《（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第七單元 平面向量學案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第七單元 平面向量學案 文（50頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第七單元 平面向量 教材復習課“平面向量”相關基礎知識一課過 向量的有關概念 [過雙基] 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱) 平面向量是自由向量 零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共線向量) 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 　　 1．若向量a與b不相

2、等，則a與b一定(　　) A．有不相等的?！　　　?B．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 解析：選C　若a與b都是零向量，則a＝b，故選項C正確． 2．關于平面向量，下列說法正確的是(　　) A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．平面內的單位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量 D．共線向量就是相等向量 解析：選C　對于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對于C，方向相反的向量一定是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對于D，由共

3、線向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C. 3．下列命題中，正確的個數是(　　) ①單位向量都相等； ②模相等的兩個平行向量是相等向量； ③若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b； ④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選A　對于①，單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯誤； 對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤； 對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤； 對于④，向量是可以平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤． 綜上，正確的命題個數是0.

4、 [清易錯] 1．對于平行向量易忽視兩點： (1)零向量與任一向量平行． (2)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件． 2．單位向量的定義中只規(guī)定了長度沒有方向限制． 1．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 解析：選D　可舉特例，當n＝0時，滿足m∥n，n∥k，故A、B、C選項都不正確，故D正確． 2．設a，b都是非零向量，下列四個選項中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a＝2b B．a∥b C．a＝－b D．a⊥b 解析：選C　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等價于“非零

5、向量a，b共線且反向”，故答案為C. 向量共線定理及平面向量基本定理 [過雙基] 1．向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa. 2．平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底． 　 1．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點共線的充要條件為(　　) A．λ＋μ＝2　　　　　　　 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D

6、．λμ＝1 解析：選D　∵A，B，C三點共線， ∴∥， 設＝m(m≠0)，即λa＋b＝ma＋mμb， ∴∴λμ＝1. 2．(2018·南寧模擬)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則的值為(　　) A．－ B. C．－2 D．2 解析：選C　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則故＝－2. 3．已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：選C　如圖， ∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. [清易錯] 1．在向量

7、共線的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數個． 2．平面向量基本定理指出：平面內任何一個非零向量都可以表示為沿兩個不共線的方向分離的兩個非零向量的和，并且一旦分解方向確定后，這種分解是唯一的．這一點是易忽視的． 1．(2018·大連雙基測試)給出下列四個命題： ①兩個具有公共終點的向量一定是共線向量； ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。? ③λa＝0(λ為實數)，則λ必為零； ④λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　①錯誤，兩向量是否共線是要看其方向而不是起點或

8、終點；②正確，因為向量既有大小，又有方向，故向量不能比較大小，但向量的模均為實數，故可以比較大小；③錯誤，當a＝0時，不論λ為何值，都有λa＝0；④錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時a與b可以是任意向量． 2.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：選A　由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 平面向量的運算 [過雙基] 1．向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法

9、則 平行四邊形法則 (1)交換律：a＋b＝b＋a； (2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 2．平面向量的坐標運算 (1)平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向

10、量的坐標運算 ①向量加法、減法、數乘向量及向量的模 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)， |a|＝. ②向量坐標的求法 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1．(2018·嘉興測試)在△ABC中，已知M是BC邊的中點，設＝a，＝b，則＝(　　) A.a－b　　　　　　　　 B.a＋b C．a－b D．a

11、＋b 解析：選A?。剑剑剑璪＋a. 2．設D是線段BC的中點，且＋＝4，則(　　) A．＝2 B．＝4 C．＝2 D．＝4 解析：選A　∵D是線段BC的中點， ∴＋＝2， ∵＋＝4， ∴＝2. 3．已知AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　) A．(－1，－1) B．(3,7) C．(1,1) D．(2,4) 解析：選A　由題意可得＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 4．已知A(2,3)，B(4，－3)，且＝3，則點P的坐標為________． 解析：設P(x，y)， ∵A(2,3)，B(4，－

