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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第10課時 拋物線（二）練習(xí) 理 1．(2018·廣東中山第一次統(tǒng)測)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8.故選B. 2．若拋物線y＝4x2上一點(diǎn)到直線y＝4x－5的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(，1) B．(0，0) C．(1，2) D．(1，4) 答案　A 解析　設(shè)與直線y＝4x－5平行的直線為y＝4x

2、＋m，由平面幾何的性質(zhì)可知，拋物線y＝4x2上到直線y＝4x－5的距離最短的點(diǎn)即為直線y＝4x＋m與拋物線相切的點(diǎn)．而對y＝4x2求導(dǎo)得y′＝8x，又直線y＝4x＋m的斜率為4，所以8x＝4，得x＝，此時y＝4×()2＝1，即切點(diǎn)為(，1)，故選A. 3．(2017·北京東城期末)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，如果|BF|＝3，|BF|>|AF|，∠BFO＝，那么|AF|的值為(　　) A．1 B. C．3 D．6 答案　A 解析　由已知直線的斜率為k＝，則方程為y＝(x－)，聯(lián)立方程得3x2－5px＋＝0，即(2x－3p)(6x

3、－p)＝0. 因?yàn)閨BF|>|AF|，所以xB＝p，xA＝，依題意xB＋＝2p＝3，所以p＝，則|AF|＝xA＋＝p＝1.故選A. 4．(2018·廣東汕頭第三次質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，與直線y＝2x－4交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　∵拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．又∵直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)，∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，－2)，(4，4)，則＝(0，－2)，＝(3，4)，∴cos∠AFB＝＝＝－.故選D. 5．(2018·河南四校聯(lián)考)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以

4、F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　由題意可得F(，0)．設(shè)P(，y0)，當(dāng)y0<0時，kOM<0；當(dāng)y0>0時，kOM>0.∵要求kOM的最大值，∴y0>0.∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋，)，∴kOM＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)y02＝2p2，即y0＝p時取得等號．故選C. 6．(2018·廣西玉林期末)從拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)．若直線AB的傾斜角為，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(　　) A. B.

5、C. D．2 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，y)，則kAB＝＝. ∵直線AB的傾斜角為，∴＝，∴y1＋y2＝. 切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)，切線PB的方程為y－y2＝(x－x2)，即切線PA的方程為y＝x＋y1，切線PB的方程為y＝x＋y2. ∴y1，y2是方程t2－2yt＋4x＝0兩個根，∴y1＋y2＝2y＝.∴y＝.故選B. 7．(2018·石家莊市高三檢測)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p>0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則拋物線C2的方程為(　　) A．y2＝x B．y2

6、＝x C．y2＝x D．y2＝x 答案　C 解析　由題意，知直線AB必過原點(diǎn)，則設(shè)AB的方程為y＝kx(k>0)，圓心C1(0，2)到直線AB的距離d＝＝＝，解得k＝2.由可取A(0，0)，B(，)，把(，)代入拋物線方程，得()2＝2p·，解得p＝，所以拋物線C2的方程為y2＝x，故選C. 8．直線l與拋物線C：y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率k1，k2滿足k1k2＝，則直線l過定點(diǎn)(　　) A．(－3，0) B．(0，－3) C．(3，0) D．(0，3) 答案　A 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閗1k2＝，所以·

7、＝.又y12＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.將直線l：x＝my＋b代入拋物線C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直線l：x＝my－3，所以直線l過定點(diǎn)(－3，0)． 9.(2017·湖南益陽模擬)如圖所示，已知直線l：y＝k(x＋1)(k>0)與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組消去x，得ky2－4y＋4k＝0.① 因?yàn)橹本€與拋物線相

8、交，所以有 Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0.(*) y1，y2是方程①的兩個根，所以有 又因?yàn)閨AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④ 解由②③④組成的方程組，得k＝. 把k＝代入(*)式檢驗(yàn)，不等式成立．所以k＝，故選C. 10．(2017·威海一模)過拋物線C：y2＝2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)作兩條斜率均存在的直線，分別交拋物線C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直線PA，PB關(guān)于直線x＝x0對稱，則log2|y1＋y2|－log2y0的值為(　　) A．1 B．－1 C．－ D．無法確定 答案　A 解析　設(shè)直線P

9、A的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.由y12＝2px1，y02＝2px0相減得(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，故kPA＝＝(x1≠x0)．同理可得kPB＝(x2≠x0)．若直線PA，PB關(guān)于直線x＝x0對稱，則PA，PB的傾斜角互補(bǔ)．故kPA＝－kPB，即＝－.所以y1＋y2＝－2y0，故＝－2，故log2|y1＋y2|－log2y0＝1.故選A. 11．(2018·東城區(qū)期末)已知拋物線C1：y＝x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C.

10、D. 答案　D 解析　由題可知，拋物線開口向上且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，所以兩個焦點(diǎn)連線的直線方程為y＝－(x－2)．設(shè)M(x0，y0)，則有y′＝x0＝?x0＝p.因?yàn)閥0＝x02，所以y0＝.又M點(diǎn)在拋物線的切線上，即有＝－(p－2)?p＝，故選D. 12．(2017·浙江杭州七校模擬質(zhì)量檢測)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(0，3)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若|AF|＋|BF|＝6，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． 答案　(4，0) 解析　設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋3，代入拋物線y2＝4x， 整理得k2x2＋(

11、6k－4)x＋9＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，由|AF|＋|BF|＝6，得(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝－＋2＝6，解得k＝－2，k＝(舍去)， 所以線段AB的中點(diǎn)為(2，－1)，線段AB的垂直平分線方程為y＋1＝(x－2)，令y＝0，得x＝4.故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，0)． 13．(2018·鄭州質(zhì)檢)設(shè)拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P(1，0)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且2＝，則|AF|＋2|BF|＝________． 答案　15 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1，0)， ∴＝(1－x2，－y2)，＝(x1

