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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)回扣(五)立體幾何學(xué)案 理
1.空間幾何體的三視圖
在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主.
[對點專練1] 若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的直觀圖是( )
[答案] A
2.斜二測畫法
在斜二測畫法中,要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變,長度不變;平行于y軸的線段平行性不變,長度減半.”
[對點專練2] 如圖所示的等腰直角三角形表示一個水平放置的平面圖形的直觀圖,則這個平面圖形的面
2、積是________.
[答案] 2
3.計算空間幾何體的表面積和體積
(1)分析清楚空間幾何體的結(jié)構(gòu),搞清楚該幾何體的各個部分的構(gòu)成特點;
(2)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和一些必要的等積變換.
[對點專練3] 如圖所示,一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形,側(cè)(左)視圖是一個直徑為1的圓,那么這個幾何體的表面積為( )
A.4π B.3π C.2π D.π
[答案] D
4.與球有關(guān)的切接問題
長方體外接球半徑為R時有(2R)2=a2+b2+c2;棱長為a的正四面體內(nèi)切球半徑r=a,外接球半徑R=a.
[對點專練4] 已知正三棱錐P-
3、ABC,點P,A,B,C都在半徑為的球面上,若PA,PB,PC兩兩相互垂直,則球心到截面ABC的距離為________.
[答案]
5.空間直線、平面的位置關(guān)系
不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理,忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件,導(dǎo)致判斷出錯.如由α⊥β,α∩β=l,m⊥l,易誤得出m⊥β的結(jié)論,就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件.
[對點專練5] 已知b,c是平面α內(nèi)的兩條直線,則“直線a⊥α”是“直線a⊥b,直線a⊥c”的________條件.
[答案] 充分不必要
6.用向量求空間中角的公式
(1)直線l1,l2夾角θ有cosθ=|cosl
4、1,l2|;
(2)直線l與平面α的夾角θ有:
sinθ=|cosl,n|(其中n是平面α的法向量);
(3)平面α,β夾角θ有cosθ=|cosn1,n2|,則α-l-β二面角的平面角為θ或π-θ.(其中n1,n2分別是平面α,β的法向量)
[對點專練6] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等,則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于________.
[答案]
7.用空間向量求A到平面α的距離公式
d=.
[對點專練7] 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則點O到平面ABC1D1的距離為______
5、__.
[答案]
[易錯盤點]
易錯點1 三視圖認(rèn)識不清致誤
【例1】 已知某個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積是________.
[錯解]
[錯因分析] 沒有理解幾何體的三視圖的意義,不能正確從三視圖還原成幾何體,不清楚幾何體中的幾何關(guān)系.
[正解] 如圖所示,作幾何體S-ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,作SE⊥CD于點E,得SE⊥平面ABCD且SE=20.
∴VS-ABCD=S正方形ABCD·SE=;
∴這個幾何體的體積是.
在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要從三個視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間
6、幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)(左)視圖進(jìn)行綜合考慮.
[對點專練1]
(1)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于( )
A. B. C.1 D.
(2)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體最長棱長的值為________.
[解析] (1)由三視圖知該幾何體是直三棱柱截去一個三棱錐所剩的幾何體,底面是直角邊為1的等腰直角三角形,高為2,∴所求體積V=V柱-V錐=×2-××2=,故選A.
(2)依題意,幾何體是如圖所示的三棱錐A-BCD,
7、其中∠CBD=120°,BD=2,點C到直線BD的距離為,BC=2,CD=2,AB=2,AB⊥平面BCD,因此AC=AD=2,該幾何體最長棱長的值為2.
[答案] (1)A (2)2
易錯點2 線面關(guān)系定理條件使用不當(dāng)致誤
【例2】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點.
(1)求證:EF∥平面ABC1D1;
(2)求證:EF⊥B1C.
[錯解] 證明:(1)連接BD1,∵E、F分別為DD1、DB的中點,
∴EF∥D1B,∴EF∥平面ABC1D1.
(2)∵AC⊥BD,AC⊥D1D,∴AC⊥平面BDD1.
∴EF⊥AC.同理EF⊥AB1.
∴
8、EF⊥平面AB1C.
∴EF⊥B1C.