12、3)，且＝3， ∴(x－2，y－3)＝3(2，－6)＝(6，－18)， ∴解得x＝8，y＝－15， ∴點P的坐標為(8，－15)． 答案：(8，－15) 5．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c與向量ka＋b共線，則實數k＝________. 解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)， 因為向量c與向量ka＋b共線， 所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1. 答案：－1 6．設O在△ABC的內部，D為AB的中點，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為________． 解析：∵D為AB的中點

13、，∴＋＝2， ∵＋＋2＝0， ∴＝－， ∴O是CD的中點， ∴S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC. 答案：4 [清易錯] 1．向量坐標不是向量的終點坐標，與向量的始點、終點有關系． 2．數乘向量仍為向量，只是模與方向發(fā)生變化，易誤認為數乘向量為實數． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0. 1．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝(　　) A．(2,2) B．(－2，－2) C．(4,6) D．(－4，－6) 解析：選C?。剑?4,6)． 2．

14、已知向量a，b不共線，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD是(　　) A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形 解析：選A　因為＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b， 所以＝＋＋＝－8a－2b， 所以＝2，即直線AD與BC平行， 而向量與不共線，即直線AB與CD不平行， 故四邊形ABCD是梯形． 3．(2018·河北聯(lián)考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B．(－2，－4) C．(－3，－6) D．(－4，－8) 解析：選D　由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a

15、＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 平面向量的數量積 [過雙基] 1．向量的夾角 定義 圖示 范圍 共線與垂直 已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是a與b的夾角 設θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°?a∥b，θ＝90°?a⊥b 2．平面向量的數量積 定義 設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積，記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何意義 數量積a·b等于a

16、的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3．平面向量數量積的運算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量數量積的有關結論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 　　 1．設向量e1，e2是

17、兩個互相垂直的單位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，則|a＋2b|＝(　　) A．2 B. C．2 D．4 解析：選B　∵向量e1，e2是兩個互相垂直的單位向量， ∴|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝0， ∵a＝2e1－e2，b＝e2， ∴a＋2b＝2e1＋e2， ∴|a＋2b|2＝4e＋4e1·e2＋e＝5， ∴|a＋2b|＝. 2．(2018·云南檢測)設向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數量積等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D　因為a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,

18、3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－， 所以a·b＝－1×＋2×1＝. 3．已知|a|＝1，|b|＝2，a·(a－b)＝3，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D．π 解析：選D　設a與b的夾角為θ，由題意知|a|＝1，|b|＝2， ∵a·(a－b)＝a2－a·b＝12－1×2×cos θ＝3， ∴cos θ＝－1. 又θ∈[0，π]， ∴a與b的夾角為π. 4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為，則|a＋2b|＝________. 解析：∵(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×＋4＝4，∴|a＋

19、2b|＝2. 答案：2 5．(2018·衡水中學檢測)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝2，AC＝1，若＝，則·＝________. 解析：∵＝， ∴·＝(＋)·＝· ＝·＝2， 又∵C＝90°，AB＝2，AC＝1， ∴CB＝，∴·＝. 答案： 6．(2018·東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長為2，＝2，＝(＋)，則·＝________. 解析：如圖，以B為原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系． 則B(0,0)，E，D(2,2)． 由＝(＋)，知F為BC的中點，所以F(1,0)，故＝，＝(－1，－2)， ∴·＝－2－＝－. 答案

20、：－ [清易錯] 1．0與實數0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0. 2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b. 3．在運用向量夾角時，注意其取值范圍為[0，π]． 1．有下列說法： ①向量b在向量a方向上的投影是向量； ②若a·b>0，則a和b的夾角為銳角，若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角； ③(a·b)c＝a(b·c)； ④若a·b＝0，則a＝0或b＝0. 其中正確的說法個數為(　　) A．0 B．3 C．4 D．2 答案：A 2．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a與b的夾角為銳角，則實數λ的取

