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1、2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：3-3-4 兩條平行直線間的距離 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 3.3.4 兩條平行直線間的距離 （1課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.讓學(xué)生掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離. 2.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)思距離公式的推導(dǎo)方案，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的精神，學(xué)會合作. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn):對距離公式推導(dǎo)方法的感悟與數(shù)學(xué)模型的建立. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 點(diǎn)P(0,5)到直線y=2x

2、的距離是多少？更進(jìn)一步在平面直角坐標(biāo)系中,如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),直線l的方程是Ax+By+C=0,怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)P到直線l的距離呢?這節(jié)課我們就來專門研究這個問題. 提出問題 ①已知點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點(diǎn)P到直線l的距離.你最容易想到的方法是什么?各種做法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么? ②前面我們是在A、B均不為零的假設(shè)下推導(dǎo)出公式的，若A、B中有一個為零，公式是否仍然成立？ ③回顧前面證法一的證明過程，同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？(如何求兩條平行線間的距離) 活動： ①請學(xué)生觀察上面三種特殊情形中的結(jié)論: (ⅰ)x0=0,y0=0時(shí)

3、，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0時(shí)，d=； (ⅲ)x0=0,y0≠0時(shí)，d=. 觀察、類比上面三個公式，能否猜想：對任意的點(diǎn)P(x0,y0)，d=? 學(xué)生應(yīng)能得到猜想：d=. 啟發(fā)誘導(dǎo)：當(dāng)點(diǎn)P不在特殊位置時(shí)，能否在距離不變的前提下適當(dāng)移動點(diǎn)P到特殊位置，從而可利用前面的公式？(引導(dǎo)學(xué)生利用兩平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，作平行線，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形來處理) 證明：設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線l1的方程為Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0). ∴P′N=. (*) ∵P在直線l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.

4、代入(*)得|P′N|= 即d=,. ②可以驗(yàn)證，當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上述公式也成立. ③引導(dǎo)學(xué)生得到兩條平行線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離d=. 證明：設(shè)P0(x0,y0)是直線Ax+By+C2=0上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到直線Ax+By+C1=0的距離為d=. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=. 討論結(jié)果：①已知點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點(diǎn)P到直線l的距離公式為d=. ②當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上述公式也成立. ③兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離公式為d=. 應(yīng)用示例 例

5、1 求點(diǎn)P0(-1，2)到下列直線的距離： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d=. (2)因?yàn)橹本€3x=2平行于y軸，所以d=|-(-1)|=. 點(diǎn)評：例1(1)直接應(yīng)用了點(diǎn)到直線的距離公式，要求學(xué)生熟練掌握；(2)體現(xiàn)了求點(diǎn)到直線距離的靈活性，并沒有局限于公式. 變式訓(xùn)練 點(diǎn)A(a，6)到直線3x－4y=2的距離等于4，求a的值. 解:=4|3a-6|=20a=20或a=. 例2 已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面積. 解:設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC=|AB|·h. |AB|=，

6、 AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離. AB邊所在的直線方程為,即x+y-4=0. 點(diǎn)C到x+y-4=0的距離為h=， 因此，S△ABC=×=5. 點(diǎn)評：通過這兩道簡單的例題，使學(xué)生能夠進(jìn)一步對點(diǎn)到直線的距離理解應(yīng)用，能逐步體會用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題的優(yōu)越性. 變式訓(xùn)練 求過點(diǎn)A(-1,2),且與原點(diǎn)的距離等于的直線方程. 解:已知直線上一點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)斜式方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,即可求出直線方程為x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3 求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離. 解:在直線2x-7y-6=0上任取一點(diǎn),例如取P(3,0),則點(diǎn)

7、P(3,0)到直線2x-7y+8=0的距離就是兩平行線間的距離.因此, d=. 點(diǎn)評:把求兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離. 變式訓(xùn)練 求兩平行線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離. 答案：. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí). 拓展提升 問題：已知直線l:2x-y+1=0和點(diǎn)O(0，0)、M(0，3)，試在l上找一點(diǎn)P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出這個最大值. 解:點(diǎn)O(0，0)關(guān)于直線l:2x-y+1=0的對稱點(diǎn)為O′(-,)， 則直線MO′的方程為y-3=x. 直線MO′與直線l:2x-y+1=0的交點(diǎn)P()即為所求， 相應(yīng)的||PO|-|PM||的最大值為|MO′|=. 課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家： 1.掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離. 2.構(gòu)思距離公式的推導(dǎo)方案，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的精神，學(xué)會合作. 3.本節(jié)課重點(diǎn)討論了平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離和兩條平行線之間的距離，后者實(shí)際上可作為前者的變式應(yīng)用. 作業(yè) 課本習(xí)題3.3 A組9、10；B組2、4. 板書設(shè)計(jì) 教學(xué)反思