[錯因分析] 推理論證不嚴(yán)謹(jǐn),思路不清晰.
[正解] 證明:(1)連接BD1,如圖所示,
在△DD1B中,E、F分別為DD1、DB的中點,則EF∥D1B.
∵D1B?平面ABC1D1,EF?平面ABC1D1,
∴EF∥平面ABC1D1.
(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∵AB⊥面BCC1B1,∴B1C⊥AB.
又∵B1C⊥BC1,AB,BC1?平面ABC1D1,AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1D1,
∵BD1?平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵EF∥BD1,∴EF⊥B1C.
證明空間線面位置
9、關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸,根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì),進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化.解這類問題時要注意推理嚴(yán)謹(jǐn),使用定理時找足條件,書寫規(guī)范等.
[對點專練2]
(1)下列命題中錯誤的是( )
A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面β,α∩β=l,過α內(nèi)任意一點作l的垂線m,則m⊥β
(2)已知三條不同直線m,n,l與三個不同平面α,β,γ,有下列命題:
①若m∥α,n∥α,則m∥n;
②若α
10、∥β,l?α,則l∥β;
③α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;
④若m,n為異面直線,m?α,n?β,m∥β,n∥α,則α∥β.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] (1)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ,A正確;如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)平行于交線的直線平行平面β,B正確;如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β,C正確;若此點在直線l上,則不能推出m⊥β,D錯誤,故選D.
(2)因為平行于同一平面的兩條直線除了平行,還可能相交或成異面直線,所以命題①錯誤;由直線與平面平行的定義知命題②正確
11、;由于垂直于同一個平面的兩個平面可能平行還可能相交,因此命題③錯誤;過兩條異面直線分別作平面互相平行,這兩個平面是唯一存在的,因此命題④正確.故選C.
[答案] (1)D (2)C
易錯點3 空間角的范圍不清致誤
【例3】 如圖所示,四棱錐P-ABCD中,
底面四邊形ABCD是正方形,側(cè)面PDC是邊長為a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E為PC的中點.
(1)求異面直線PA與DE所成的角的余弦值;
(2)AP與平面ABCD所成角的正弦值.
[錯解] 如圖所示,取DC的中點O,連接PO,
∵△PDC為正三角形,
∴PO⊥DC.
又∵平面PDC⊥平面ABCD,
12、
∴PO⊥平面ABCD.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則P,A,B,
C,D.
(1)E為PC的中點,∴E.
∴=,=.
∴·=a×+a×
=-a2,||=a,||=a.
cos,===-.
∴異面直線PA與DE所成的角的余弦值為-.
(2)平面ABCD的法向量n=,
∴cos,n===-.
∴AP與平面ABCD所成角的正弦值為-.
[錯因分析] 本題失分的根本原因是概念不清,混淆了空間角與向量所成角的概念.
[正解] (1)在求出cos,=-后,
∵異面直線PA、DE所成角是銳角或直角,
∴異面直線PA、DE所成角的余弦值是.
(2
13、)cos,n=-,
∴直線AP與平面ABCD所成角的正弦值為.
(1)異面直線PA與DE所成的角為銳角或直角,余弦值一定非負(fù).(2)直線AP與平面ABCD所成的角不是與平面ABCD的法向量所成的角.
[對點專練3] 如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AB⊥AC,AB=AC=PA=2,E是BC的中點.
(1)求異面直線AE與PC所成的角;
(2)求二面角D-PC-A的平面角的余弦值.
[解] (1)如圖所示,以A點為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).
故E(1,1
14、,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),
cos,==,即,=60°,
故異面直線AE與PC所成的角為60°.
(2)在四邊形ABCD中,∵AB=AC=2,AB⊥AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=45°,
又AD⊥CD,∴AD=CD=,
∴D(-1,1,0),又C(0,2,0),
∴=(-1,-1,0),=(0,2,-2).
設(shè)n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,則⊥n,⊥n,即·n=0,·n=0,
∴,令x=-1得,y=1,z=1,
即n=(-1,1,1),|n|=,
又AB⊥平面PAC,∴=(2,0,0)是平面PAC的一個法向量,
∴cos,n==-,
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值為.