21、值范圍是________． 解析：由題意可得a·b>0，且a，b不共線， 即解得λ>－5，且λ≠－. 答案：∪ 3．已知向量a，b滿足a＝(2,0)，|b|＝1，若|a＋b|＝，則a與b的夾角是________． 解析：由|a＋b|＝，得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2a·b＋1＝7， ∴a·b＝1， ∴|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1， ∴cos〈a，b〉＝.又〈a，b〉∈[0，π]， ∴a，b的夾角為. 答案： 一、選擇題 1．(2018·常州調研)已知A，B，C三點不共線，且點O滿足＋＋＝0，則下列結論正確的是(　　) A．＝＋　　 B．＝＋

22、 C．＝－ D．＝－－ 解析：選D　∵＋＋＝0， ∴O為△ABC的重心， ∴＝－×(＋)＝－(＋) ＝－(＋＋)＝－(2＋) ＝－－. 2．(2018·合肥質檢)已知O，A，B，C為同一平面內的四個點，若2＋＝0，則向量等于(　　) A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 解析：選C　因為＝－，＝－， 所以2＋＝2(－)＋(－) ＝－2＋＝0， 所以＝2－. 3．已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝，|b|＝2，則|a－b|的值為(　　) A．1 B. C．13 D. 解析：選A　由向量a與b的夾角為30°，且|a|＝，|b|＝2， 可得a

23、·b＝|a|·|b|·cos 30°＝×2×＝3， 所以|a－b|＝＝ ＝＝1. 4．(2018·成都一診)在邊長為1的等邊△ABC中，設＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A．－ B．0 C. D．3 解析：選A　依題意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－. 5．已知非零向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝3，且a與a＋b的夾角為，則|b|＝(　　) A．6 B．3 C．2 D．3 解析：選D　由非零向量a，b滿足a·b＝0，可知兩個向量垂直，由|a|＝3，且a與a＋b的夾角為，說明以向量a，b為鄰邊，a＋b為對角線的平行四邊形是正方形，所以|b|＝

24、3. 6．(2017·青島二模)在平面直角坐標系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，則x＝(　　) A．－2 B．－4 C．－3 D．－1 解析：選D　依題意得b＝2＝(－4,2)，所以2a＋b＝(－2,6)，所以6x＝－2×3＝－6，x＝－1. 7．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內第一象限內一點，且∠AOC＝，且||＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．2 B. C．2 D．4 解析：選A　因為||＝2，∠AOC＝， 所以C(，)， 又＝λ＋μ， 所以(，)＝λ(1,0)

25、＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2. 8.已知函數f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分圖象如圖所示，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則(＋)·(－)的值為(　　) A．－1 B．－ C. D．2 解析：選D　注意到函數f(x)的圖象關于點C對稱，因此C是線段DE的中點，＋＝2. 又－＝＋＝， 且||＝T＝×＝1， 因此(＋)·(－)＝22＝2. 二、填空題 9．(2018·洛陽一模)若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數a的值為________． 解析：∵＝(a－1,3)，＝(－3,4)

26、， 據題意知∥， ∴4(a－1)＝3×(－3)， 即4a＝－5， ∴a＝－. 答案：－ 10．已知?ABCD的對角線AC和BD相交于O，且＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示) 解析：如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 答案：b－a?。璦－b 11．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴ ∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 12．若向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，a＋c＝0，

27、則c在b方向上的投影為________． 解析：∵a＋c＝0， ∴c＝－a＝(－2，－3)， ∴c·b＝8－21＝－13，且|b|＝， ∴c在b方向上的投影為 |c|cos〈c，b〉＝|c|·＝＝－＝－. 答案：－ 三、解答題 13．已知向量a＝(3,0)，b＝(－5,5)，c＝(2，k)． (1)求向量a與b的夾角； (2)若b∥c，求k的值； (3)若b⊥(a＋c)，求k的值． 解：(1)設向量a與b的夾角為θ， ∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)， ∴a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝＝5， ∴cos θ＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π

