《2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第17講 數(shù)列概念及等差數(shù)列》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第17講 數(shù)列概念及等差數(shù)列（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第17講 數(shù)列概念及等差數(shù)列 課題 數(shù)列概念及等差數(shù)列（共 3 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1．?dāng)?shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法；通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)； 2．通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式； 3．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。 命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答題。對(duì)于本將來(lái)講，客觀性題目

2、主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基本知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高。 預(yù)測(cè)xx年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識(shí)的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題的解答題； 2．知識(shí)交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問(wèn)題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 一．知識(shí)梳理： 1．?dāng)?shù)列的概念 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)

3、，……，序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作； 數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡(jiǎn)記作 。 （2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 例如，數(shù)列①的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列②的通項(xiàng)公式是= （）。 說(shuō)明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；② 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號(hào)：1 2 3 4 5 6 項(xiàng) ：4 5

4、 6 7 8 9 上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開(kāi)始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來(lái)代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。 （4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。 （5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)

5、 數(shù)列的遞推公式。 2．等差數(shù)列 （1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：； 說(shuō)明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。 （3）等差中項(xiàng)的概念： 定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ，，成等差數(shù)列。 （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 二．典例分析 　(xx·天津南開(kāi)中學(xué)月考)下列公式可作為數(shù)列{an}：1

6、,2,1,2,1,2，…的通項(xiàng)公式的是(　　) A．a(chǎn)n＝1　　　　　　　　　 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2－ D．a(chǎn)n＝ 　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2， a3＝1，a4＝2，…. 　C 若本例中數(shù)列變?yōu)椋?,1,0,1，…，則{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案： an＝ 由題悟法 1．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求．對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整． 2．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公

7、式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想． 以題試法 1．寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，，－，，－，，…. 解：(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝. (3)將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…. 所以an＝(10n－1)． (4)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式的符號(hào)為(－1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母

8、組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1， 所以an＝(－1)n·，也可寫(xiě)為 an＝ 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an 典題導(dǎo)入 　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，根據(jù)下列條件分別求它們的通項(xiàng)an. (1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. 　(1)由題可知，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－＝4n＋1. 當(dāng)n＝1時(shí)，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4， 當(dāng)n≥2時(shí)， a

9、n＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1. 當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠a1， 故an＝ 由題悟法 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過(guò)程分為三步： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式； (3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)． 以題試法 2．(xx·聊城模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，則＝(　　)

10、 A.　　　　　　　　　　　　　 B. C. D．30 解析：選D　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，則a5＝＝. 數(shù)列的性質(zhì) 典題導(dǎo)入 　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－21n＋20. (1)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值； (2)n為何值時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和最??？ 　(1)因?yàn)閍n＝n2－21n＋20＝2－，可知對(duì)稱軸方程為n＝＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11時(shí)，an有最小值，其最小值為112－21×11＋20＝－90. (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最小，則有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，

11、故數(shù)列{an}從第21項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項(xiàng)和最小． 在本例條件下，設(shè)bn＝，則n為何值時(shí)，bn取得最小值？并求出最小值． 解：bn＝＝＝n＋－21， 令f(x)＝x＋－21(x>0)，則f′(x)＝1－，由f′(x)＝0解得x＝2或x＝－2(舍)．而4<2<5，故當(dāng)n≤4時(shí)，數(shù)列{bn}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{bn}單調(diào)遞增．而b4＝4＋－21＝－12，b5＝5＋－21＝－12，所以當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，bn取得最小值，最小值為－12. 由題悟法 1．?dāng)?shù)列中項(xiàng)的最值的求法 根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)an＝f(n)，利用求解函數(shù)最值的方

12、法求解，但要注意自變量的取值． 2．前n項(xiàng)和最值的求法 (1)先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，根據(jù)Sn的表達(dá)式求解最值； (2)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若am≥0，且am＋1<0，則Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，則Sm最小，這樣便可直接利用各項(xiàng)的符號(hào)確定最值. 以題試法 3．(xx·江西七校聯(lián)考)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是(　　) A．3 B．19 C. D. 解析：選C　an＝，由基本不等式得，≤，由于n∈N*，易知當(dāng)n＝9或10時(shí)，an＝最大． 　在數(shù)列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．

13、 (1)求a2，a3的值； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列． 　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)證明：對(duì)于任意n∈N*， ∵bn＋1－bn＝－＝＝＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為＝＝0，公差為1的等差數(shù)列． 由題悟法 1．證明{an}為等差數(shù)列的方法： (1)用定義證明：an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列； (2)用等差中項(xiàng)證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列； (3)通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)?{an}為等

14、差數(shù)列； (4)前n項(xiàng)和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 2．用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時(shí)，a0無(wú)定義． 以題試法 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn； (2)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 解：(1)設(shè)Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)， 則 解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n. (2)證明：∵當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－2. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－＝4n－6. ∴

15、an＝4n－6(n∈N*)．a(chǎn)n＋1－an＝4， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 典題導(dǎo)入 　(xx·重慶高考)已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值． 　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)． 因?yàn)閍1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，所以a＝a1Sk＋2. 從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－

16、5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 由題悟法 1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d及前n項(xiàng)和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法． 以題試法 2．(1)在等差數(shù)列中，已知a6＝10， S5＝5，則S8＝________. (2)(xx·江西聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－＝1，則公差為_(kāi)_______． 解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，

17、 ∴ 解方程組得 則S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依題意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差為6. 答案：(1)44　(2)6 等差數(shù)列的性質(zhì) 典題導(dǎo)入 　(1)等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則前9項(xiàng)和S9等于(　　) A．66　　　　　　　　　　　 B．99 C．144 D．297 (2)(xx·天津模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，若S4＝8，S8＝20，則a11＋a12＋a13＋a14＝(　　) A．

18、18 B．17 C．16 D．15 　(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9. 所以S9＝＝＝99. (2)設(shè){an}的公差為d，則a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. 　(1)B　(2)A 由題悟法 1．等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問(wèn)題．

19、 2．應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系． 以題試法 3．(1)(xx·江西高考)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________. (2)(xx·海淀期末)若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：(1)設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為{cn}，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c1＝7，c3＝21，則c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35. (2)∵an＋1－an＝－3，∴

20、數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè)前k項(xiàng)和最大，則有即 解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.故滿足條件的n的值為7. 答案：(1)35　(2)B 板書(shū)設(shè)計(jì) 數(shù)列概念及等差數(shù)列 1．?dāng)?shù)列的概念 （1）數(shù)列定義 （2）通項(xiàng)公式的定義 （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示 （4）數(shù)列分類： （5）遞推公式定義 2．等差數(shù)列 （1）等差數(shù)列定義。 （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：； （3）等差中項(xiàng)的概念： （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 教學(xué)反思 等差數(shù)列是數(shù)列的一種常見(jiàn)類型，是研究、解決較復(fù)雜數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要讓學(xué)生主動(dòng)復(fù)習(xí)相關(guān)概念、公式及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容。 遞推公式在考題中經(jīng)常出現(xiàn)，除由遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，由遞推公式求通項(xiàng)公式是數(shù)列中?？碱}型，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握項(xiàng)與和的關(guān)系。 對(duì)等差數(shù)列求最值問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生概況總結(jié)求解的各種情況，這樣既可以是學(xué)生更好地把握等差數(shù)列的概念，也能把不同的知識(shí)串起來(lái)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。