(浙江專(zhuān)用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版必修4
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1、 第一章 三角函數(shù) 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解任意角的三角函數(shù)的概念.2.掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式.3.能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象.4.理解三角函數(shù)y=sin x,y=cos x,y=tan x的性質(zhì).5.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義,掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的變換. 1.任意角三角函數(shù)的定義 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么: (1)y叫做α的正弦,記作sin α,即sin α=y(tǒng); (2)x叫做α的余弦,記作cos α,即cos α=x; (3)叫做α的正
2、切,記作tan α,即tan α=(x≠0). 2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1. (2)商數(shù)關(guān)系:tan α= . 3.誘導(dǎo)公式 六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不改變;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),函數(shù)名改變,然后前面加一個(gè)把α視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).記憶口訣為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”. 4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 R R {x|x∈R且x≠ kπ+,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1
3、,1] R 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸:x=kπ+(k∈Z); 對(duì)稱(chēng)中心:(kπ,0)(k∈Z) 對(duì)稱(chēng)軸:x=kπ(k∈Z); 對(duì)稱(chēng)中心:(k∈Z) 對(duì)稱(chēng)中心:(k∈Z),無(wú)對(duì)稱(chēng)軸 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 周期性 最小正周期:2π 最小正周期:2π 最小正周期:π 單調(diào)性 在(k∈Z) 上單調(diào)遞增;在(k∈Z) 上單調(diào)遞減 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在開(kāi)區(qū)間(k∈Z) 上遞增 最值 在x=+2kπ(k∈Z)時(shí),ymax=1;在x=-+2kπ(k∈Z)時(shí),ymin=-1 在x=2kπ(k
4、∈Z)時(shí),ymax=1;在x=π+2kπ(k∈Z)時(shí),ymin=-1 無(wú)最值 類(lèi)型一 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值 例1 (2018·牌頭中學(xué)月考)已知f(α)=. (1)化簡(jiǎn)f(α); (2)若α是第三象限角,且cos=,求f(α)的值; (3)若α=-,求f(α)的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 (1)f(α)==-cos α. (2)∵cos=-sin α=, ∴sin α=-. 又∵α是第三象限角, ∴cos α=-=-=-. ∴f(α)=. (3)∵-=-6×2π+, ∴f=-cos =-cos =-cos=-cos
5、=-. 反思與感悟 解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題一般先化簡(jiǎn)再求值.在應(yīng)用中,要注意掌握解題的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α,注意應(yīng)用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α. 跟蹤訓(xùn)練1 已知α是三角形的內(nèi)角,且sin α+cos α=. (1)求tan α的值; (2)把用tan α表示出來(lái),并求其值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 (1)由sin α+cos α=, 得1+2sin αcos α=, 所以sin αcos α=-, 因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角,所以sin α>0,cos α<0,
6、 所以sin α-cos α= = ==, 故得sin α=,cos α=-,所以tan α=-. (2)==, 又tan α=-, 所以==-. 類(lèi)型二 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例2 (2017·金華十校期末)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象如圖所示. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)y=|f(x)|在上的最大值和最小值. 考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 解 (1)由圖象可知A=1,==-=, ∴T=π,∴ω=2.∴f(x)=sin(2x+φ). 又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上, ∴2×+φ=2kπ+,k∈Z, ∴φ=
7、2kπ+,k∈Z, 又|φ|<,∴φ=. ∴f(x)的解析式是f(x)=sin. (2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤. ∴-≤sin≤1, ∴f(x)=sin∈, ∴當(dāng)2x+=,即x=時(shí), 函數(shù)y=|f(x)|取得最大值1; 當(dāng)2x+=0,即x=-時(shí), 函數(shù)y=|f(x)|取得最小值0. 反思與感悟 研究y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,把ωx+φ看作一個(gè)整體來(lái)解決. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在區(qū)間上的圖象.為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只要將y=sin x(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)( ) A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)
8、度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變 考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 答案 A 解析 由題圖知,A=1,T=-=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),又圖象過(guò)點(diǎn),由五點(diǎn)法知+φ=π,所以φ=,所以y=sin.故將函數(shù)y=sin x的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變
9、),可得函數(shù)y=sin的圖象. 類(lèi)型三 三角函數(shù)的最值或值域 命題角度1 可化為y=Asin(ωx+φ)+k型 例3 求函數(shù)y=-2sin+3,x∈[0,π]的最大值和最小值. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值 解 ∵x∈[0,π],∴x+∈, ∴-≤sin≤1. 當(dāng)sin=1,即x=時(shí),y取得最小值1. 當(dāng)sin=-,即x=π時(shí),y取得最大值4. ∴函數(shù)y=-2sin+3,x∈[0,π]的最大值為4,最小值為1. 反思與感悟 利用y=Asin(ωx+φ)+k求值域時(shí)要注意角的取值范圍對(duì)函數(shù)式取值的影響. 跟蹤訓(xùn)練3 函數(shù)f(x)
10、=3sin,x∈的值域?yàn)? ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域 答案 B 解析 當(dāng)x∈時(shí),2x-∈, ∴sin∈, 故3sin∈, 即此時(shí)函數(shù)f(x)的值域是. 命題角度2 可化為sin x或cos x的二次函數(shù)型 例4 已知|x|≤,求函數(shù)f(x)=cos2x+sin x的最小值. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問(wèn)題 解 y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. 令t=sin x,∵|x|≤,∴-≤sin x≤.
