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(全國通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 理

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1、 第1講 直線與圓 [考情考向分析] 考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題).此類問題難度屬于中低檔,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 熱點一 直線的方程及應(yīng)用 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在. 2.求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性.點斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,而截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的

2、直線. 3.兩個距離公式 (1)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0間的距離d=(A2+B2≠0). (2)點(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=(A2+B2≠0). 例1 (1)(2018·齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)已知直線l1:x·sin α+y-1=0,直線l2:x-3y·cos α+1=0,若l1⊥l2,則sin 2α等于(  ) A. B.± C.- D. 答案 D 解析 因為l1⊥l2, 所以sin α-3cos α=0, 所以tan α=3, 所以sin 2α=2sin αcos α= ==. (2

3、)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P,則當(dāng)實數(shù)k變化時,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為________. 答案 3 解析 由題意得,當(dāng)k≠0時,直線l1:kx-y+2=0的斜率為k,且經(jīng)過點A(0,2),直線l2:x+ky-2=0的斜率為-,且經(jīng)過點B(2,0),且直線l1⊥l2,所以點P落在以AB為直徑的圓C上,其中圓心坐標(biāo)為C(1,1),半徑為r=, 由圓心到直線x-y-4=0的距離為d==2, 所以點P到直線x-y-4=0的最大距離為 d+r=2+=3. 當(dāng)k=0時,l1⊥l2,此時點P(2,2). 點P到直

4、線x-y-4=0的距離d==2. 綜上,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為3. 思維升華 (1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況. (2)對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況,可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究. 跟蹤演練1 (1)(2018·上海市虹口區(qū)模擬)直線ax+(a-1)y+1=0與直線4x+ay-2=0互相平行,則實數(shù)a=________. 答案 2 解析 當(dāng)a≠0時,=≠,解得a=2. 當(dāng)a=0時,兩直線顯然不平行.故a=2. (2)(2018·齊齊哈爾模擬)圓x2+y2-2x-4y+3=0的圓心到直線x-ay+1=0的距離為2,則a等于(  ) A.-

5、1 B.0 C.1 D.2 答案 B 解析 因為(x-1)2+2=2, 所以=2,所以a=0. 熱點二 圓的方程及應(yīng)用 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點時,方程為x2+y2=r2. 2.圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以為圓心,為半徑的圓. 例2 (1)圓心為(2,0)的圓C與圓x2+y2+4x-6y+4=0相外切,則C的方程為(  ) A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2-4x+2=0 C.x2+y2+4x=0 D.x2+

6、y2-4x=0 答案 D 解析 圓x2+y2+4x-6y+4=0, 即(x+2)2+(y-3)2=9, 圓心為(-2,3),半徑為3. 設(shè)圓C的半徑為r. 由兩圓外切知,圓心距為=5=3+r, 所以r=2. 故圓C的方程為(x-2)2+y2=4, 展開得x2+y2-4x=0. (2)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的方程為(  ) A.2+(y-1)2=1 B.2+2=1 C.2+2=1 D.2+(y-1)2=1 答案 C 解析 到兩直線3x-4y=0及3x-4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x-4

7、y+5=0,聯(lián)立方程組解得兩平行線之間的距離為2,所以半徑為1,從而圓M的方程為2+2=1.故選C. 思維升華 解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法 (1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,進而求得圓的基本量和方程. (2)代數(shù)法:即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 跟蹤演練2 (1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是________,半徑是________. 答案 (-2,-4) 5 解析 由已知方程表示圓,則a2=a+2, 解得a=2或a=-1. 當(dāng)a=2時,方程不滿足表示圓的條件,故舍去.

8、 當(dāng)a=-1時,原方程為x2+y2+4x+8y-5=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+4)2=25, 表示以(-2,-4)為圓心,5為半徑的圓. (2)(2018·天津)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為________. 答案 x2+y2-2x=0 解析 方法一 設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圓經(jīng)過點(0,0),(1,1),(2,0), ∴解得 ∴圓的方程為x2+y2-2x=0. 方法二 畫出示意圖如圖所示, 則△OAB為等腰直角三角形, 故所求圓的圓心為(1,0),半徑為1, ∴所求圓的方程為(x

9、-1)2+y2=1, 即x2+y2-2x=0. 熱點三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1.直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切和相離,判斷的方法主要有點線距離法和判別式法. (1)點線距離法:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,則dr?直線與圓相離. (2)判別式法:設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),方程組消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,其根的判別式為Δ,則直線與圓相離?Δ<0,直線與圓相切?Δ=0,直線與圓相交?Δ>0. 2.圓與圓的位置關(guān)系有五種,即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

