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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第7課時(shí) 雙曲線（一）練習(xí) 理 1．雙曲線－＝1(00)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 答案　D 解析　因?yàn)殡p曲線的方程

2、為－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.選D. 4．(2017·北京西城期末)mn<0是方程＋＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　當(dāng)mn<0時(shí)，分m<0，n>0和m>0，n<0兩種情況． ①當(dāng)m<0，n>0時(shí)，方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；②當(dāng)m>0，n<0時(shí)，方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．因此，當(dāng)mn<0時(shí)，方程＋＝1不一定表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線．方程＋＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線時(shí)，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程

3、＋＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線的必要而不充分條件．故選B. 5．(2017·河北邢臺摸底)雙曲線x2－4y2＝－1的漸近線方程為(　　) A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C．x±4y＝0 D．y±4x＝0 答案　A 解析　依題意，題中的雙曲線即－x2＝1，因此其漸近線方程是－x2＝0，即x±2y＝0，選A. 6．(2018·湖北孝感一中月考)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝2x D．y＝4x

4、答案　C 解析　由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4c2＝16a2＋4a2，即c2＝5a2，則b2＝4a2，即b＝2a，則雙曲線－＝1的一條漸近線方程為y＝2x.故選C. 7．(2018·安徽屯溪一中模擬)已知雙曲線的離心率為，且其頂點(diǎn)到其漸近線的距離為，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D.－＝1或－＝1 答案　D 解析　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．雙曲線的離心率為e＝

5、＝＝＝， ∴＝，漸近線方程為y＝±x＝±x. 由題意，頂點(diǎn)到漸近線的距離為＝，解得a＝2， ∴b＝，∴雙曲線的方程為－＝1. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．雙曲線的離心率為e＝＝＝， ∴＝，漸近線方程為y＝±x＝±x，由題意可知：頂點(diǎn)到漸近線的距離為＝，解得a＝2，∴b＝， ∴雙曲線的方程為－＝1. 綜上可知，雙曲線的方程為－＝1或－＝1.故選D. 8．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1，)

6、B．(，2) C．(1＋，＋∞) D．(1，1＋) 答案　D 解析　依題意，0<∠AF2F1<，故00，n>0)的離心率為2，則橢圓mx2＋ny2＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知雙曲線的離心率為2，得＝2. 解得m＝3n.又m>0，n>0，∴m>n，即>. 故由橢圓mx2＋ny2＝1，得＋＝1. ∴所求橢圓的離心率為e＝＝＝. 10．已知雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>

7、0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為c(c為雙曲線的半焦距長)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　雙曲線－＝1的漸近線為±＝0，焦點(diǎn)A(c，0)到直線bx－ay＝0的距離為＝c，則c2－a2＝c2，得e2＝，e＝，故選B. 11．(2018·成都市高三二診)設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若以O(shè)F1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓與PF2相切，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖，在圓O中，F(xiàn)1F2為直徑，P

8、是圓O上一點(diǎn)，所以PF1⊥PF2，設(shè)以O(shè)F1為直徑的圓的圓心為M，且圓M與直線PF2相切于點(diǎn)Q，則M(－，0)，MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ，所以＝，即＝，可得|PF1|＝，所以|PF2|＝＋2a，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以＋(＋2a)2＝4c2，即7e2－6e－9＝0，解得e＝，e＝(舍去)．故選D. 12．(2018·貴陽市高三檢測)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞)

9、 答案　B 解析　依題意，注意到題中的雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域是不等式組所確定，又點(diǎn)(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1<，即>，因此題中的雙曲線的離心率e＝∈(，＋∞)，選B. 13．已知曲線方程－＝1，若方程表示雙曲線，則λ的取值范圍是________． 答案　λ<－2或λ>－1 解析　∵方程－＝1表示雙曲線，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1. 14．(2016·北京)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a＝________；b＝________． 答案　1　2 解析　由題意知，漸近線方

