高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十一章 幾何證明選講 理
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1、高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十一章 幾何證明選講 理 一.選擇題 1.(xx?北京高考理)如圖,AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F(xiàn),延長AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個結(jié)論: ①AD+AE=AB+BC+CA; ②AF·AG=AD·AE; ③△AFB∽△ADG. 其中正確結(jié)論的序號是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【解析】選A 逐個判斷:由切線定理得CE=CF,BD
2、=BF,所以AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC,即①正確;由切割線定理得AF·AG=AD2=AD·AE,即②正確;因?yàn)椤鰽DF∽△AGD,所以③錯誤,故選擇A. 2.(xx?北京高考理)如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E,則 ( ) A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD2 D.CE·EB
3、=CD2 【解析】選A 在直角三角形ABC中,根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2=AD·DB,再根據(jù)切割線定理可得CD2=CE·CB,所以CE·CB=AD·DB. 二.填空題 3.(xx?天津高考文) 如圖, 在圓內(nèi)接梯形ABCD中, AB∥DC.過點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E.若AB=AD=5, BE=4, 則弦BD的長為________. 【解析】本題主要考查相似三角形、圓中切割線定理,意在考查考生的邏輯推理能力.因?yàn)锳E是圓的切線,又AD=AB,AB∥DC,所以∠BAE=∠ADB=∠ABD=∠BDC,所以AD=AB=BC=5.由切割線定理可得EA2=EB×EC
4、=4×(5+4)=36,所以EA=6.又△BCD∽△EBA,所以=,則BD===. 【答案】 4.(xx?陜西高考文) 如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,則PE=________. 【解析】本題主要考查平面幾何的計(jì)算,具體涉及三角形相似的內(nèi)容,重點(diǎn)考查考生對平面幾何的計(jì)算能力.由PE∥BC知,∠A=∠C=∠PED,在△PDE和△PEA中,∠P公用,∠A=∠PED,故△PDE∽△PEA,則PD∶PE=PE∶PA.于是PE2=PA·PD=3×2=6,則PE=. 【答案】 5.(xx?廣東高考文) 如圖,在矩
5、形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足為E,則ED=________. 【解析】本題主要考查平面幾何、解三角形等知識,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,意在考查考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.tan∠BCA==,所以∠BCA=30°,∠ECD=90°-∠BCA=60°.在Rt△BCE中,CE=BC·cos∠BCA=3cos 30°=.在△ECD中,由余弦定理得ED===. 【答案】 6.(xx?重慶高考理) 如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,過C作△ABC的外接圓的切線CD,BD⊥CD,BD與外接圓交于點(diǎn)E,則DE的長為_____
6、___. 【解析】本題主要考查弦切角定理及切割線定理的應(yīng)用.由題意得BC=AB·sin 60°=10,由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°,所以CD=5,BD=15,由切割線定理知,CD2=DE·BD,則DE=5. 【答案】5 7.(xx?北京高考理)如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于D.若PA=3,PD∶DB=9∶16,則PD=________;AB=________. 【解析】本題考查圓的切割線定理,意在考查考生對定理的運(yùn)用能力.設(shè)PD=9t,DB=16t,則PB=25t,根據(jù)切割線定理得32=9t×25t,解得t=,所以PD=,PB=5.在直角三角形A
7、PB中,根據(jù)勾股定理得AB=4. 【答案】 4 8.(xx?陜西高考理)如圖,弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P.已知PD=2DA=2,則PE=________. 【解析】本小題圖形背景新穎,具體涉及圓的性質(zhì)以及相似三角形等內(nèi)容,重點(diǎn)考查考生的邏輯推理能力.由PE∥BC知,∠A=∠C=∠PED.在△PDE和△PEA中,∠APE=∠EPD,∠A=∠PED,故△PDE∽△PEA,則=,于是PE2=PA·PD=3×2=6,所以PE=. 【答案】 9.(xx?廣東高考理) 如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上.延長BC到D使BC=CD,過C作