10、設(shè)圓C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,圓C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r,兩圓心之間的距離為d,則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下: (1)d>r1+r2?兩圓外離. (2)d=r1+r2?兩圓外切. (3)|r1-r2|1+1,

11、 故兩圓外離. (2)(2018·揭陽模擬)已知直線4x-3y+a=0與⊙C:x2+y2+4x=0相交于A,B兩點,且∠ACB=120°,則實數(shù)a的值為(  ) A.3 B.10 C.11或21 D.3或13 答案 D 解析 圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程即(x+2)2+y2=4, 作CD⊥AB于點D,由圓的性質(zhì)可知△ABC為等腰三角形,其中|CA|=|CB|, 則|CD|=|CA|×sin 30°=2×=1, 即圓心(-2,0)到直線4x-3y+a=0的距離為d=1, 據(jù)此可得=1, 即|a-8|=5,解得a=3或a=13. 思維升華 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置

12、關(guān)系時,要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運算量. (2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題;圓上的點與直線上點的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題;圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題. 跟蹤演練3 (1)(2018·廣州名校聯(lián)考)已知直線y=ax與圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于兩點A,B,且△CAB為等邊三角形,則圓C的面積為________. 答案 6π 解析 圓C化為(x-a)2+(y-1)2=a2-1, 且圓心C(a,1),半徑R=(a2>1). ∵直線y=ax和圓C相

13、交,且△ABC為等邊三角形, ∴圓心C到直線ax-y=0的距離為Rsin 60°=×, 即d==. 解得a2=7. ∴圓C的面積為πR2=π(7-1)=6π. (2)如果圓(x-a)2+(y-a)2=8上總存在到原點的距離為的點,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3) C.[1,1] D.[-3,-1]∪[1,3] 答案 D 解析 圓心(a,a)到原點的距離為|a|,半徑r=2,圓上的點到原點的距離為d.因為圓(x-a)2+(y-a)2=8上總存在點到原點的距離為,則圓(x-a)2+(y-a)2=8與圓x2+y2=2有公共點,r

14、′=,所以r-r′≤|a|≤r+r′,即1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,所以實數(shù)a的取值范圍是[-3,-1]∪[1,3]. 真題體驗 1.(2016·山東改編)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是________. 答案 相交 解析 ∵圓M:x2+(y-a)2=a2, ∴圓心坐標(biāo)為M(0,a),半徑r1=a, 圓心M到直線x+y=0的距離d=, 由幾何知識得2+()2=a2,解得a=2. ∴M(0,2),r1=2. 又圓N的圓心坐標(biāo)為N(1,1),半徑r2=1

15、, ∴|MN|==. 又r1+r2=3,r1-r2=1, ∴r1-r2<|MN|

16、y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是________. 答案 [2,6] 解析 設(shè)圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點P到直線x+y+2=0的距離為d,則圓心C(2,0),r=,所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知條件可得|AB|=2,所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax=6,△ABP面積的最小值為|AB|·dmin=2. 綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6]. 押題預(yù)測 1.已知圓C關(guān)于y軸對稱,經(jīng)過點(1,0)且被x軸分成的兩段弧長比

17、為1∶2,則圓C的方程為(  ) A.2+y2= B.2+y2= C.x2+2= D.x2+2= 押題依據(jù) 直線和圓的方程是高考的必考點,經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),利用幾何法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 答案 C 解析 由已知得圓心在y軸上,且被x軸所分劣弧所對的圓心角為.設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為r, 則rsin=1,rcos=|a|,解得r=, 即r2=,|a|=,即a=±, 故圓C的方程為x2+2=. 2.設(shè)m,n為正實數(shù),若直線(m+1)x+(n+1)y-4=0與圓x2+y2-4x-4y+4=0相切,則mn(  ) A.有最小值1+,無最大值

18、B.有最小值3+2,無最大值 C.有最大值3+2,無最小值 D.有最小值3-2,最大值3+2 押題依據(jù) 直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點,本題與基本不等式結(jié)合考查,靈活新穎,加之直線與圓的位置關(guān)系本身承載著不等關(guān)系,因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大. 答案 B 解析 由直線(m+1)x+(n+1)y-4=0與圓(x-2)2+(y-2)2=4相切,可得=2,整理得m+n+1=mn.由m,n為正實數(shù)可知,m+n≥2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號),令t=,則2t+1≤t2,因為t>0,所以t≥1+,所以mn≥3+2.故mn有最小值3+2,無最大值.故選B. 3.若圓x2+y2=4與圓x2

19、+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的長為2,則a=________. 押題依據(jù) 本題已知公共弦長,求參數(shù)的范圍,情境新穎,符合高考命題的思路. 答案  解析 聯(lián)立兩圓方程 可得公共弦所在直線方程為ax+2ay-5=0, 故圓心(0,0)到直線ax+2ay-5=0的距離為 =(a>0). 故2=2, 解得a2=, 因為a>0,所以a=. A組 專題通關(guān) 1.若<α<2π,則直線+=1必不經(jīng)過(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,直線