10、程為y＝－2x，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1. 15．(2015·課標(biāo)全國Ⅱ，文)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 答案　－y2＝1 解析　方法一：因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，故點(diǎn)(4，)在直線y＝x的下方．設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，所以解得故雙曲線方程為－y2＝1. 方法二：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x，故可設(shè)雙曲線為－y2＝λ(λ>0)，又雙曲線過點(diǎn)(4，)，所以－()2＝λ，所以λ＝1，故雙曲線方程為－y2＝1. 16．(20

11、18·湖南長沙模擬)P是雙曲線C：－y2＝1右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PQ|的最小值為________． 答案　2＋1 解析　設(shè)右焦點(diǎn)為F2，∵|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝|PF2|＋2，∴|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2＋|PQ|.當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，且P在F2，Q之間時(shí)，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離． 由題意得l的方程為y＝±x，F(xiàn)2(，0)，F(xiàn)2到l的距離d＝1，∴|PQ|＋|PF1|的最小值為2＋1. 17.如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x

12、軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，雙曲線的左支上有一點(diǎn)P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程． 答案?。? 解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝1， ∴F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P(x0，y0)． 在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2， ∴|PF1|·|PF2|·sin＝2. ∴|PF1|·|PF2|＝8. ∴4c2＝4a2＋8，即b

13、2＝2. 又∵e＝＝2，∴a2＝. ∴所求雙曲線方程為－＝1. 18．(2018·上海崇明一模)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，∠MF1F2＝30°. (1)求雙曲線C的方程； (2)過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求·的值． 答案　(1)x2－＝1　(2) 解析　(1)設(shè)F2，M的坐標(biāo)分別為(，0)，(，y0)(y0>0)， 因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以1＋b2－＝1，則y0＝b2， 所以|MF2|＝b2. 在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|

14、＝b2，所以|MF1|＝2b2. 由雙曲線的定義可知：|MF1|－|MF2|＝b2＝2， 故雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)由條件可知：兩條漸近線分別為l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0. 設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)兩條漸近線的夾角為θ，由題意知cosθ＝.則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|＝，|PP2|＝. 因?yàn)镻(x0，y0)在雙曲線C：x2－＝1上，所以2x02－y02＝2. 所以·＝·cosθ＝·＝. 1．(2015·廣東，理)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.

15、－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為F2(5，0)，所以c＝5. 因?yàn)殡x心率e＝＝，所以a＝4. 又a2＋b2＝c2，所以b2＝9. 故雙曲線C的方程為－＝1. 2．若雙曲線－＝1的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　B 解析　由離心率為，可知c＝a，∴b＝a.∴漸近線方程為y＝±x＝±x，故選B. 3．(2015·天津，文)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1

16、B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0. 由題意，得解得a2＝1，b2＝3， 從而雙曲線的方程為x2－＝1. 4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　由雙曲線的定義，得||PF1|－|PF2||＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4

17、|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2.又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9－－4＝0，則＝0，解得＝，則雙曲線的離心率e＝＝. 5．(2015·廣東改編)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，知c＝3. 由離心率e＝，知＝，則a＝2. 故b2＝c2－a2＝9－4＝5. 所以雙曲線C的方程為－＝1. 6．(2016·天津)已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的

18、兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設(shè)交點(diǎn)A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為－＝1，選D. 7．(2017·邯鄲調(diào)研)已知F為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距，定點(diǎn)G(0，c)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P滿足|PF|＝|PG|，則雙

19、曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(1，) C．[，＋∞) D．(1，) 答案　A 解析　若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足|PF|＝|PG|，則必須滿足FG的中垂線與雙曲線有交點(diǎn)，則P是線段FG中垂線與雙曲線的交點(diǎn)，因?yàn)橹本€FG的方程為y＝x＋c，所以線段FG中垂線的方程為y＝－x，又雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則－<－1，即>1，所以e＝>，所以雙曲線的離心率的取值范圍為(，＋∞)． 8．(2018·遼寧撫順重點(diǎn)高中協(xié)作校一模)當(dāng)雙曲線M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值時(shí)，雙曲線M的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x