28、]， ∴θ＝. (2)∵b∥c，∴－5k＝5×2，∴k＝－2. (3)∵a＋c＝(5，k)，又b⊥(a＋c)， ∴b·(a＋c)＝0， ∴－5×5＋5×k＝0， ∴k＝5. 14．在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解：(1)若m⊥n，則m·n＝0. 由向量數量積的坐標公式得sin x－cos x＝0， ∴tan x＝1. (2)∵m與n的夾角為， ∴m·n＝|m|·|n|cos ， 即sin x－cos x＝， ∴sin＝. 又∵x∈， ∴x

29、－∈， ∴x－＝，即x＝. 高考研究課(一) 平面向量的基本運算 考點 考查頻度 考查角度 平面向量的線性運算 5年1考 三角形中的線性運算 平面向量的坐標運算 5年3考 求坐標及待定參數 共線向量定理 5年3考 已知共線求參數值 平面向量的線性運算 [典例]　(1)(2018·濟南模擬)在△ABC中，AB邊的高為CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則＝(　　) A.a－b　　　　　　 B.a－b C.a－b D.a－b (2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝

30、________. [解析]　(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝，CD＝， ∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1. ∴＝＝(－)＝a－b. (2)法一：由＝λ＋μ， 得＝λ·(＋)＋μ·(＋)， 則＋＋＝0， 得＋＋＝0， 得＋＝0. 因為，不共線， 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ＋μ＝. 法二：連接MN并延長交AB的延長線于T， 由已知易得AB＝AT， 則＝＝λ＋μ， 即＝λ＋μ， 因為T，M，N三點共線，所以λ＋μ＝1. 故λ＋μ＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧] (1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利

31、用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．　　 [即時演練] 1．向量e1，e2，a，b在正方形網格中的位置如圖所示，則a－b＝(　　) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：選C　結合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2. 2.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：

32、選A　法一：由題意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝，故選A. 法二：利用坐標法，以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系(圖略)，設正方形的邊長為1，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，∴＝，＝(1,0)，＝(1,1)，則＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝. 平面向量的坐標運算 [典例]　(1)在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) (2)(2018·紹興模擬)已知點M(5，－6)

33、和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點N的坐標為(　　) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) [解析]　(1)由題意，＝2＝2(－)＝2(－3,2)＝(－6,4)，＝－＝(－6,4)－(－4，－3)＝(－2,7)， ∵＝2， ∴＝3＝(－6,21)． (2)＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 設N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以即 [答案]　(1)B　(2)A [方法技巧] 向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．解題過程中要注意方程思想的運用及

34、正確使用運算法則．　　 [即時演練] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝(　　) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 解析：選B　設c＝λ1a＋λ2b，則(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，所以λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b. 2．已知向量a＝(1,1)，點A(3,0)，點B為直線y＝2x上的一個動點．若∥a，則點B的坐標為________． 解析：設B(x,2x)，＝(x－3,2x)． ∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3， ∴B(－3，

35、－6)． 答案：(－3，－6) 共線向量定理及應用 平面向量共線的坐標表示是高考的?？純热?，多以選擇題或填空題的形式出現，難度較小，屬低檔題.,常見的命題角度有： (1)利用向量共線求參數或點的坐標； (2)利用向量共線解決三點共線問題. 角度一：利用向量共線求參數或點的坐標 1．若向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實數x＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．6 解析：選B　∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3. 2．已知梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標

36、為________． 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.設點D的坐標為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點D的坐標為(2,4)． 答案：(2,4) 3．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，且(a＋c)∥(a－b)，則m＝________. 解析：因為a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)， 所以a＋c＝(1＋m，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)． 又(a＋c)∥(a－b)， 所以(1＋m)(m－5)＋(m＋3)＝0

37、，即m2－3m－2＝0， 解得m＝或m＝. 答案： [方法技巧] 1．利用兩向量共線求參數 如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． 2．利用兩向量共線的條件求向量坐標 一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．　　 角度二：利用向量共線解決三點共線問題 4．(2018·南陽五校聯(lián)考)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角

38、形，則k＝________. 解析：若點A，B，C不能構成三角形，則向量，共線， ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. 答案：1 5．設兩個非零向量a與b不共線，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線． 證明：因為＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝5(a＋b)＝5. 所以，共線． 又它們有公共點B，所以A，B，D三點共線． [方法技巧] 三點共線問題的求解策略 　　解決點共線或向量

