(渝皖瓊)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2
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1、 6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握直線與平面垂直,平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系. 知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面垂直的性質(zhì)定理 思考 在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿.一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直,這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么? 答案 平行. 梳理 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行 符號(hào)語(yǔ)言 ?a∥b 圖形語(yǔ)言 知識(shí)點(diǎn)二 平面與平面垂直的性質(zhì) 思考 黑板所在平面與地面所在平面垂直,你能否在黑板上畫一條直
2、線與地面垂直? 答案 容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直,因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線,則所畫直線必與地面垂直. 梳理 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面 符號(hào)語(yǔ)言 α⊥β,α∩β=l,aα,a⊥l?a⊥β 圖形語(yǔ)言 1.若平面α⊥平面β,任取直線lα,則必有l(wèi)⊥β.( × ) 2.已知兩個(gè)平面垂直,過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.( × ) 類型一 線面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用 例1 如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,EF與異面直線
3、AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1. 考點(diǎn) 直線與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行 證明 如圖,連接AB1,B1C,BD,B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BD1平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 反思與感悟 證明線線平行的常用方法 (1)利用線線平
4、行定義:證共面且無(wú)公共點(diǎn). (2)利用三線平行公理:證兩線同時(shí)平行于第三條直線. (3)利用線面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行. (4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直. (5)利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B,aα,a⊥AB.求證:a∥l. 考點(diǎn) 直線與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行 證明 ∵PA⊥α,lα,∴PA⊥l. 同理PB⊥l.∵PA∩PB=P,∴l(xiāng)⊥平面PAB. 又∵PA⊥α,aα,∴PA⊥a.
5、 ∵a⊥AB,PA∩AB=A,∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 類型二 面面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用 例2 如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC. 求證:BC⊥AB. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線線垂直 證明 如圖,在平面PAB內(nèi), 作AD⊥PB于點(diǎn)D. ∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB, AD平面PAB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC平面PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC, 又∵PA∩AD=A,PA,AD平面PAB, ∴BC⊥平面
6、PAB. 又AB平面PAB,∴BC⊥AB. 反思與感悟 證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直,故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問(wèn)題時(shí),要注意以下三點(diǎn):(1)兩個(gè)平面垂直;(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi);(3)直線必須垂直于它們的交線. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G為邊AD的中點(diǎn). 求證:(1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性
7、質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線面垂直 證明 (1)∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形,又G為AD的中點(diǎn), ∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG平面ABCD, ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,由題意知△PAD為正三角形,G是AD的中點(diǎn),∴PG⊥AD.又BG∩PG=G, ∴AD⊥平面PBG,又PB平面PBG, ∴AD⊥PB. 類型三 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 命題角度1 線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化 例3 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面
8、PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 考點(diǎn) 垂直問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 證明 (1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),故四邊形ABED為平行四邊形,故有BE∥AD. 又AD平面PAD,BE?平面PAD,∴BE∥平面PAD. (3)在平行四邊形ABED中, ∵
9、AB⊥AD,∴四邊形ABED為矩形, ∴BE⊥CD. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB, 又AB⊥AD,PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD, ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD. 又E,F(xiàn)分別為CD和PC的中點(diǎn), ∴EF∥PD,∴CD⊥EF. ∵EF∩BE=E,EF,BE平面BEF, ∴CD⊥平面BEF. 又∵CD平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD. 反思與感悟 在空間垂直關(guān)系中,線面垂直是核心,已知線面垂直,既可為證明線線垂直提供依據(jù),又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí),一般需作輔助線,基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線,從
10、而把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,在四面體ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,DC⊥BC.求證:平面ABD⊥平面ACD. 考點(diǎn) 垂直問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 證明 ∵平面ABC⊥平面BCD, 平面ABC∩平面BCD=BC,在平面ABC內(nèi),作AE⊥BC于點(diǎn)E, 如圖,則AE⊥平面BCD. 又CD平面BCD, ∴AE⊥CD. 又BC⊥CD,AE∩BC=E, AE,BC平面ABC, ∴CD⊥平面ABC, 又AB平面ABC,∴AB⊥CD. 又AB⊥AC,AC∩CD=C, A
11、C,CD平面ACD. ∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD, ∴平面ABD⊥平面ACD. 命題角度2 垂直中的探索性問(wèn)題 例4 已知在三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F(xiàn)分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn),且==λ(0<λ<1). (1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC; (2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD? 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 (1)證明 ∵∠BCD=90°,∴BC⊥CD. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD. 又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面
12、ABC. ∵=,∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC. 又∵EF平面BEF, ∴平面BEF⊥平面ABC. 故不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC. (2)解 由(1)得EF⊥平面ABC,BE平面ABC, ∴EF⊥BE. 要使平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC. ∵∠BCD=90°,BC=CD=1,∴BD=. 又∵AB⊥平面BCD,∠ADB=60°, ∴AB=,AC=, ∴BE==,∴AE=, ∴λ==. 故當(dāng)λ=時(shí),平面BEF⊥平面ACD. 反思與感悟 解決開放性問(wèn)題一般先從結(jié)論入手,分析得到該結(jié)論所需的條件或與其等價(jià)的條件,此類型題考查空間想象能力、推理論
13、證能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 跟蹤訓(xùn)練4 如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC. (1)求證:D1C⊥AC1; (2)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并說(shuō)明理由. 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 (1)證明 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,連接C1D, ∵DC=DD1,∴四邊形DCC1D1是正方形, ∴DC1⊥D1C. 又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面DCC1D1,∴AD⊥D1C. ∵AD,DC
14、1平面ADC1,且AD∩DC1=D, ∴D1C⊥平面ADC1. ∵AC1平面ADC1,∴D1C⊥AC1. (2)解 連接AD1,AE,設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連接MN, ∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,需使MN∥D1E. 又M是AD1的中點(diǎn),∴N是AE的中點(diǎn),又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE,即E是DC的中點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí),可使D1E∥平面A1BD. 1.給出下列說(shuō)法: ①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行; ②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行; ③一條直線在平面內(nèi),另一條直線與這個(gè)平面垂直,則這兩條直線垂直.