11、則y=-t2+t+1=-2+, ∴當(dāng)t=-,即x=-時(shí),f(x)有最小值,且最小值為-2+=. 反思與感悟 在換元時(shí)要立刻寫(xiě)出新元的范圍,否則極易出錯(cuò). 跟蹤訓(xùn)練4 (2017·全國(guó)Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是 . 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問(wèn)題 答案 1 解析 f(x)=1-cos2x+cos x- =-2+1. ∵x∈,∴cos x∈[0,1], ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最大值,最大值為1. 類(lèi)型四 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例5 如果關(guān)于x的方程sin2x-(
12、2+a)sin x+2a=0在x∈上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 解 sin2x-(2+a)sin x+2a=0, 即(sin x-2)(sin x-a)=0. ∵sin x-2≠0,∴sin x=a, 因此此題轉(zhuǎn)化為求在x∈上,sin x=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值范圍. 由y=sin x,x∈與y=a的圖象(圖略)知≤a<1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 反思與感悟 數(shù)形結(jié)合思想貫穿了三角函數(shù)的始終,對(duì)于與方程解有關(guān)的問(wèn)題以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)和由性質(zhì)研究圖
13、象時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合思想. 跟蹤訓(xùn)練5 設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為 . 考點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 答案 π 解析 記f(x)的最小正周期為T(mén). 由題意知≥-=,即T≥. 又f=f=-f,且-=, 可作出示意圖如圖所示(一種情況), ∴x1=×=, x2=×=, ∴=x2-x1=-=,∴T=π. 1.已知sin=,則cos等于( ) A. B.- C. D.- 考點(diǎn)
14、 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 D 解析 cos=sin=sin=-sin=-. 2.已知f(α)=,則f的值為( ) A. B.- C.- D. 考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 C 解析 ∵f(α)===-cos α, ∴f=-cos=-cos =-cos=-cos=-. 3.函數(shù)y=sin(2x+φ)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi),則滿足此條件的一個(gè)φ值為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 答案
15、A
解析 令2x+φ=kπ+(k∈Z),
解得x=+-(k∈Z),
因?yàn)楹瘮?shù)y=sin(2x+φ)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi),所以令<+-<(k∈Z),解得kπ-<φ 16、===2.
令x=-有ωx+φ=2×+φ=2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ+(k∈Z),
又因?yàn)?<φ<,
令k=0可得φ=,函數(shù)的解析式為
f(x)=2sin,
繪制函數(shù)g(x)=2sin ωx=2sin 2x的圖象如圖所示,觀察可得函數(shù)f(x)的圖象可以由g(x)=2sin ωx的圖象向左平移至少個(gè)單位長(zhǎng)度得到.
5.已知函數(shù)f(x)=2sin+a,a為常數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若x∈時(shí),f(x)的最小值為-2,求a的值.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
解 (1 17、)f(x)=2sin+a,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(3)當(dāng)x∈時(shí),2x-∈,
所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值,
即2sin+a=-2,故a=-1.
三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn),在復(fù)習(xí)時(shí),要充分利用數(shù)形結(jié)合思想把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái),即利用圖象的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)也能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描述函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
18、一、選擇題
1.已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則角α的最小正值為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù)
題點(diǎn) 任意角三角函數(shù)的定義
答案 D
解析 ∵sin =,cos =-.
∴角α的終邊在第四象限,
且tan α==-,
∴角α的最小正值為2π-=.
2.把函數(shù)y=sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為( )
A.x=0 B.x=
C.x=- D.x=
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 把函數(shù)y=sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的圖象的解析式為y=sin. 19、由2x+=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故選B.
3.若cos=-,則sin(-5π+α)等于( )
A. B.- C. D.-
考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值
答案 D
解析 因?yàn)閏os=-,所以sin α=,所以sin(-5π+α)=sin(-π+α)=-sin α=-,故選D.
