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(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第31講 平面向量的綜合應(yīng)用學(xué)案 理

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1、 第31講 平面向量的綜合應(yīng)用 考試要求 1.用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題(A級(jí)要求);2.用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題(A級(jí)要求). 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)若∥,則A,B,C三點(diǎn)共線.(  ) (2)解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長(zhǎng)度等問(wèn)題都可以用向量解決.(  ) (3)實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(  ) (4)在△ABC中,若·<0,則△ABC為鈍角三角形.(  ) 解析 (4)中,與的夾角為π-B,是鈍角,只能說(shuō)明B為銳角. 答案 (1)

2、√ (2)√ (3)√ (4)× 2.(教材改編)已知力F=(2,3)作用在一物體上,使物體從A(2,0)移動(dòng)到B(-2,3),則F對(duì)物體所做的功為_(kāi)_______. 解析 由已知位移s==(-4,3), ∴力F做的功為W=F·s=2×(-4)+3×3=1. 答案 1 3.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),則這個(gè)三角形的形狀是________. 解析 ∵=(2,-2),=(6,6), ∴·=12-12=0, ∴⊥,∴△ABC為直角三角形. 答案 直角三角形 4.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為

3、________. 解析 ·=(1,2)·(-4,2)=0,則⊥,故四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直,面積S=||||=××2=5. 答案 5 5.(2018·蘇州調(diào)研)在梯形ABCD中,=2,||=6,P為梯形ABCD所在平面上一點(diǎn),且滿足++4=0,·=||||,Q為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則||的最小值為_(kāi)_______. 解析 設(shè)AB中點(diǎn)為E,則四邊形BCDE為平行四邊形,且+=2,所以=2,D,E,P三點(diǎn)共線,||=6,||=2.又·=·=3· =3||||cos∠ADE=||||, 所以cos∠ADE=,sin∠ADE=. 要使||最小,即PQ⊥AD. 此時(shí)||=||si

4、n∠ADE=. 答案  知 識(shí) 梳 理 1.向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧: 問(wèn)題類型 所用知識(shí) 公式表示 線平行、點(diǎn)共線等問(wèn)題 向量共線定理 a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0 垂直問(wèn)題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b為非零向量 夾角問(wèn)題 數(shù)量積的定義 cos θ=(θ為向量a,b的夾角),其中a,b為非零向量 長(zhǎng)度問(wèn)題 數(shù)量積的定義 |a|==,其中a=(x,y),a為非零

5、向量 (2)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟: 平面幾何問(wèn)題向量問(wèn)題解決向量問(wèn)題解決幾何問(wèn)題. 2.平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的加法和減法相似,可以用向量的知識(shí)來(lái)解決. (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量,是力F與位移s的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角). 3.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型.解答此類問(wèn)題,除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外,還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí). 4.向量在解析幾何中

6、的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述.它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題,進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答,坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體. 考點(diǎn)一 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 【例1】 (1)在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若·=1,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______. (2)(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研(二))在△ABC中,AB⊥AC,AB=,AC=t,P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若=+,則△PBC面積的最小值為_(kāi)_______. 解析 (1)由題意,可知=+,=-+.因?yàn)椤ぃ?,所以(+)·=1, 即2+·-

7、2=1.① 因?yàn)閨|=1,∠BAD=60°,所以·=||, 因此①式可化為1+||-||2=1,解得||=0(舍去)或,所以AB的長(zhǎng)為. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則 P(1,4),C(t,0),B,BC:+ty=1,x+t2y-t=0, S△PBC=××=|4t+-1|≥|2-1|=,△PBC面積的最小值為. 答案 (1) (2) 規(guī)律方法 向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示,這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算,從而使問(wèn)題得到解決. (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底