8、圓O的切線交AD于E.若AB=6,ED=2,則BC=________. 【解析】本題考查圓與直線的位置關(guān)系、射影定理,考查考生邏輯推理能力和綜合運(yùn)用幾何圖形解決問題的能力.連接OC,則OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90°,∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD,則∠OAC=∠EAC.∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠AEC=90°,在Rt△ACD中,由射影定理得:CD2=ED·AD?、?,又CD=BC,AD=AB,將AB=6,ED=2代入①式,得CD= =2 ,∴BC=2 . 【答案】2 10.(xx?湖北高考理) 如圖,圓O上一點(diǎn)C在直
9、徑AB上的射影為D,點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E.若AB=3AD,則的值為________. 【解析】本題考查平面幾何中射影定理的應(yīng)用,意在考查考生的推理運(yùn)算能力. 連接AC,BC,則AC⊥BC. ∵AB=3AD,∴AD=AB,BD=AB,OD=AB. 又AB是圓O的直徑,OC是圓O的半徑, ∴OC=AB. 在△ABC中,根據(jù)射影定理有:CD2=AD·BD=AB2. 在△OCD中,根據(jù)射影定理有:OD2=OE·OC, CD2=CE·OC,可得OE=AB,CE=AB,∴=8. 【答案】8 11.(xx?天津高考理) 如圖, △ABC為圓的內(nèi)接三角形, BD為圓的弦,
10、且BD∥AC. 過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.若AB=AC,AE=6,BD= 5,則線段CF的長為________. 【解析】本題考查三角形相似、圓中切割線定理,意在考查考生的邏輯推理能力.因?yàn)锳E是圓的切線,且AE=6,BD=5,由切割線定理可得EA2=EB·ED,即36=EB·(EB+5),解得EB=4.又∠BAE=∠ADB=∠ACB=∠ABC,所以AE∥BC.又AC∥BD,所以四邊形AEBC是平行四邊形,所以AE=BC=6,AC=EB=4.又由題意可得△CAF∽△CBA,所以=,CF===. 【答案】 12.(xx?天津高考文)如圖,已知AB和AC是圓
11、的兩條弦,過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,F(xiàn)B=1,EF=,則線段CD的長為________. 【解析】因?yàn)锳B與CE相交于F點(diǎn),且AF=3,EF=,F(xiàn)B=1,所以CF===2,因?yàn)镋C∥BD,所以△ACF∽△ABD,所以====,所以BD===,且AD=4CD,又因?yàn)锽D是圓的切線,所以BD2=CD·AD=4CD2,所以CD=. 【答案】 13.(xx?廣東高考文) 如圖所示,直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn),∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,則AB=________. 【解析】因?yàn)?/p>
12、直線PB是圓的切線,所以∠ABP=∠C,又因?yàn)椤螦BP=∠ABD,所以∠ABD=∠C,又因?yàn)椤螦=∠A,所以△ABD∽△ACB,所以=,所以AB==. 【答案】 14.(xx?廣東高考理)如圖,圓O的半徑為1,A、B、C是圓周上的三點(diǎn),滿足∠ABC=30°,過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長線交于點(diǎn)P,則PA=________. 【解析】 如圖,連接OA. 由∠ABC=30°,得∠AOC=60°,在直角三角形AOP中,OA=1,于是PA=OAtan 60°=. 【答案】 15.(xx?天津高考理) 如圖,已知AB和AC是圓的兩條弦,過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線相交于點(diǎn)
13、D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,F(xiàn)B=1,EF=,則線段CD的長為________. 【解析】由相交弦定理可得CF·FE=AF·FB,得CF=2.又因?yàn)镃F∥DB,所以=,得DB=,且AD=4CD,由切割線定理得DB2=DC·DA=4CD2,得CD=. 【答案】 16.(xx?陜西高考理) 如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EF⊥DB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DF·DB=________________. 【解析】由相交弦定理可知ED2=AE·EB=1×5=5,又易知△EBD與△FED相似,得DF·DB=ED2=5.