20、過(0,sin α),(cos α,0)兩點,因而直線不過第二象限. 2.(2018·呼和浩特調(diào)研)設(shè)直線l1:x-2y+1=0與直線l2:mx+y+3=0的交點為A,P,Q分別為l1,l2上任意兩點,點M為P,Q的中點,若|AM|=|PQ|,則m的值為(  ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案 A 解析 根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示. 直線l1:x-2y+1=0 與直線l2:mx+y+3=0 的交點為A,M 為PQ 的中點, 若|AM|=|PQ|,則PA⊥QA, 即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2. 3.我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù),

21、也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓,即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,其周長就越逼近圓周長,這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項重大成就.現(xiàn)作出圓x2+y2=2的一個內(nèi)接正八邊形,使該正八邊形的其中4個頂點在坐標(biāo)軸上,則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為(  ) A.x+(-1)y-=0 B.(1-)x-y+=0 C.x-(+1)y+=0 D.(-1)x-y+=0 答案 C 解析 如圖所示可知A(,0), B(1,1),C(0,),D(-1,1), 所以直線AB,BC,CD的方程分別為y=(x-), y=(1-)x+, y=(-1)x+ 整理

22、為一般式即 x+y-=0, x-y+=0, x-y+=0, 故選C. 4.(2018·吳忠模擬)與直線x-y-4=0和圓x2+y2+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓的方程是(  ) A.(x+1)2+2=2 B.(x-1)2+2=4 C.(x-1)2+2=2 D.(x+1)2+2=4 答案 C 解析 圓x2+y2+2x-2y=0的圓心為(-1,1),半徑為,過圓心(-1,1)與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0,所求的圓心在此直線上,又圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離為=3,則所求圓的半徑為,設(shè)所求圓心為(a,b),且圓心在直線x-y-4=0的左上

23、方,則=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合半徑最小,舍去),故所求圓的方程為(x-1)2+2=2. 5.(2018·孝義模擬)已知點P是直線l:x+y-b=0上的動點,由點P向圓O:x2+y2=1引切線,切點分別為M,N,且∠MPN=90°,若滿足以上條件的點P有且只有一個,則b等于(  ) A.2 B.±2 C. D.± 答案 B 解析 由題意得∠PMO=∠PNO=∠MON=90°, |MO|=|ON|=1, ∴四邊形PMON是正方形,∴|PO|=, ∵滿足以上條件的點P有且只有一個, ∴OP垂直于直線x+y-b=0, ∴=,∴b=±2.

24、6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的方程為x2+y2=4,直線l的方程為y=k(x+2),若在圓O上至少存在三點到直線l的距離為1,則實數(shù)k的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知,若圓O:x2+y2=4上至少存在三點到直線l:y=k(x+2)的距離為1,則圓心(0,0)到直線kx-y+2k=0的距離d應(yīng)滿足d≤1,即≤1,解得k2≤,即-≤k≤,故選B. 7.(2018·安陽模擬)已知圓C1:x2+y2-kx+2y=0與圓C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直線恒過定點P(a,b),且點P在直線mx-ny-2=0上,則m

25、n的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由x2+y2-kx+2y=0與x2+y2+ky-4=0,相減得公共弦所在直線方程kx+y-4=0, 即k(x+y)-=0, 所以由得x=2,y=-2, 即P,因此2m+2n-2=0, 所以m+n=1,mn≤2=(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取最大值). 8.(2018·齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)直線x+ysin α-3=0(α∈R)的傾斜角的取值范圍是_____. 答案  解析 若sin α=0,則直線的傾斜角為; 若sin α≠0, 則直線的斜率k=-∈, 設(shè)直線的傾斜角為θ, 則tan θ∈, 故θ

26、∈∪ , 綜上可得直線的傾斜角的取值范圍是. 9.(2018·安徽省“皖南八?!甭?lián)考)若過點(2,0)有兩條直線與圓x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,則實數(shù)m的取值范圍是________. 答案 (-1,1) 解析 由題意過點(2,0)有兩條直線與圓x2+y2-2x+2y+m+1=0相切, 則點(2,0)在圓外,即22-2×2+m+1>0,解得m>-1; 由方程x2+y2-2x+2y+m+1=0表示圓, 則(-2)2+22-4(m+1)>0,解得m<1. 綜上,實數(shù)m的取值范圍是(-1,1). 10.已知直線l:mx-y=1.若直線l與直線x-my-1=0平行,則m的值