8、,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解. 【訓(xùn)練1】 (1)在△ABC中,已知向量與滿足·=0,且·=,則△ABC的形狀為_(kāi)_______三角形. (2)在△ABC中,若·=·=·,則點(diǎn)O是△ABC的________(從“重心”“垂心”“內(nèi)心”“外心”中選填一個(gè)). 解析 (1),分別為平行于,的單位向量,由平行四邊形法則可知+為∠BAC的平分線.因?yàn)椤ぃ?,所以∠BAC的平分線垂直于BC,所以AB=AC. 又·=··cos∠BAC=, 所以cos∠BAC=,又0<∠BAC<π,故∠BAC=, 所以△ABC為等邊三角形. (2)∵·=·, ∴·(-)

9、=0, ∴·=0, ∴OB⊥CA,即OB為△ABC底邊CA上的高所在直線. 同理·=0,·=0, 故O為△ABC的垂心. 答案 (1)等邊 (2)垂心 考點(diǎn)二 向量在解析幾何中的應(yīng)用 【例2】 (1)(2018·南京、鹽城模擬)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三點(diǎn)共線,當(dāng)k<0時(shí),若k為直線的斜率,則過(guò)點(diǎn)(2,-1)的直線方程為_(kāi)_______. (2)(2018·江蘇大聯(lián)考)已知P為單位圓O上的點(diǎn),M,N為圓x2+y2=16上兩點(diǎn),函數(shù)f(x)=|-x|(x∈R),若函數(shù)f(x)的最小值為t,且當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),t的最大值為3,則線段M

10、N的長(zhǎng)度為_(kāi)_______. 解析 (1)∵=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5),且∥, ∴(4-k)(k-5)+6×7=0, 解得k=-2或k=11. 由k<0可知k=-2,則過(guò)點(diǎn)(2,-1)且斜率為-2的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0. (2)f(x)=, t= ===dP-MN, 由題意得(dP-MN)max=3, 因此dO-MN=2,MN=2=4. 答案 (1)2x+y-3=0 (2)4 規(guī)律方法 向量在解析幾何中的作用: (1)載體作用,向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向

11、量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題; (2)工具作用,利用a⊥b?a·b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問(wèn)題,特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較可行的方法. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·鹽城模擬)如圖所示,半圓的直徑AB=6,O為圓心,C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn),則(+)·的最小值為_(kāi)_______. (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為圓(x-2)2+y2=3的圓心,且圓上有一點(diǎn)M(x,y)滿足·=0,則=________. 解析 (1)∵圓心O是

12、直徑AB的中點(diǎn), ∴+=2, ∴(+)·=2·, ∵與共線且方向相反, ∴當(dāng)大小相等時(shí),乘積最小.由條件知, 當(dāng)PO=PC=時(shí),最小值為-2××=-. (2)∵·=0,∴OM⊥CM, ∴OM是圓的切線,設(shè)OM的方程為y=kx, 由=,得k=±, 即=±. 答案 (1)- (2)± 考點(diǎn)三 向量的其他應(yīng)用(多維探究) 命題角度1 向量在物理中的應(yīng)用 【例3-1】 如圖,一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1,F(xiàn)2成60°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2和4,則F3的大小為_(kāi)_______. 解析 如題圖所示,由已知得F1

13、+F2+F3=0,則F3=-(F1+F2),即F=F+F+2F1·F2=F+F+2|F1|·|F2|·cos 60°=28.故|F3|=2. 答案 2 命題角度2 向量在不等式中的應(yīng)用 【例3-2】 已知x,y滿足若=(x,1),=(2,y),且·的最大值是最小值的8倍,則實(shí)數(shù)a的值是________. 解析 因?yàn)椋?x,1),=(2,y),所以·=2x+y,令z=2x+y,依題意,不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界),觀察圖象可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過(guò)點(diǎn)C(1,1)時(shí),zmax=2×1+1=3,目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過(guò)點(diǎn)F(a,a)時(shí),zmin=2a+a=3a,所以3

