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(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律. 知識點(diǎn)一 空間向量的概念 (1)在空間,把具有大小和方向的量叫做空間向量,向量的大小叫做向量的長度或模. 空間向量也用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的模,向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可記作,其模記為|a|或||. (2)幾類特殊的空間向量 名稱 定義及表示 零向量 規(guī)定長度為0的向量叫做零向量,記為0 單位向量 模為1的向量稱為單位向量 相反向量 與向量

2、a長度相等而方向相反的向量,稱為a的相反向量,記為-a 相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量 知識點(diǎn)二 空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律 思考 下面給出了兩個空間向量a,b,作出b+a,b-a. 答案 如圖,空間中的兩個向量a,b相加時,我們可以先把向量a,b平移到同一個平面α內(nèi),以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a,=b,則=+=a+b,=-=b-a. 梳理 (1)類似于平面向量,可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算. =+=a+b, =-=a-b. (2)空間向量加法交換律 a+b=b+a, 空間向量加法結(jié)合律 (a+b)+c

3、=a+(b+c). (1)零向量沒有方向.(×) (2)有向線段都可以表示向量,向量都可以用有向線段表示.(×) (3)平面內(nèi)所有的單位向量是相等的.(×) (4)空間中,將單位向量起點(diǎn)放在一起,其終點(diǎn)組成的圖形是球.(×) (5)任何兩個向量均不可以比較大小(√) 類型一 向量概念的應(yīng)用 例1 (1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是(  ) A.若向量a,b平行,則a,b所在直線平行 B.若|a|=|b|,則a,b的長度相等而方向相同或相反 C.若向量,滿足||>||,則> D.相等向量其方向必相同 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 空間向量的定義

4、與模 答案 D 解析 A中,向量a,b平行,則a,b所在的直線平行或重合;B中,|a|=|b|只能說明a,b的長度相等而方向不確定;C中,向量作為矢量不能比較大小,故選D. (2)給出下列命題: ①若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b; ②在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有=; ③若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p; ④空間中任意兩個單位向量必相等. 其中假命題的個數(shù)是(  ) A.1B.2C.3D.4 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 B 解析 ①為假命題,根據(jù)向量相等的定義知,兩向量相等,不僅模要相等,

5、而且還要方向相同,而①中向量a與b的方向不一定相同;②為真命題,與的方向相同,模也相等,故=;③為真命題,向量相等滿足傳遞性;④為假命題,空間中任意兩個單位向量的模均為1,但方向不一定相同,故不一定相等,故選B. 反思與感悟 在空間中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致,兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等,方向相反. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,下列四對向量:①與;②與;③與;④與.其中互為相反向量的有n對,則n等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 考點(diǎn) 空間向量的相

6、關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 B 解析 對于①與,③與,長度相等,方向相反,互為相反向量;對于②與,長度相等,方向不相反;對于④與,長度相等,方向相同.故互為相反向量的有2對. (2)如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=3,AD=2,AA′=1,則分別以長方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中: ①單位向量共有多少個? ②試寫出模為的所有向量. ③試寫出與向量相等的所有向量. ④試寫出向量的所有相反向量. 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 空間向量的定義與模 解?、儆捎陂L方體的高為1,所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量,,,,,,,,共8個向

7、量都是單位向量,而其他向量的模均不為1,故單位向量共有8個. ②由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為,故模為的向量有,,,,,,,. ③與向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及. ④向量的相反向量有,,,. 類型二 空間向量的加減運(yùn)算 例2 如圖,已知長方體ABCD-A′B′C′D′,化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量. (1)-; (2)++. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 解 (1)-=-=+=+=. (2)++=(+)+=++=+=. 向量,如圖所示. 引申探究 利用本例題圖,化簡+++. 解 結(jié)合加法運(yùn)算 +=

8、,+=,+=0. 故+++=0. 反思與感悟 (1)首尾順次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,即+++…+=. (2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的和為0.如圖, +++++++=0. 跟蹤訓(xùn)練2 在如圖所示的平行六面體中,求證:++=2. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 證明 ∵平行六面體的六個面均為平行四邊形, ∴=+,=+,=+, ∴++ =(+)+(+)+(+) =2(++). 又∵=,=, ∴++=++=+=. ∴++=2. 1.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C

9、1D1中,下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有(  ) ①(+)+; ②(+)+; ③(+)+; ④(+)+. A.1個B.2個C.3個D.4個 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 D 解析?、?+)+=+=; ②(+)+=+=; ③(+)+=+=; ④(+)+=+=,故選D. 2.下列命題中,假命題是(  ) A.同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小 B.兩個相等的向量,若起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同 C.只有零向量的模等于0 D.空間向量不滿足加法結(jié)合律 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 空間向量的定義與模 答案 D 3

