yī)生、2名護士，則有CC＝9(種)，其余的分到乙村； 若甲村有2名外科醫(yī)生、1名護士，則有CC＝9(種)，其余的分到乙村； 則總的分配方案有2×(9＋9)＝36(種). 答案　B 二、填空題 9.(2018·開封模擬)某班主任準備請2016屆畢業(yè)生做報告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少一人參加，若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言中間需恰隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有________種(用數(shù)字作答). 解析　若甲、乙同時參加，有CCCAA＝120種，若甲、乙有一人參與，有CCA＝960種，從而總共的發(fā)言順序有1 080種. 答案　1

25、 080 10.現(xiàn)有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列，有________種不同的方法(用數(shù)字作答). 解析　第一步，從9個位置中選出2個位置，分給相同的紅球，有C種選法；第二步，從剩余的7個位置中選出3個位置，分給相同的黃球，有C種選法；第三步，剩下的4個位置全部分給4個白球，有1種選法. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，排列方法共有CC＝1 260(種). 答案　1 260 11.從6名同學中選派4人分別參加數(shù)學、物理、化學、生物四科知識競賽，若其中甲、乙兩名同學不能參加生物競賽，則選派方案共有________種(用數(shù)字作答). 解析　特殊位置優(yōu)先考慮，既然

26、甲、乙都不能參加生物競賽，則從另外4個人中選擇一人參加，有C種方案；然后從剩下的5個人中選擇3個人參加剩下3科，有A種方案.故共有CA＝4×60＝240(種)方案. 答案　240 12.(2018·黃岡質(zhì)檢)在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 解析　若第一個出場是男生，則第二個出場的是女生，以后的順序任意排，方法有CCA＝36種；若第一個出場的是女生(不是女生甲)，則剩余的2個女生排列好，2個男生插空，方法有CAA＝24種. 故所有出場順序的排法

27、種數(shù)為36＋24＝60. 答案　60 能力提升題組 (建議用時：10分鐘) 13.中小學校車安全引起社會的關注，為了徹底消除校車安全隱患，某市購進了50臺完全相同的校車，準備發(fā)放給10所學校，每所學校至少2臺，則不同的發(fā)放方案的種數(shù)為(　　) A.C B.C C.C D.C 解析　首先每個學校配備一臺，這個沒有順序和情況之分，剩下40臺；將剩下的40臺排隊一樣排列好，則這40臺校車之間有39個空.對這39個空進行隔開成10部分，比如用9面小旗子隔開，就可以隔成10部分了，所以有C種分隔方法. 答案　D 14.“燈塔—黨建在線”，深入學習黨的十九大精神競賽活動中，某單

28、位甲、乙等5名參賽選手，甲和乙必須相鄰出場且都不在開頭和末尾出場，這5名選手不同的出場順序共有(　　) A.12種 B.24種 C.48種 D.120種 解析　甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個元素，共有AA種排法，甲乙相鄰且在首末出場有CAA種排法. 故甲乙相鄰且都不在首末出場的順序有AA－CAA＝24(種). 答案　B 15.(2018·江西八所重點中學聯(lián)合模擬)攝像師要對已坐定一排照像的5位小朋友的座位順序進行調(diào)整，要求其中恰有2人座位不調(diào)整，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 解析　從5人中任選3人有C種，將3人位置全部進行調(diào)整，有C·C·

29、C種. 故有N＝C·C·C·C＝20種調(diào)整方案. 答案　20 16.設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素有________個(用數(shù)字作答). 解析　因為xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以xi中至少兩個為0，至多四個為0. ①xi(i＝1，2，3，4，5)中4個0，1個為－1或1，A有2C＝10個元素； ②xi中3個0，2個為－1或1，A有C×2×2＝40個元素； ③xi中2個0，3個為－1或1，A有C×2×2×2＝80個元素； 從而，集合A中共有10＋40＋80＝130個元素. 答案　130 11