15、 其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的判定 答案 D 2.平面α⊥平面β,直線a∥α,則( ) A.a(chǎn)⊥β B.a(chǎn)∥β C.a(chǎn)與β相交 D.以上都有可能 考點(diǎn) 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 題點(diǎn) 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的判定 答案 D 解析 因?yàn)閍∥平面α,平面α⊥平面β,所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能. 3.已知直線l⊥平面α,直線m平面β.有下面四個(gè)說(shuō)法: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?α∥β. 其中正確的
16、兩個(gè)說(shuō)法是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的判定 答案 C 解析 ∵l⊥α,α∥β,mβ,∴l(xiāng)⊥m,故①正確; ∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵mβ,∴α⊥β,故③正確. 4.如圖,在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,則PB=________. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計(jì)算 答案 解析 ∵側(cè)面PAC⊥底面ABC,交線為AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC), ∴PA⊥平面ABC, ∴PA⊥AB,∴PB===.
17、 5.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)面SDC⊥底面ABCD,求證:平面SCD⊥平面SBC. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用 證明 因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD, 平面SDC∩平面ABCD=CD,BC平面ABCD, 所以BC⊥平面SCD. 又因?yàn)锽C平面SBC, 所以平面SCD⊥平面SBC. 1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系,提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù). 2.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”
18、間的內(nèi)在聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下: 一、選擇題 1.在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上),過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.平行 C.異面 D.相交或平行 考點(diǎn) 直線與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行 答案 B 解析 由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面,所以它們平行. 2.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥A1B1于點(diǎn)F,則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是( ) A.平行 B.EF平面A1B1C1D
19、1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線面垂直 答案 D 解析 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF平面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1. 3.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,則( ) A.PD平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD與平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用面面
20、垂直的性質(zhì)定理判定線面垂直 答案 B 解析 ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB. 又∵平面ABC⊥平面PAB, 平面ABC∩平面PAB=AB,PD平面PAB, ∴PD⊥平面ABC. 4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,則BD與CC1的位置關(guān)系為( ) A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線線垂直 答案 C 解析 如圖所示,在四邊形ABCD中, ∵AB=BC,AD=CD, ∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平面A
21、BCD, 平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD平面ABCD, ∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1平面AA1C1C, ∴BD⊥CC1,故選C. 5.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α所有直線都垂直于平面β B.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β D.如果平面α⊥平面τ,平面β⊥平面τ,α∩β=l,那么l⊥平面τ 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用 答案 A 解析 顯然A不正確,若兩個(gè)平面垂直,一個(gè)平面內(nèi)只有和交線垂直的
22、直線才和另一個(gè)平面垂直. 6.設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列結(jié)論正確的是( ) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的判定 答案 B 解析 設(shè)α∩β=a,若直線l∥a,且l?α,l?β,則l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A錯(cuò)誤;由于l∥α,故在α內(nèi)存在直線l′∥l,又因?yàn)閘⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正確;若α⊥β,在β內(nèi)作交線的垂線l,則l⊥α,此時(shí)l在平面β內(nèi),因此C錯(cuò)誤;已知α⊥β,若α∩β=a,l
23、∥a,且l不在平面α,β內(nèi),則l∥α且l∥β,因此D錯(cuò)誤. 7.如圖,在正方形SG1G2G3中,E,F(xiàn)分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),現(xiàn)在沿SE,SF,EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1,G2,G3重合,重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系: ①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中成立的有( ) A.①與② B.①與③ C.②與③ D.③與④ 考點(diǎn) 垂直問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 答案 B 解析 由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,則SG∥SE,這與SG∩SE