27、為________;動直線l被圓x2+2x+y2-24=0截得的弦長的最小值為________. 答案?。? 2 解析 當(dāng)m=0時,兩直線不平行; 當(dāng)m≠0時,由題意得=, 所以m=±1. 當(dāng)m=1時,兩直線重合,所以m=1舍去,故m=-1. 因為圓的方程為x2+2x+y2-24=0, 所以(x+1)2+y2=25, 所以它表示圓心為C(-1,0),半徑為5的圓. 由于直線l:mx-y-1=0過定點P(0,-1), 所以過點P且與PC垂直的弦長最短, 且最短弦長為2=2. 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x+1)2+y2=2,點A(2,0),若圓C上存在點M

28、,滿足|MA|2+|MO|2≤10,則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是________. 答案  解析 設(shè)點M(x,y),因為|MA|2+|MO|2≤10, 所以(x-2)2+y2+x2+y2≤10, 即x2+y2-2x-3≤0, 因為(x+1)2+y2=2,所以y2=2-(x+1)2, 所以x2+2-(x+1)2-2x-3≤0, 化簡得x≥-. 因為y2=2-(x+1)2,所以y2≤, 所以-≤y≤. 12.設(shè)圓C滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1;③圓心到直線l:x-2y=0的距離為d.當(dāng)d最小時,圓C的面積為________. 答案 2π

29、 解析 如圖,設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b), 則 即2b2=a2+1, 所以圓心C(a,b)到直線x-2y=0的距離 d=, 故d2==(a2+4b2-4ab). 由于a2+b2≥2ab,即-4ab≥-2a2-2b2, 故d2=(a2+4b2-4ab)≥(2b2-a2)= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號), 此時r2=a2+1=2,故圓的面積S=πr2=2π. B組 能力提高 13.已知圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方)且|AB|=2,過點A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點,下列三個結(jié)論:①=;②-=2;③+=2.其

30、中正確結(jié)論的序號是(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案 D 解析 根據(jù)題意,利用圓中的特殊三角形,求得圓心及半徑,即得圓的方程為(x-1)2+(y-)2=2,并且可以求得A(0,-1),B(0,+1), 因為M,N在圓O:x2+y2=1上, 所以可設(shè)M(cos α,sin α), N(cos β,sin β), 所以|NA|= =, |NB|= =, 所以=-1, 同理可得=-1, 所以=, -=-(-1)=2, +=2, 故①②③都正確. 14.若對圓(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點P(x,y),的取值與x,y無關(guān),則實

31、數(shù)a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)≤-4 B.-4≤a≤6 C.a(chǎn)≤-4或a≥6 D.a(chǎn)≥6 答案 D 解析 表示圓上的點到直線l1:3x-4y-9=0的距離的5倍,表示圓上的點到直線l2:3x-4y+a=0的距離的5倍, 所以的取值與x,y無關(guān),即圓上的點到直線l1,l2的距離與圓上點的位置無關(guān),所以直線3x-4y+a=0與圓相離或相切,并且l1和l2在圓的兩側(cè),所以d=≥1,并且a>0,解得a≥6,故選D. 15.(2018·合肥質(zhì)檢)為保護環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,鎮(zhèn)政府決定為A,B,C三個自然村建造一座垃圾處理站,集中處理A,B,C三個自然村的垃圾,受當(dāng)?shù)貤l件限制,垃圾

32、處理站M只能建在與A村相距5 km,且與C村相距 km的地方.已知B村在A村的正東方向,相距3 km,C村在B村的正北方向,相距3 km,則垃圾處理站M與B村相距________ km. 答案 2或7 解析 以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(3,0),C(3,3). 由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心,5為半徑的圓A上,同時又在以C(3,3)為圓心,為半徑的圓C上,兩圓的方程分別為x2+y2=25和(x-3)2+(y-3)2=31. 由 解得或 ∴垃圾處理站M的坐標(biāo)為(5,0)或, ∴|MB|=2或|MB|= =7, 即垃

33、圾處理站M與B村相距2 km或7 km. 16.點P(x,y)是直線2x+y+4=0上的動點,PA,PB是圓C:x2+(y-1)2=1的兩條切線,A,B是切點,則△PAB面積的最小值為________. 答案  解析 由圓的方程C:x2+(y-1)2=1, 可得圓心C(0,1),半徑r=1, 則圓心到直線2x+y+4=0的距離為d==, 設(shè)|PC|=m,則m≥, 則S△PAB=|PA|2sin 2∠APC =|PA|2sin∠APCcos∠APC =|PA|2··=, 令S=,m≥, 所以S′= =>0, 所以函數(shù)S在上單調(diào)遞增, 所以Smin=S=.即(S△PAB)min=. 16

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