14、【答案】5 17.(xx?湖南高考理) 如圖,過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A,B兩點(diǎn).若PA=1,AB=2,PO=3,則⊙O的半徑等于________. 【解析】設(shè)圓的半徑為r,則(3-r)(3+r)=1×3,即r2=6,解得r=. 【答案】 18.(xx?湖北高考理) (選修4-1:幾何證明選講) 如圖,點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動,AB=4,連接OD,過點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C,則CD的最大值為________. 【解析】由題意知CD2=OC2-OD2,OC是半徑,所以當(dāng)OD的值最小時,DC最大,易知D為AB的中點(diǎn)時,DB=DC=2最大. 【答案】2 19.(2
15、011?湖南高考理) 如圖,A,E是半圓周上的兩個三等分點(diǎn),直徑BC=4,AD⊥BC,垂足為D,BE與AD相交于點(diǎn)F,則AF的長為______. 【解析】如圖,連接AB,AC,CE,由于A,E為半圓周上的三等分點(diǎn),可得∠FBD=30°,∠ABD=60°,∠ACB=30°,由此得AB=2,AD=,BD=1,則DF=,故AF=. 【答案】 20.(2011?廣東高考理) (幾何證明選講選做題)如圖,過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A,B,且PB=7,C是圓上一點(diǎn)使得BC=5,∠BAC=∠APB,則AB=____________. 【解析】由PA為⊙O的切線,BA
16、為弦,得∠PAB=∠BCA,又∠BAC=∠APB,于是△APB∽△CAB,所以=,而PB=7,BC=5,故AB2=PB·BC=7×5=35, 即AB=. 【答案】 21.(2011?天津高考理) 如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,E是AB延長線上一點(diǎn),且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE與圓相切,則線段CE的長為____________. 【解析】設(shè)BE=x,則FB=2x,AF=4x,由相交弦定理得DF·FC=AF·FB,即2=8x2,解得x=,E=,再由切割線定理得CE2=EB·EA=×=,所以CE=. 【答案】 【答案】5 22.(2011?陜西
17、高考) 如圖,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,則BE=________. 【解析】由于∠B=∠D,∠AEB=∠C,從而得=,解得AE=2,故BE==4. 【答案】 4 三.解答題 23.(xx?江蘇高考) 如圖,AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C,AC經(jīng)過圓心O,且BC=2OC.求證:AC=2AD. 證明:連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因?yàn)椤螦=∠A, 所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以=. 又BC=2OC=2OD, 故AC=2AD. 24.(x
18、x?新課標(biāo)Ⅱ全國高考文) 如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓. (1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑; (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值. 解:本題主要考查相似三角形的判定定理、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及弦切角定理,意在考查考生的推理認(rèn)證能力與運(yùn)算求解能力. (1)證明:因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因?yàn)锽,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,所以∠CFE
19、=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑. (2)如圖,連接CE,因?yàn)椤螩BE=90°,所以過B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DB·DA=3DB2,故過B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. 25.(xx?新課標(biāo)Ⅰ全國高考文) 如圖,直線AB為圓的切線,切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于點(diǎn)D. (1)證明:DB=DC; (2)設(shè)圓的半徑為1
20、,BC=,延長CE交AB于點(diǎn)F,求△BCF外接圓的半徑. 解:本題主要考查幾何證明選講中圓的幾何性質(zhì)、切線的相關(guān)定理與結(jié)論的應(yīng)用,難度中等. (1)證明:如圖,連接DE,交BC于點(diǎn)G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因?yàn)镈B⊥BE,所以DE為直徑,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故DG是BC的中垂線,所以BG=. 設(shè)DE的中點(diǎn)為O,連接BO,則∠BOG=60°.從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圓
21、的半徑等于. 26.(xx?遼寧高考文) 如圖,AB為⊙O直徑,直線CD與⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE. 證明:(1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD·BC. 證明:本題主要考查直線和圓相切,利用弦切角定理導(dǎo)出角的關(guān)系,利用全等和相似導(dǎo)出線段關(guān)系. (1)由直線CD與⊙O相切,得∠CEB=∠EAB. 由AB為⊙O的直徑,得AE⊥EB,從而∠EAB+∠EBF=. 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=, 從而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB. (2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是
22、公共邊, 得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF. 類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF. 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF, 所以EF2=AD·BC. 27.(xx?遼寧高考理)如圖,AB為⊙O的直徑,直線CD與⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD·BC. 證明:本題主要考查圓的基本性質(zhì)、全等三角形的應(yīng)用以及直角三角形的性質(zhì),考查了考生的邏輯思維能力和歸納推理能力. (1)由直線CD與⊙O相切,得∠CEB=∠EAB. 由AB為⊙
23、O的直徑,得AE⊥EB,從而∠EAB+∠EBF=; 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,從而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB. (2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共邊, 得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF. 類似可證,Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF. 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF, 所以EF2=AD·BC. 28.(xx?新課標(biāo)Ⅰ全國高考理) 如圖,直線AB為圓的切線,切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于點(diǎn)D. (1)證明:DB=DC; (2)設(shè)圓的
24、半徑為1,BC=,延長CE交AB于點(diǎn)F,求△BCF外接圓的半徑. 解:本題主要考查平面內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系、弦切角定理、勾股定理、中垂線定理等知識,意在考查考生的推理論證能力和運(yùn)算能力. (1)證明:連接DE,交BC于點(diǎn)G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又DB⊥BE,所以DE為直徑,則∠DCE=90°, 由勾股定理可得DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂線,所以BG=. 設(shè)DE的中點(diǎn)為O,連接BO,則∠BOG=60°. 從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
