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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)03 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征庖丁解題 新人教A版必修2

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)03 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征庖丁解題 新人教A版必修2 1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)可以分別看作以矩形一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體,旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸;在軸上的這條邊(或它的長(zhǎng)度)叫做這個(gè)幾何體的高;垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做這個(gè)幾何體的底面;不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做這個(gè)幾何體的側(cè)面,無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都叫做側(cè)面的母線. 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等幾何體,都是由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體,這

2、類幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體,這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸. 【例】若邊長(zhǎng)為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面,則從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是( ) A.10 cm B.5 cm C.5 cm D.2(5) cm 【答案】D 【規(guī)律總結(jié)】解決旋轉(zhuǎn)體中的距離最值問(wèn)題,用側(cè)面展開圖,將問(wèn)題平面化. 1.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓,那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則有2πr=2(1)·2πl(wèi).∴2r=l, 即△A

3、BC為等邊三角形,故頂角為60°. 2.下列說(shuō)法: ①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓錐; ②以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái); ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓; ④分別以矩形兩條不相等的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形旋轉(zhuǎn)一周,所得的兩個(gè)圓柱是不同的圓柱. 其中正確的有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【答案】B 【秒殺技】處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想. 3.一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為5,底面半徑為3,則該圓錐的軸截面的面積為( ) A.10 B.12 C.20 D.15 【答案

4、】B 【解析】圓錐的軸截面是等腰三角形,兩腰為圓錐的母線,底邊為圓錐的底面圓的直徑,所以軸截面的面積S=2(1)×2×3×=12,故選B. 4.下列說(shuō)法不正確的是( ) A.圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形 B.圓錐過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形 C.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐 D.圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面 【答案】C 【解析】由圓錐的概念知直角三角形繞它的一條直角邊所在直角旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐,即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線,因而C錯(cuò). 5.給出下列命題:①圓柱的底面是圓;②經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形;③連接圓柱上、

5、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線;④圓柱的任意兩條母線互相平行;⑤圓柱的側(cè)面沿母線展開的圖形是矩形;⑥圓柱的母線有且只有一條.其中正確的為 .(只填序號(hào)) 【答案】②④⑤ 【規(guī)律方法】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示. 6.如圖所示,用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐,截得圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為2 cm和5 cm,圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是12 cm,求圓錐SO的母線長(zhǎng). 【解析】如圖,過(guò)圓臺(tái)的軸作截面,截面為等腰梯形ABCD,由已知可得上底半徑O1A=2 cm,下底半徑OB=5 cm,且腰長(zhǎng)AB=12 cm.設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l,則

6、由△SAO1∽△SBO,可得l(l-12)=5(2),所以l=20 cm,即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm. 1.如上、下底面面積分別為36π和49π,母線長(zhǎng)為5的圓臺(tái),其兩底面之間的距離為( ) A.4 B.3 C.2 D.2 【答案】D 2.圓臺(tái)軸截面的兩條對(duì)角線互相垂直,且上下底面半徑的比為3:4,又其高為14,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是__________. 【答案】20 【解析】如圖所示,由已知有R(r)=4(3)=OO2(O1O),因?yàn)镺B⊥OC,所以△AOB,△DOC均為等腰直角三角形.又O1O2

7、=14,所以O(shè)1O=r=6,OO2=R=8,在Rt△BOC中,OB2+OC2=l2, 所以r2+OO1(2)+R2+OO2(2)=l2,代入數(shù)據(jù)得l=20. 3.已一個(gè)等邊圓柱(底面直徑等于高)的軸截面面積是S,則它的底面面積是________. 【答案】4(π)S 【解析】設(shè)底面半徑為r,則4r2=S,故底面面積為πr2=π·4(S)=4(π)S. 4.如圓臺(tái)的上底周長(zhǎng)是下底周長(zhǎng)的3(1),軸截面面積等于392,母線與底面的夾角為45°,求此圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)及兩底面的半徑. 【答案】R=21,r=7,h=14,l=14. 圜丘壇 圜丘壇是我國(guó)明朝建立的一個(gè)地點(diǎn),在天壇南部,為皇帝冬至日祭天大典的場(chǎng)所,又稱祭天壇.壇面為艾葉青石,漢白玉欄板、欄柱雕成,兩道外方里圓的圍墻象征著 “天圓地方”.由于是祭天壇,圜丘的整個(gè)結(jié)構(gòu)是對(duì)數(shù)學(xué)的巧妙運(yùn)用,壇面、臺(tái)階、欄桿的石制構(gòu)件,都取九或九的倍數(shù),即陽(yáng)數(shù),用以象征天.壇中心的圓形石板,叫天心石,站在上面高喊或發(fā)出敲擊聲,周圍即起回音,自己聽起來(lái)聲音很大,好似一呼百應(yīng).

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