39、共線問題時，要結合向量共線定理進行，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩個向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．　　 1．(2017·全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解析：選A　以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系， 則A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直線BD的方程為2x＋y－2＝0，點C到直線BD的距離為＝，所以圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝. 因為P在圓C上，所以

40、P. 又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)， 所以 λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，當且僅當θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3. 2．(2015·全國卷Ⅰ)設D為△ABC所在平面內一點，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：選A?。剑剑剑?－)＝－＝－＋. 3．(2015·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：選A　法一：設C(x

41、，y)， 則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以 從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 4．(2016·全國卷Ⅰ)設向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2， ∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2. 答案：－2 5．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝

42、________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6. 答案：－6 6．(2015·全國卷Ⅱ)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： 7．(2014·全國卷Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為________． 解析：由＝(＋)，可得O為BC的中點，故BC為圓O的直徑，所以與的夾角為90°. 答案：90° 一、選擇題 1.(2018·長春模擬)如圖所示，

43、下列結論正確的是(　　) ①＝a＋b； ②＝a－b； ③＝a－b； ④＝a＋b. A．①②　　　　　　　　 B．③④ C．①③ D．②④ 解析：選C　①根據向量的加法法則，得＝a＋b，故①正確；②根據向量的減法法則，得＝a－b，故②錯誤；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正確；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④錯誤，故選C. 2．(2018·長沙一模)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則k的值是(　　) A．－ B. C. D. 解析：選A?。剑?4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)． ∵A，B，C三點共線， ∴

44、，共線， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 解得k＝－. 3．(2018·嘉興調研)已知點O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內角A等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：選A　由＋＋＝0得，＋＝，由O為△ABC外接圓的圓心，結合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°. 4．若＝a，＝b，a與b不共線，則∠AOB平分線上的向量為(　　) A.＋ B. C. D．λ，λ由確定 解析：選D　以OM為對角線，以，方向為鄰邊作平行四邊形OCMD， ∵OM平分∠AOB， ∴平行四邊形OC

45、MD是菱形． 設OC＝OD＝λ， 則＝λ，＝λ， ∴＝＋＝λ，且λ由確定． 5．設D，E，F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與 (　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：選A　由題意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋(＋－) ＝＋＝－， 故＋＋與反向平行． 6.如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　利用三角形的性質，過重心作平行于底邊BC的直線，易

46、得x＝y(tǒng)＝，則＝. 7．(2018·蘭州模擬)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，則銳角θ＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因為a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sin θ＝±，故銳角θ＝. 8．已知△ABC是邊長為4的正三角形，D，P是△ABC內的兩點，且滿足＝(＋)，＝＋，則△APD的面積為(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　法一：取BC的中點E，連接AE，由于△ABC是邊長為4的正三角形，則AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以點D是AE的中點，AD＝.?。?，以AD，AF為鄰

47、邊作平行四邊形，可知＝＋＝＋.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面積為××＝. 法二：以A為原點，以BC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系． ∵等邊三角形ABC的邊長為4， ∴B(－2，－2)，C(2，－2)， 由題知＝(＋)＝[(－2，－2)＋(2，－2)]＝(0，－)， ＝＋＝(0，－)＋(4,0)＝， ∴△ADP的面積為S＝||·| |＝××＝. 二、填空題 9．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝5e1，＝3e2，則＝________.(用e1，e2表示) 解析：在矩形ABCD中，因為O是對角線的交點，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3

48、e2)＝e1＋e2. 答案：e1＋e2 10．已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 解析：依題意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0. 答案：0 11．(2018·貴陽模擬)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，則向量a的坐標是________． 解析：設a＝(x，y)， ∵平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b， ∴＝1，且x－y＝0，解得x＝y(tǒng)＝±. ∴a＝或. 答案：或 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，

49、F分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動(如圖所示)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________． 解析：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F， 設P(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)， ∵＝λ＋μ， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ ＝， ∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋， ∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)， ∵0