4.函數(shù)y=2cos x-1的最大值、最小值分別是( )
A.2,-2 B.1,-3
C.1,-1 D.2,-1
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 余弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 B
解析 ∵-1≤cos x≤1,∴當(dāng)cos 20、x=1時(shí),函數(shù)取得最大值為2-1=1,當(dāng)cos x=-1時(shí),函數(shù)取得最小值為-2-1=-3,故最大值、最小值分別為1,-3,故選B.
5.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的解析式為( )
A.y=sin 2x-2
B.y=2cos 3x-1
C.y=sin-1
D.y=1-sin
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 由題圖得=-,∴T=π=,
又ω>0,∴ω=2,∴y=1+sin(2x+φ),
當(dāng)x=時(shí),0=1+sin,
∴2×+φ=2kπ-(k∈Z),
∴φ=2kπ--=2kπ-(k∈Z).
∴y=1+s 21、in=1-sin
=1-sin,故選D.
6.(2018·金華東陽(yáng)中學(xué)檢測(cè))已知θ∈,則等于( )
A.sin θ-cos θ B.cos θ-sin θ
C.±(sin θ-cos θ) D.sin θ+cos θ
考點(diǎn) 運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值
題點(diǎn) 運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值
答案 A
7.(2017·寧波期末)下列函數(shù)中,最小正周期為π,且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)的是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
考點(diǎn) 求三角函數(shù)的解析式
題點(diǎn) 根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解析式
答案 B
解析 函數(shù)的最小正周期為π,則=π 22、,∴ω=2,
據(jù)此可得選項(xiàng)AC錯(cuò)誤;
考查選項(xiàng)BD:
當(dāng)x=時(shí),sin=sin=1,滿足題意;
當(dāng)x=時(shí),cos=cos=0,不滿足題意,故選B.
二、填空題
8.函數(shù)y=2sin的最小正周期在內(nèi),則正整數(shù)m的值是 .
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
答案 26,27,28
解析 ∵T=,又∵<<,
∴8π 23、三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 2+
解析 由圖知A=2,ω=,φ=0,
∴f(x)=2sinx,
∴f(1)+f(2)+…+f(8)=0.
又f(x)的周期為8,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 018)=f(1)+f(2)
=2sin +2sin =2+.
10.已知sin α是方程2x2-x-1=0的根,α是第三象限角,則·tan2(π-α)= .
考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)
答案 -
解析 ∵方程2x2-x-1=0的根為-或1,
又α是第三象限角,∴sin α=-,
∴cos α=-=- 24、,
∴tan α==,
∴原式=·tan2α=-tan2α=-.
11.給出下列命題:
①函數(shù)y=cos是奇函數(shù);
②若α,β是第一象限角且α<β,則tan α 25、小值是-2,最大值是2,不正確;④sin=sin =-1,正確.
三、解答題
12.已知函數(shù)g(x)=Acos(ωx+φ)+B的部分圖象如圖所示,將函數(shù)g(x)的圖象保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)f(x)的圖象.求:
(1)函數(shù)f(x)在上的值域;
(2)使f(x)≥2成立的x的取值范圍.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
解 (1)由圖知B==1,A==2,T=2=π,
所以ω=2,所以g(x)=2cos(2x+φ)+1.
把代入,得2cos+1=-1,
即+φ=π+2kπ(k∈Z),
所以φ=2kπ+(k∈Z).
因 26、為|φ|<,所以φ=,
所以g(x)=2cos+1,
所以f(x)=2cos+1.
因?yàn)閤∈,所以2x-∈,
所以f(x)∈[0,3],即函數(shù)f(x)在上的值域?yàn)閇0,3].
(2)因?yàn)閒(x)=2cos+1,
所以2cos+1≥2,
所以cos≥,
所以-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
所以kπ≤x≤kπ+(k∈Z),
所以使f(x)≥2成立的x的取值范圍是.
13.已知函數(shù)f(x)=cos,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值,并求出取得最值時(shí)x的值.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合 27、應(yīng)用
題點(diǎn) 余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
解 (1)因?yàn)閒(x)=cos,x∈R,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)==π.
由-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(2)因?yàn)閒(x)=cos在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又f=0,f=,f=cos=-cos =-1,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為,此時(shí)x=;最小值為-1,此時(shí)x=.
四、探究與拓展
14.將函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)在上為增函數(shù),則ω的最大值為 .
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 2
15.已知函數(shù)y=asin+b在x∈上的值域?yàn)閇-5,1],求a,b的值.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域
解 ∵x∈,
∴2x+∈,sin∈.
∴當(dāng)a>0時(shí),解得
當(dāng)a<0時(shí),解得
∴a,b的取值分別是4,-3或-4,-1.
18
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