12、－1，y1)． ∵2＝，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)， ∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y(tǒng)1. 將A(x1，y1)，B(x2，y2)代入拋物線方程y2＝16x，得 y12＝16x1，y22＝16x2. 又∵－2y2＝y(tǒng)1，∴4x2＝x1.又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2. ∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×(＋4)＝15. 14．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，△AOB的面積是16，拋物線的焦點(diǎn)為F.若M是拋物線上的動點(diǎn)，則的最大值為________． 答案　 解析　設(shè)等

13、腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y12＝2px1，y22＝2px2.由|OA|＝|OB|，得x12＋y12＝x22＋y22，∴x12－x22＋2px1－2px2＝0，即(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1＝x2，即點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱． ∴設(shè)直線OA的方程為y＝x，與拋物線方程聯(lián)立，解得或 ∴|AB|＝4p，∴S△OAB＝×2p×4p＝4p2. ∵△AOB的面積為16，∴p＝2.∴焦點(diǎn)F(1，0)． 設(shè)M(m，n)，則n2＝4m，m>0，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離等于d， 則＝＝. 令m＋1＝t，t>1，則

14、m＝t－1，＝≤(當(dāng)且僅當(dāng)t＝3時，等號成立)．∴的最大值為. 15．(2018·河北唐山一中期末)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，圓O：x2＋y2＝1. (1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓上，且A為C和圓O的一個交點(diǎn)，求|AF|； (2)若直線l與拋物線C和圓O分別相交于點(diǎn)M，N，求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值． 答案　(1)－1　(2)2　 解析　(1)由題意得F(0，1)，∴C：x2＝4y. 解方程組得yA＝－2，∴|AF|＝－1. (2)設(shè)M(x0，y0)，則切線l：y＝(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0. 由|ON|＝1得|py0|＝＝， ∴p＝且y

15、02－1>0. ∴|MN|2＝|OM|2－1＝x02＋y02－1＝2py0＋y02－1＝＋y02－1＝4＋＋(y02－1)≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y0＝時等號成立． ∴|MN|的最小值為2，此時p＝. 16.(2018·江西九江一模)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l被E截得的線段長為8. (1)求拋物線E的方程； (2)已知點(diǎn)C是拋物線上的動點(diǎn)，以C為圓心的圓過點(diǎn)F，且圓C與直線x＝－相交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|·|FB|的取值范圍． 答案　(1)y2＝4x　(2)|FA|·|FB|∈[3，＋∞) 解析　(1)由題意，直線l的方程為y＝x－.聯(lián)立消去

16、y整理得x2－3px＋＝0.設(shè)直線l與拋物線E的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1＋x2＝3p，故直線l被拋物線E截得的線段長為x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，∴拋物線E的方程為y2＝4x. (2)由(1)知，F(xiàn)(1，0)，設(shè)C(x0，y0)，則圓C的方程是 (x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y02. 令x＝－，得y2－2y0y＋3x0－＝0. 又∵y02＝4x0，∴Δ＝4y02－12x0＋3＝y(tǒng)02＋3>0恒成立． 設(shè)A(－，y3)，B(－，y4)，則y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－. ∴|FA|·|FB|＝· ＝ ＝ ＝＝3|x0＋1|. ∵x

17、0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)． 1．(2018·南昌一模)已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個動點(diǎn)，若x1＋x2＋4＝|AB|，則∠AFB的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因?yàn)閤1＋x2＋4＝|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|＝|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝＝＝－1＝－1.又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時等號成立，所以|AF||BF|≤|AB|2，所以cos∠AFB≥－1＝－，所以∠AFB≤，即∠A

18、FB的最大值為. 2．(2017·遼寧五校期末聯(lián)考)已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AB|＝4，∴x1＋＋x2＋＝4，∴x1＋x2＝3. ∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故選C. 3．(2017·東北三校)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．

19、2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| 答案　C 解析　拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，由定義得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，則|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故選C. 4．(2017·豫晉冀三省一調(diào))設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上一點(diǎn)，若直線PF的傾斜角為120°，則|PF|等于(　　) A．2 B. C．3 D. 答案　B 解析　設(shè)P(x，y)，PA⊥l，A為垂足，取l與x

20、軸的交點(diǎn)為B.在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝4，則|AB|＝|y|＝，即有8x＝，可得x＝，|PF|＝2＋＝. 5．已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y12＋y22的最小值是________． 答案　32 解析　設(shè)直線方程為x＝ky＋4，與拋物線聯(lián)立得 y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16. ∴y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32. 故最小值為32. 6．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________．

21、 答案　2 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1，0)，p＝2.由＋＝，即＋＝，∴|BF|＝2. 8.如圖所示，斜率為1的直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為拋物線弧AB上的動點(diǎn)． (1)若|AB|＝8，求拋物線的方程； (2)求S△ABM的最大值． 答案　(1)y2＝4x　(2)p2 解析　(1)由條件知lAB：y＝x－，與y2＝2px聯(lián)立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，則x1＋x2＝3p.由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p. 又因?yàn)閨AB|＝8，即p＝2，則拋物線的方程為y2＝4x. (2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，設(shè)M(，y0)，則M到AB的距離為d＝. 因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB的上方，所以－y0－<0， 則d＝＝ ＝＝. 當(dāng)y0＝p時，dmax＝p. 故S△ABM的最大值為×4p×p＝p2. 方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y＝x＋m，代入拋物線方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y＝x＋，兩直線間的距離為d＝＝p， 故S△ABM的最大值為×4p×p＝p2.