14、=8×3a,解得a=. 答案  命題角度3 向量在解三角形中的應(yīng)用 【例3-3】 (2018·蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)調(diào)研)已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,且C=,c=2,當(dāng)·取得最大值時(shí),的值為_(kāi)_______. 解析 ∵C=.∴B=π-A-C=π-A-=π-A, 由=得b=·sinB= ·sin ==2cos A+sin A; ∴·=bccos A=×2×cos A =4cos2A+sin Acos A=4×+sin 2A =2+2cos 2A+sin 2A =2+ =sin+2. ∵A+B=π-c=π,∴0

15、=,即A=時(shí),·取最大值+2. 此時(shí)B=π-A=π, ∴此時(shí)====2+. 答案 2+ 規(guī)律方法 利用向量的載體作用,可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái),解題時(shí)通過(guò)定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使問(wèn)題的條件結(jié)論明晰化. 【訓(xùn)練3】 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若20a+15b+12c=0,則△ABC最小角的正弦值等于________. 解析 ∵20a+15b+12c=0, ∴20a(-)+15b+12c=0, ∴(20a-15b)+(12c-20a)=0, ∵與不共線, ∴? ∴△ABC最小角為角A, ∴cos A= ==, ∴sin A=. 答

16、案  一、必做題 1.(2018·揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心).若=+,則∠BAC等于________(用角度表示). 解析 取BC的中點(diǎn)D,連接AD,則+=2 .由題意得3=2,∴AD為BC的中線且O為重心.又O為外心,∴△ABC為正三角形,∴∠BAC=60°. 答案 60° 2.(2018·南京師大附中模擬)在平面內(nèi),若A(1,7),B(5,1),M(2,1),點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且·=-8,則cos∠APB=________. 解析 由題意可得直線OM的方程為y=x,設(shè)P(2y,y),則=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),所

17、以·=(1-2y,7-y)·(5-2y,1-y)=5y2-20y+12=-8,解得y=2,所以P(4,2),=(-3,5),=(1,-1),所以cos∠APB==-=-. 答案 - 3.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)M是函數(shù)f(x)=(x>0)的圖象上任意一點(diǎn),過(guò)M點(diǎn)向直線y=x和y軸作垂線,垂足分別是A,B,則·=________. 解析 由題意可得∠AMB=135°.設(shè)M(x>0),則||==,所以·=||·||cos 135°=·x·=-2. 答案?。? 4.(2018·江蘇六校聯(lián)考)在△ABC中,已知AB=8,AC=6,點(diǎn)O為三角形的外心,則

18、·=________. 解析 由點(diǎn)O為三角形的外心,可設(shè)AB,AC的中點(diǎn)分別為M,N, 則MO⊥AB,ON⊥AC,從而(-)·=0, 即·=0,所以·=2=32, 同理(-)·=0, 即·=0,所以·=2=18, 所以·=(-)·=·-·=(-18)-(-32)=14. 答案 14 5.(2018·江蘇大聯(lián)考)已知△ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,則λ=________. 解析 因?yàn)椋剑?,=+? 所以·=(+)·(+) =·-·-·+· =·-λ·2-(1-λ)·2+λ(1-λ)·· =2×2×cos 60°-4λ-4

19、(1-λ)+λ(1-λ)×2×2×cos 60° =-2λ2+2λ-2=-, 解得λ=. 答案  6.(2017·泰州中學(xué)第二次質(zhì)量檢測(cè))已知△ABC中,BC=2,G為△ABC的重心,且滿足AG⊥BG,則△ABC的面積的最大值為_(kāi)_______. 解析 以為x軸的正半軸,BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則B(-1,0),C(1,0), 設(shè)A(x,y),由G為△ABC的重心,得G, 所以=,=, 由AG⊥BG,得·=·=0, 所以x2+3x+y2=0,即+y2=, 所以|y|≤, 故S△ABC=BC·h=|y|≤(h為BC邊上的高), 所以△ABC的面積的最大值為.