50、°≤α≤90°， ∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－≤sin(α－45°)≤， ∴－1≤sin(α－45°)≤1， ∴2λ－μ的取值范圍是[－1,1]． 答案：[－1,1] 三、解答題 13.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F三點共線． 解：(1)延長AD到G，使＝， 連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)

51、可知＝， 又因為，有公共點B， 所以B，E，F三點共線． 14．(2018·鄭州模擬)平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k的值； (2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標． 解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標為(3，－1)或(5,3)． 15.如圖，在△O

52、AB中，＝，＝，AD與BC交于點M，設＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設＝p，＝q，求證：＋＝1. 解：(1)設＝xa＋yb， 由＝，得＝4x＋yb， ∵C，M，B三點共線， ∴4x＋y＝1.① 由＝，得＝xa＋2y， ∵A，M，D三點共線， ∴x＋2y＝1，② 聯(lián)立①②得，x＝，y＝. ∴＝a＋b. (2)證明：∵＝p，＝q， ∴＝，＝， ∴＝·＋·. ∵E，M，F三點共線， ∴＋＝1. 1．已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數x，y滿足＋x＋y＝0，設△ABC，

53、△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記＝λ1，＝λ2，＝λ3，則λ2·λ3取最大值時，3x＋y的值為(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D　由題意可知λ1＋λ2＋λ3＝1. ∵P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC， ∴λ1＝， ∴λ2＋λ3＝， ∴λ2λ3≤2＝， 當且僅當λ2＝λ3＝時取等號， ∴λ2·λ3取最大值時，P為EF的中點． 延長AP交BC于M，則M為BC的中點， ∴PA＝PM， ∴＝－＝－(＋)， 又∵＋x＋y＝0， ∴x＝y(tǒng)＝， ∴3x＋y＝2. 2.如圖，在Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點，

54、且滿足＝，點M，N在過點P的直線上，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為(　　) A．2 B. C．3 D. 解析：選B　∵＝λ，＝μ (λ>0，μ>0)， ∴＝＋＝(1－λ). ∵M，P，N三點共線， ∴存在實數k，使＝k＝k(－)＝－kλ＋kμ. ∵＝，∴＝＝－. ∴＋＝＋＝(1－λ)， ∴ 由②得，k＝代入①得，－＝1－λ， ∴μ＝， ∴λ＋2μ＝λ＋. 設f(λ)＝λ＋，λ>0， ∴f′(λ)＝，令f′(λ)＝0，得λ＝0或λ＝. 當λ∈時，f′(λ)<0，當λ∈時，f′(λ)>0. ∴λ＝時，f(λ)取極小值，也是最小值， 又f＝

55、，∴f(λ)的最小值為， 即λ＋2μ的最小值為. 高考研究課(二) 平面向量的數量積及應用 [全國卷5年命題分析] 考點 考查頻度 考查角度 數量積的運算 5年5考 求數量積及由數量積求參數 向量的模 5年2考 求模及由模的關系求參數 向量夾角及垂直 5年4考 由向量垂直求參數，由坐標求向量夾角 平面向量的數量積的運算 [典例]　(1)已知等邊△ABC的邊長為2，若＝3，＝，則·等于(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－ C．2 D. (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為______；·的最大值為_____

56、___． [解析]　(1)如圖所示，· ＝(－)·(＋) ＝· ＝· ＝2－2＝×4－×4＝－2. (2)法一： 如圖，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1， ·＝(＋)· ＝·＋·＝· ＝||·||≤||2＝1，故·的最大值為1. 法二：以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，設E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因為＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 法三： 由圖知，無論E

57、點在哪個位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴·＝||·1＝1. 當E運動到B點時，在方向上的投影最大，即為DC＝1， ∴(·)max＝||·1＝1. [答案]　(1)A　(2)1　1 [方法技巧] 平面向量數量積的2種運算方法 方法 運用提示 適用題型 定義法 當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題 坐標法 當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2 適用于已知相應向量的坐標求解數量積的有關計算問題 [即時演練