24、=S矛盾,排除A,故選B. 二、填空題 8.設(shè)兩個(gè)平面α,β,直線l,下列三個(gè)條件: ①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.若以其中兩個(gè)作為前提條件,另一個(gè)作為結(jié)論,則可構(gòu)成三個(gè)命題,這三個(gè)命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為________. 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的判定 答案 1 解析?、佗谧鳛榍疤釛l件,③作為結(jié)論構(gòu)成的命題正確,過(guò)l作一平面與β交于l′,則l∥l′,所以l′⊥α,故α⊥β;①③作為前提條件,②作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯(cuò)誤,這時(shí)可能有l(wèi)β;②③作為前提條件,①作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯(cuò)誤,這時(shí)l與α的各種位置關(guān)系都可能存在. 9.如圖,直二面角α-l-β,點(diǎn)A
25、∈α,AC⊥l,C為垂足,B∈β,BD⊥l,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則CD的長(zhǎng)為________. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計(jì)算 答案 解析 如圖,連接BC, ∵二面角α-l-β為直二面角, ACα,且AC⊥l, ∴AC⊥β. 又BCβ, ∴AC⊥BC, ∴BC2=AB2-AC2=3. 又BD⊥CD, ∴CD==. 10.如圖,四面體P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,則PC=________. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì) 題點(diǎn) 有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計(jì)算
26、 答案 7 解析 取AB的中點(diǎn)D,連接PD, ∵PA=PB,∴PD⊥AB, ∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB, PD平面PAB, ∴PD⊥平面ABC,∴PD⊥CD. 連接DC,則△PDC為直角三角形, 在Rt△ABC中,AB===2, 在Rt△DBC中,DC===, PD===. 在Rt△PCD中, PC===7. 11.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,沿BD將△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面中,互相垂直的平面的對(duì)數(shù)為________. 考點(diǎn) 平面與平面垂直的判定 題點(diǎn) 判定兩平
27、面垂直 答案 3 解析 因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前,因?yàn)锳B⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD,共3對(duì) 三、解答題 12.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F(xiàn)分別為線段AD,PC的中點(diǎn). (1)求證:AP∥平面BEF; (2)求證:BE⊥平面PAC. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 證明 (1)如圖所示,設(shè)AC∩BE=O,連接OF,EC. 由于E為AD的
28、中點(diǎn),AB=BC=AD,AD∥BC, 所以AE∥BC,AE=AB=BC, 因此,四邊形ABCE為菱形, 所以O(shè)為AC的中點(diǎn). 又F為PC的中點(diǎn), 因此,在△PAC中,可得AP∥OF. 又OF平面BEF,AP?平面BEF, 所以AP∥平面BEF. (2)由題意,知ED∥BC,ED=BC, 所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE∥CD. 又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形,所以BE⊥AC. 又AP∩AC=A,AP,AC平面PAC, 所以BE⊥平面PAC. 13.如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中點(diǎn),沿DE
29、將△ADE折起. (1)如果二面角A-DE-C是直二面角,求證:AB=AC; (2)如果AB=AC,求證:平面ADE⊥平面BCDE. 考點(diǎn) 垂直問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 證明 (1)過(guò)A作AM⊥DE于點(diǎn)M, 則由題意可得AM⊥平面BCDE,∴AM⊥BC. 又AD=AE, 所以M是DE的中點(diǎn). 取BC的中點(diǎn)N,連接MN,則MN⊥BC,又AM∩MN=M, 所以BC⊥平面AMN,所以AN⊥BC. 又N是BC的中點(diǎn), 所以△ABC為等腰三角形,所以AB=AC. (2)取BC的中點(diǎn)N,連接AN. 因?yàn)锳B=AC,所以AN⊥BC.取DE的中點(diǎn)
30、M,連接MN,AM,所以MN⊥BC,又AN∩MN=N, 所以BC⊥平面AMN,所以AM⊥BC. 又M是DE的中點(diǎn),AD=AE, 所以AM⊥DE. 又因?yàn)镈E與BC是平面BCDE內(nèi)的兩條相交直線, 所以AM⊥平面BCDE. 又因?yàn)锳M平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCDE. 四、探究與拓展 14.在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,PC=4,M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn),則PM的最小值為( ) A.2 B.2 C.4 D.4 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 答案 B
31、 解析 如圖,連接CM,則由題意PC⊥平面ABC, 可得PC⊥CM,所以PM=, 要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可. 在△ABC中,當(dāng)CM⊥AB時(shí),CM有最小值, 此時(shí)有CM=4×=2,所以PM的最小值為2. 15.如圖①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖②所示. (1)求證:DE∥平面A1CB; (2)求證:A1F⊥BE; (3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說(shuō)明理由. 考點(diǎn) 線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 平行與垂直
32、的計(jì)算與探索性問(wèn)題 (1)證明 因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE∥BC. 又DE?平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE∥平面A1CB. (2)證明 由已知得DC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥DC.又DE⊥A1D,A1D∩CD=D,A1D,CD平面A1DC, 所以DE⊥平面A1DC, 而A1F平面A1DC, 所以DE⊥A1F. 又因?yàn)锳1F⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE平面BCDE, 所以A1F⊥平面BCDE, 又BE平面BCDE,所以A1F⊥BE. (3)解 線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下: 如圖所示,分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,連接DP,PQ,QE, 則PQ∥BC.又因?yàn)镈E∥BC,所以DE∥PQ,所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC,A1C平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn), 所以A1C⊥DP,又DE∩DP=D,DE,DP平面DEP,所以A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q,且Q為A1B的中點(diǎn)時(shí),A1C⊥平面DEQ. 18
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