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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專題研究1 曲線與方程練習(xí) 理 1．已知點(diǎn)A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面積為10，則動點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0 答案　B 解析　可知AB的方程為4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，設(shè)動點(diǎn)C(x，y)．由題意可知×5×＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.故選B. 2．方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲線圖形是(　　

2、) 答案　D 3．動圓M經(jīng)過雙曲線x2－＝1的左焦點(diǎn)且與直線x＝2相切，則圓心M的軌跡方程是(　　) A．y2＝8x　　　　　　　 B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案　B 解析　雙曲線x2－＝1的左焦點(diǎn)F(－2，0)，動圓M經(jīng)過F且與直線x＝2相切，則圓心M經(jīng)過F且與直線x＝2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離和到直線x＝2的距離相等，由拋物線的定義知軌跡是拋物線，其方程為y2＝－8x. 4．(2017·皖南八校聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y

3、2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 答案　D 解析　(直譯法)如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0)．連接MA，PM. 則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因?yàn)閨PA|＝1， 所以|PM|＝＝， 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 5．(2017·吉林市畢業(yè)檢測)設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)定圓，動圓P與這兩個(gè)定圓都外切，則圓P的圓心軌跡可能是(　　) A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④ 答案　A 解析　當(dāng)兩定圓相離時(shí)，圓P的圓心軌跡為①；當(dāng)兩定圓外切時(shí)，圓P的圓心軌跡為②；當(dāng)兩定圓相交時(shí)，圓P的圓心軌跡為③；

4、當(dāng)兩定圓內(nèi)切時(shí)，圓P的圓心軌跡為⑤. 6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1 C．y2－＝－1 D．x2－＝1 答案　A 解析　由題意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線下支．∵雙曲線中c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)． 7．△ABC的頂點(diǎn)為A(－5，0)、B(5，

5、0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4) 答案　C 解析　設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與x軸相切于D點(diǎn)，則D(3，0)．由于AC、BC都為圓的切線． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6. 由雙曲線定義知所求軌跡方程為－＝1(x>3)． 故選C. 8．(2017·寧波十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(－1，0)，B(1，0)，平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足下列條件：①＋＋＝0，②||＝||＝||，③∥.則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為(　　

6、) A.＋y2＝1(y≠0) B.－y2＝1(y≠0) C．x2＋＝1(y≠0) D．x2－＝1(y≠0) 答案　C 解析　根據(jù)題意，G為△ABC的重心，設(shè)C(x，y)，則G(，)，而M為△ABC的外心，∴M在AB的中垂線上，即y軸上，由∥，得M(0，)，根據(jù)||＝||，得1＋()2＝x2＋(y－)2，即x2＋＝1，又C點(diǎn)不在x軸上，∴y≠0，故選C. 9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2＋y2＝r2(r>0)內(nèi)切于正方形ABCD，任取圓上一點(diǎn)P，若＝a＋b(a，b∈R)，若M(a，b)，則動點(diǎn)M所形成的軌跡曲線的長度為(　　) A．π B.π C.π D．2π

7、 答案　B 解析　設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝r2，A(r，r)，B(－r，r)．由＝a＋b，得代入x2＋y2＝r2，得(a－b)2＋(a＋b)2＝1，即a2＋b2＝，故動點(diǎn)M所形成的軌跡曲線的長度為π. 10．已知拋物線y2＝nx(n<0)與雙曲線－＝1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，則動點(diǎn)(m，n)的軌跡方程是________． 答案　n2＝16(m＋8)(n<0) 解析　拋物線的焦點(diǎn)為(，0)，在雙曲線中，8＋m＝c2＝()2，n<0，即n2＝16(m＋8)(n<0)． 11．長為3的線段AB的端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上移動，動點(diǎn)C(x，y)滿足：＝2，則動點(diǎn)C的軌跡方程為_______

8、_________． 答案　x2＋y2＝1 解析　設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a2＋b2＝9.又C(x，y)，則由＝2，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)． 即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋y2＝1. 12．若過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線與其交于M，N兩點(diǎn)，作平行四邊形MONP，則點(diǎn)P的軌跡方程為________． 答案　y2＝4(x－2) 解析　設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)． 得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y(tǒng). 由聯(lián)立得x＝x1＋x2＝. y＝y(tǒng)1＋y2＝，消

9、去參數(shù)k，得y2＝4(x－2)． 13.如圖所示，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－2，0)，直角頂點(diǎn)B(0，－2)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)． (1)求BC邊所在直線方程； (2)M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程； (3)若動圓N過點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動圓N的圓心N的軌跡方程． 答案　(1)y＝x－2　(2)(x－1)2＋y2＝9 (3)x2＋y2＝1 解析　(1)∵kAB＝－，AB⊥BC， ∴kCB＝.∴BC：y＝x－2. (2)在上式中，令y＝0，得C(4，0)．∴圓心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圓的方程為(x－1)2＋y2＝9.