10、.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,與向量相等的向量共有(  ) A.1個B.2個C.3個D.4個 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 C 解析 與相等的向量有,,,共3個. 4.向量a,b互為相反向量,已知|b|=3,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.a(chǎn)=b B.a(chǎn)+b為實(shí)數(shù)0 C.a(chǎn)與b方向相同 D.|a|=3 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 D 解析 向量a,b互為相反向量,則a,b模相等、方向相反,故選D. 5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知下列各式: ①(+)+;②(+)+;

11、③(+)+;④(+)+.其中運(yùn)算的結(jié)果為的有________個. 考點(diǎn)  題點(diǎn)  答案 4 解析 根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷: ①(+)+=+=; ②(+)+=+=; ③(+)+=+=; ④(+)+=+=. 所以4個式子的運(yùn)算結(jié)果都是. 1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是沒有方向,而是它的方向是任意的. (2)單位向量方向雖然不一定相同,但它們的長度都是1. (3)兩個向量模相等,不一定是相等向量,反之,若兩個向量相等,則它們不僅模相等,方向也相同.若兩個向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄浚? 2.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個技巧

12、 (1)巧用相反向量:向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時,務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果. 一、選擇題 1.化簡-+所得的結(jié)果是(  ) A. B. C.0 D. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 C 解析?。剑剑?,故選C. 2.下列命題中為真命題的是(  ) A.向量與的長度相等 B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓 C.空間向量就是空間

13、中的一條有向線段 D.不相等的兩個空間向量的模必不相等 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 A 解析 對于選項(xiàng)B,其終點(diǎn)構(gòu)成一個球面;對于選項(xiàng)C,零向量不能用有向線段表示;對于選項(xiàng)D,向量a與向量b不相等,未必它們的模不相等,故選A. 3.空間任意四個點(diǎn)A,B,C,D,則+-等于(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 D 4.(2017·嘉興一中期末)如圖,在三棱錐O-ABC中,點(diǎn)D是棱AC的中點(diǎn),若=a,=b,=c,則等于(  ) A.a(chǎn)+b-c B.a-b+c C.a(chǎn)-b+c

14、D.-a+b-c 答案 B 5.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是(  ) A.平行四邊形 B.空間四邊形 C.等腰梯形 D.矩形 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 答案 A 解析 由+==+=,得=,故四邊形ABCD為平行四邊形,故選A. 6.如果向量,,滿足||=||+||,則(  ) A.=+ B.=-- C.與同向 D.與同向 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 D 7.判斷下列各命題的真假: ①向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反;②兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量,

15、其終點(diǎn)必相同;③零向量是沒有方向的;④有向線段就是向量,向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為(  ) A.2B.3C.4D.5 考點(diǎn)  題點(diǎn)  答案 B 解析 ①假命題,當(dāng)a與b中有一個為零向量時,其方向是不確定的;②真命題;③假命題,零向量也是向量,故也有方向,只是方向不確定;④假命題,向量可用有向線段來表示,但并不是有向線段. 二、填空題 8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡-+-的結(jié)果是________. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 2 解析 -+-=++-=+=2. 9.已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反

16、向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,則|a+b+c|=________. 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 空間向量的定義與模 答案 2 10.若G為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足++=0,則G為△ABC的________.(選填“外心”“內(nèi)心”“垂心”或“重心”) 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 答案 重心 解析 因?yàn)椋剑剑? 所以AG所在直線的延長線為邊BC上的中線,同理,得BG所在直線的延長線為AC邊上的中線,故G為其重心. 11.給出下列命題:①若|a|=0,則a=0;②若a=0,則|a|=0;③|a|=|-a|;④若a=0,則-a

17、=0.其中正確命題的序號為________. 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及及其表示方法 題點(diǎn) 空間向量的定義與模 答案?、冖邰? 三、解答題 12.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,E,F(xiàn),G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),請化簡:++,++,并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 解 ++=+=. 因?yàn)镋,F(xiàn),G分別為BC,CD,DB的中點(diǎn), 所以=,=. 所以++ =++=. 故所求向量為,,如圖所示. 13.如圖所示,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,化簡下列表達(dá)式. (1)+; (2

18、)++; (3)++; (4)+-. 考點(diǎn)  題點(diǎn)  解 (1)+=. (2)++=+=. (3)++=++=. (4)+-=(++)+(++)-=. 四、探究與拓展 14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為點(diǎn)O,則在下列結(jié)論中正確的結(jié)論共有(  ) ①+與+是一對相反向量; ②-與-是一對相反向量; ③+++與+++是一對相反向量; ④-與-是一對相反向量. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 考點(diǎn) 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點(diǎn) 相等、相反向量 答案 C 15.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡-+-+-. 解 如圖. -+-+- =(-)+(-)+(-) =++=+=. 13

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