25、 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圓的半徑等于. 29.(xx?新課標(biāo)Ⅱ全國高考理) 如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓. (1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑; (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值. 解:本題考查圓的基本性質(zhì)、三角形相似定理、直角三角形射影定理等基本知識,是對考生基本推理能力以及轉(zhuǎn)化與化歸能力的考查. (1)證明:因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線,
26、所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知=, 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因?yàn)锽,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA= 90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑. (2)連接CE,因?yàn)椤螩BE=90°,所以過B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)的圓的直徑為CE.由BD=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DB·DA=3DB2,故過B,E,F(xiàn),C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. 30.(xx?遼寧高考文) 如圖,⊙O和⊙O′相交于A,B兩點(diǎn),過A作兩
27、圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明: (1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. 解:(1)由AC與⊙O′相切于A, 得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ACB∽△DAB.從而 =, 即AC·BD=AD·AB. (2)由AD與⊙O相切于A,得 ∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,得 △EAD∽△ABD.從而 =, 即AE·BD=AD·AB. 結(jié)合(1)的結(jié)論,AC=AE. 31.(xx?新課標(biāo)高考文) 如圖,D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點(diǎn),直線DE交△ABC的外接圓于F,G兩
28、點(diǎn).若CF∥AB,證明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 證明: (1)因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四邊形BCFD是平行四邊形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,連接AF,所以四邊形ADCF是平行四邊形,故CD=AF. 因?yàn)镃F∥AB,所以BC=AF,故CD=BC. (2)因?yàn)镕G∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD. 32.(xx?遼寧高考理)如圖,⊙O和⊙O′相交于A,B兩點(diǎn),過A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),連結(jié)DB并延
29、長交⊙O于點(diǎn)E.證明: (1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. 證明:(1) 由AC與⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ACB∽△DAB.從而=, 即AC·BD=AD·AB. (2)由AD與⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,得 △EAD∽△ABD.從而=, 即AE·BD=AD·AB. 結(jié)合(1)的結(jié)論,AC=AE. 33.(xx?江蘇高考) 如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C,使BD=DC,連結(jié)AC,AE,DE. 求證:∠E=∠C.
30、 解:連結(jié)OD,因?yàn)锽D=DC,O為AB的中點(diǎn), 所以O(shè)D∥AC,于是∠ODB=∠C. 因?yàn)镺B=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C. 因?yàn)辄c(diǎn)A,E,B,D都在圓O上,且D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C. 34.(xx?新課標(biāo)高考理) 如圖,D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點(diǎn),直線DE交△ABC的外接圓于F,G兩點(diǎn).若CF∥AB,證明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 解:(1)因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四邊形BCFD是平行四邊形,所
31、以CF=BD=AD.而CF∥AD,連結(jié)AF,所以四邊形ADCF是平行四邊形,故CD=AF. 因?yàn)镃F∥AB,所以BC=AF,故CD=BC. (2)因?yàn)镕G∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD. 35.(xx?新課標(biāo)高考) 如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根. (1)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓; (2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.
32、 解:(1)證明:連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC, 即=.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB.因此∠ADE=∠ACB. 所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓. (2)m=4,n=6時,方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12. 故AD=2,AB=12. 取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH.因?yàn)镃,B,D,E四點(diǎn)共圓,所以C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH. 由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC.從而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5. 故C,B,D
33、,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5. 36.(2011?江蘇高考) 如圖,圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2).圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上).求證:AB∶AC為定值. 解: 連接AO1,并延長分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連接BD,CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A,所以點(diǎn)O2在AD上.故AD,AE分別為圓O1,圓O2的直徑. 從而∠ABD=∠ACE=.所以BD∥CE, 于是===. 所以AB∶AC為定值. 37.(2011?遼寧高考) 如圖,A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn),且EC=ED. (1)證明:CD∥AB; (2)延長CD到F,延長DC到G,使得EF=EG,證明:A,B,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓. 證明:(1)因?yàn)镋C=ED,所以∠EDC=∠ECD.因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,所以∠EDC=∠EBA.故ECD=∠EBA. 所以CD∥AB.(5分) (2)由(1)知,AE=BE.因?yàn)镋F=EG,故∠EFD=∠EGC,從而∠FED=∠GEC. 連接AF,BG,則△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
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