10、 (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圓N過點(diǎn)P(－1，0)， ∴PN是該圓的半徑．又∵動圓N與圓M內(nèi)切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3. ∴點(diǎn)N的軌跡是以M，P為焦點(diǎn)，長軸長為3的橢圓． ∴a＝，c＝1，b＝＝. ∴軌跡方程為x2＋y2＝1. 14．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0)． (1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)討論軌跡C的形狀． 答案　(1)x2－＝1(λ≠0，x≠±1)　(2)略 解析　(1)由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN＝·＝λ. 整理，

11、得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． (2)①當(dāng)λ>0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))； ②當(dāng)－1<λ<0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長軸兩個(gè)端點(diǎn))； ③當(dāng)λ＝－1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓除去點(diǎn)(－1，0)，(1，0)； ④當(dāng)λ<－1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn))． 15．已知點(diǎn)A(－4，4)，B(4，4)，直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為－2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的軌跡方程； (2)Q為直線y＝－1上的動點(diǎn)，過Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D，

12、E，求△QDE的面積S的最小值． 答案　(1)x2＝4y(x≠±4)　(2)4 解析　(1)設(shè)M(x，y)，則kAM＝，kBM＝. ∵直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為－2， ∴－＝－2，∴x2＝4y(x≠±4)． (2)設(shè)Q(m，－1)．∵切線斜率存在且不為0，故可設(shè)一條切線的斜率為k，則切線方程為y＋1＝k(x－m)． 聯(lián)立得方程組得x2－4kx＋4(km＋1)＝0. 由相切得Δ＝0，將k2－km－1＝0代入，得x2－4kx＋4k2＝0， 即x＝2k，從而得到切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k，k2)． 在關(guān)于k的方程k2－km－1＝0中，Δ>0， ∴方程k2－km－1＝0有兩個(gè)不相

13、等的實(shí)數(shù)根，分別為k1，k2， 則故QD⊥QE，S＝|QD||QE|. 記切點(diǎn)(2k，k2)到Q(m，－1)的距離為d， 則d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4， 故|QD|＝， |QE|＝， S＝(4＋m2) ＝(4＋m2)≥4， 即當(dāng)m＝0，也就是Q(0，－1)時(shí)面積的最小值為4. 16．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過左焦點(diǎn)傾斜角為45°的直線被橢圓截得的弦長為. (1)求橢圓E的方程； (2)若動直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)M(1，0)作l的垂線，垂足為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 答案　(1)＋y

14、2＝1　(2)x2＋y2＝2 解析　(1)因?yàn)闄E圓E的離心率為，所以＝.解得a2＝2b2，故橢圓E的方程可設(shè)為＋＝1，則橢圓E的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－b，0)，過左焦點(diǎn)傾斜角為45°的直線方程為l′：y＝x＋b. 設(shè)直線l′與橢圓E的交點(diǎn)為A，B， 由消去y，得3x2＋4bx＝0，解得x1＝0，x2＝－. 因?yàn)閨AB|＝|x1－x2|＝＝，解得b＝1. ∴a2＝2，∴橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)①當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，聯(lián)立直線l和橢圓E的方程，得 消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 因?yàn)橹本€l和橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

15、， 所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0. 化簡并整理，得m2＝2k2＋1. 因?yàn)橹本€MQ與l垂直，所以直線MQ的方程為y＝－(x－1)． 聯(lián)立得方程組解得 ∴x2＋y2＝＝＝＝， 把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*) ②當(dāng)切線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式． ③當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)Q(，0)或(－，0)，符合(*)式． 綜上所述，點(diǎn)Q的軌跡方程為x2＋y2＝2. 1．(2018·河南洛陽二模)已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)E(2，0)，且在y軸上截得的弦PQ的長為4.則動圓圓心M的軌跡C的方程是________

16、． 答案　y2＝4x 解析　設(shè)M(x，y)，PQ的中點(diǎn)為N，連MN，則|PN|＝2，MN⊥PQ， ∴|MN|2＋|PN|2＝|PM|2. 又|PM|＝|EM|，∴|MN|2＋|PN|2＝|EM|2， ∴x2＋4＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x. ∴動圓圓心M的軌跡C的方程為y2＝4x. 2．已知直線l與平面α平行，P是直線l上一定點(diǎn)，平面α內(nèi)的動點(diǎn)B滿足PB與直線l成30°角，那么B點(diǎn)軌跡是(　　) A．兩條直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案　C 解析　P是直線l上的定點(diǎn)，平面α與直線l平行，平面α內(nèi)的動點(diǎn)B滿足PB與直線l成30°角，因?yàn)榭臻g中過

17、P與l成30°角的直線構(gòu)成兩個(gè)相對頂點(diǎn)的圓錐，α即為平行于圓錐軸的平面，點(diǎn)B的軌跡可理解為α與圓錐側(cè)面的交線，所以點(diǎn)B的軌跡為雙曲線，故選C. 3．(2018·安徽安慶二模)已知拋物線x2＝2py(p>0)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線OA于點(diǎn)C，如圖所示．求點(diǎn)C的軌跡M的方程． 答案　y＝－ 解析　依題意可得，直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為y＝kx＋，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)， 由?x2－2pkx－p2＝0?x1·x2＝－p2. 易知直線OA：y＝x＝x，直線BC：x＝x2， 由得y＝＝－， 即點(diǎn)C的

18、軌跡M的方程為y＝－. 4．(2014·課標(biāo)全國Ⅰ，文)已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積． 答案　(1)(x－1)2＋(y－3)2＝2 (2)x＋3y－8＝0，S△POM＝ 解析　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－. 故l的方程為y＝－x＋，即x＋3y－8＝0. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，|PM|＝，所以△POM的面積為.