20、 D．y＝±x 答案　C 解析　c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5≥5，當(dāng)且僅當(dāng)m＝－1時(shí)取等號，此時(shí)a2＝m2＝1，b2＝2m＋6＝4，所以＝2，即雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，故選C. 9．(2018·遼寧師大附中期中)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為(　　) A．2＋ B．2＋ C. D. 答案　C 解析　將y＝x代入－＝1，可得x＝±.由矩形的對角線長相等，得·＝c，∴2a2b2＝(b2－a2)c2，∴2a2(c2－a2)＝(c2－2a

21、2)c2，∴2(e2－1)＝e4－2e2，∴e4－4e2＋2＝0，又∵e>1，∴e2＝2＋，e＝.故選C. 10．(2018·河南八市重點(diǎn)高中模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線的斜率是(　　) A．± B．± C．± D．± 答案　D 解析　不妨設(shè)P點(diǎn)在第一象限，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則由已知得所以c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2(舍去)，由b2＝c2－a2得b＝3，則雙曲線的漸近線的斜率是±，故選D. 11．(2018·天津一中模擬

22、)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　因?yàn)殡p曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，所以得所以雙曲線的方程為－＝1. 12．(2018·蘭州市高考診斷)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，且|PF2|＝|F1F2|，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C.

23、 D．2 答案　C 解析　設(shè)直線PF1與圓相切于點(diǎn)M，∵|PF2|＝|F1F2|，∴△PF1F2為等腰三角形，∴|F1M|＝|PF1|，∵在Rt△F1MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，|F1M|2＝|F1O|2－a2＝c2－a2，∴|F1M|＝b＝|PF1|①，又|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a②，c2＝a2＋b2③，故由①②③得，e＝＝.故選C. 13．(2018·福建漳州一中期中)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使得F2關(guān)于直線PF1的對稱點(diǎn)恰在y軸上，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為(　　) A．1

24、 C．e> D．10，即有3b2＝3c2－3a2>a2，即c>a，則有e＝>.故選B. 14．(2016·課標(biāo)全國Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1，3

25、) B．(－1，) C．(0，3) D．(0，) 答案　A 解析　由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2

26、(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　∵e＝＝，∴e2＝＝＝. ∴a2＝4b2，＝.∴漸近線方程為y＝±x. 17．(2018·山東滕州月考)已知雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于(　　) A. B．1 C．2 D．4 答案　D 解析　由雙曲線－＝1，知a＝5，由雙曲線定義|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝|MF1|＝4. 18．(

27、2018·湖南六校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3，4)，則此雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　由已知可得交點(diǎn)(3，4)到原點(diǎn)O的距離為圓的半徑，則半徑r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又雙曲線的一條漸近線y＝x過點(diǎn)(3，4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故選C. 19．(2018·杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)過雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓C2：x2＋y2＝a2的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長FM交雙曲線C1于點(diǎn)N.若點(diǎn)

28、M為線段FN的中點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率為(　　) A. B. C.＋1 D. 答案　A 解析　設(shè)雙曲線C1的右焦點(diǎn)為F1.根據(jù)題意，得|FN|＝2b，|F1N|＝2a.根據(jù)雙曲線的定義得|FN|－|F1N|＝2a?b＝2a，則e＝. 20．(2018·遼寧五校協(xié)作體月考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，2] C．(1，] D．(1，3] 答案　D 解析　設(shè)|PF2|＝m(m≥c－a)， 則根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|＝2a＋m. 所

29、以＝＝＋4a＋m≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2a時(shí)等號成立．所以c－a≤2a，解得e≤3，所以1

30、 B. C. D. 答案　A 解析　直角三角形斜邊為c， 斜邊上的高為＝c，4ab＝c2. 結(jié)合00，b>0)的兩條漸近線所截得線段的長度恰好等于其一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離，則此雙曲線的離心率為________． 答案　2 解析　由已知可得＝，∴c＝2a，∴e＝＝2. 24．(2015·山東，文)過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為________． 答案　2＋ 解析　設(shè)直線方程為y＝(x－c)，由得x＝，由＝2a，e＝，解得e＝2＋(e＝2－舍去)．