20、 答案  7.(2017·南京、鹽城二模)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=4.若點(diǎn)D在邊BC上,且=2,AD=,則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 解析 由=2得-=2(-)?=+,又AD=,所以=,即2+4·+42=28,因?yàn)椤鰽BC中,∠BAC=120°,AB=4,所以16-8||+4||2=28,從而||=3(||=-1舍去). 答案 3 8.(2018·蘇北四市調(diào)研)對(duì)任意兩個(gè)非零向量α,β,定義α°β=.若平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0,a與b的夾角θ∈,且a°b和b°a都在集合中,則a°b=________. 解析 設(shè)a°b==cos θ=, 則b°a=cos

21、 θ=,兩式相乘,可得 cos2θ=,因?yàn)棣取?,所以k1,k2都是正整數(shù), 0,所以k1=3,k2=1,a°b=. 答案  9.(2017·南京高三第三次模擬)已知向量a=(2cos α,sin2α),b=(2sin α,t),α∈. (1)若a-b=,求t的值; (2)若t=1,且a·b=1,求tan的值. 解 (1)因?yàn)橄蛄縜=(2cos α,sin2α),b=(2sin α,t), 且a-b=,所以cos α-sin α=,t=sin2α. 由cos α-sin α=得(cos α-sin α)

22、2=, 即1-2sin αcos α=,從而2sin αcos α=. 所以(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=. 因?yàn)棣痢?,所以cos α+sin α=. 所以sin α==, 從而t=sin2α=. (2)因?yàn)閠=1,且a·b=1, 所以4sin αcos α+sin2α=1,即4sin αcos α=cos2α. 因?yàn)棣痢?,所以cos α≠0,從而tan α=. 所以tan 2α==. 所以tan===. 10.(2018·南通調(diào)研)已知向量m=,n=. (1)若m·n=1,求cos的值; (2)記f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,

23、C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cos B=bcos C,求f(A)的取值范圍. 解 m·n=sin cos +cos2 =sin +×cos +=sin+. (1)∵m·n=1,∴sin=, cos=1-2sin2=, cos=-cos=-. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得 (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且sin A≠0, ∴cos

24、 B=,B=.∴0<A<. ∴<+<,<sin<1. 又∵f(x)=m·n=sin+, ∴f(A)=sin+,故1<f(A)<. 故f(A)的取值范圍是. 二、選做題 11.(2018·江蘇押題卷)在平面內(nèi),·=·=·=6,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足 ||=2,=,則||2的最大值是________. 解析 由已知易得△ABC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為 2, 設(shè)O是△ABC的中心,則||=||=||=2. 以O(shè)為原點(diǎn),直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示,則A(2,0),B(-1,-),C(-1,).設(shè)P(x,y), 由已知||=2,得(x-2)2+y2=4, ∵=, ∴

25、M,∴=, ∴||2=,它表示圓(x-2)2+y2=4上的點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)B′(-1,-3)的距離的平方的, ∵||max=+2=+2=8, ∴(||)==16. 答案 16 12.(2018·蘇州期中)如圖,半徑為1,圓心角為的圓弧上有一點(diǎn)C. (1)當(dāng)C為圓弧的中點(diǎn)時(shí),D為線段OA上任一點(diǎn),求|+|的最小值; (2)當(dāng)C在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),D,E分別為線段OA,OB的中點(diǎn),求·的取值范圍. 解 以O(shè)為原點(diǎn),以為x軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, (1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1), C, 所以+=, 所以|+|2=-t+t2+ =t2-t+1=+(0≤t≤1), 當(dāng)t=時(shí),|+|的最小值為. (2)設(shè)=(cos α,sin α),0≤α≤,E, 則=-=-(cos α,sin α)=.又因?yàn)镈, 所以=, 所以·= =sin+, 因?yàn)?≤α≤,所以≤α+≤, 所以sin∈[-1,1], 則sin+∈. 所以·∈. 16

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