58、] 1．(2016·天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B. C. D. 解析：選B　如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝， ＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝. 2．(2018·豫東名校聯(lián)考)如圖，BC是單位圓A的一條直徑，F是線段AB上的點，且＝3，若DE是圓A中繞圓心A運動的一條直徑，則·的值是___

59、_____． 解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－1＝－. 答案：－ 平面向量數量積的性質 平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純热荩}型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題. 常見的命題探究角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夾角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模 1．(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4. 又≤ ＝

60、＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值為2. 法二：設a，b的夾角為θ. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令y＝＋， 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值為4，最大值為2. 答案：4　2 2．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，設向量c滿足(2a－c)·(3b－c)＝0，則|c|的最大值為________． 解析：設c＝(x，y)，2a－c＝(2－x,2－y)，3b－c＝(－3－x,3－y)，則由題意得(2－x)·(－3－x)＋(

61、2－y)·(3－y)＝0，即2＋2＝，表示以為圓心，為半徑的圓，所以|c|的最大值為. 答案： [方法技巧] 利用數量積求解長度問題的處理方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. [提醒]　與模有關的最值或范圍問題要注意抓住模的幾何意義及數形結合思想的應用．　　 角度二：平面向量的夾角 3．已知單位向量e1與e2的夾角為60°，則|e1－2e2|＝________. 解析：∵單位向量e1與e2的夾角為60°， ∴|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝， ∴|e1－2e2

62、|＝＝＝. 答案： 4．(2018·洛陽期末)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，求實數λ的取值范圍． 解：∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角， ∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－. 當a與a＋λb共線時， 存在實數m，使a＋λb＝ma， 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴解得λ＝0. 即當λ＝0時，a與a＋λb共線， 綜上可知，實數λ的取值范圍為∪(0，＋∞)． [方法技巧] 向量夾角問題的2個注意點 (1)切記向量夾角的范圍是[0，π]． (2)a

63、與b夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線，a與b夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線．　　 角度三：平面向量的垂直 5．(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是________． 解析：因為＝， 故＝，解得λ＝. 答案： 6．(2016·山東高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實數t的值為________． 解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)， ∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0， 即t＋6＋t＋4＝0， 解得t

64、＝－5. 答案：－5 [方法技巧] 兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.　　 平面向量與三角函數的綜合 [典例]　(2018·懷化模擬)已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C. (1)求角C的大小； (2)若sin A，sin C，sin B成等差數列，且·(－)＝18，求c. [解]　(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)， ∵在△ABC中，A＋B＝π－C,0

65、 ∴sin(A＋B)＝sin C， ∴m·n＝sin C， 又m·n＝sin 2C， ∴sin 2C＝sin C，cos C＝，C＝. (2)由sin A，sin C，sin B成等差數列， 可得2sin C＝sin A＋sin B， 由正弦定理得2c＝a＋b. ∵·(－)＝18， ∴·＝18， 即abcos C＝18，ab＝36. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝(a＋b)2－3ab， ∴c2＝4c2－3×36，c2＝36， ∴c＝6. [方法技巧] 平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用

66、向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解． (2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等．　　 [即時演練] 1．(2018·云南檢測)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(t，x)，若函數f(x)＝a·b在區(qū)間上是增函數，則實數t的取值范圍是________． 解析：由f(x)＝a·b＝tsin x＋x，得f′(x)＝tcos x＋1， 因為函數f(x)在區(qū)間上是增函數， 所以f′(x)≥0在區(qū)間上恒成立， 即tcos x＋1≥0恒成立， 即t≥－在上恒成立， 所以t≥max，所以t≥－1. 答案：[－1，＋∞) 2．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． (1)若x＝，求向量a，c的夾角； (2)當x∈時，求函數f(x)＝2a·b＋1的最小值． 解：(1)當x＝時，cos〈a，c〉＝ ＝ ＝－cos x＝－cos ＝－. 又∵0≤〈a，c〉≤π， ∴〈a，c〉＝，即向量a，c的