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(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1

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《(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算與運(yùn)算律.3.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積在判斷向量共線(xiàn)與垂直中的應(yīng)用. 知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的夾角 思考 〈a,b〉與〈b,a〉相等嗎? 答案 〈a,b〉與〈b,a〉分別表示向量a,b與b,a的夾角,根據(jù)空間向量夾角的定義知〈a,b〉與〈b,a〉相等. 梳理 (1)如圖所示,已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作〈a,b〉. (2)a,b為非零向量,〈a,b〉=〈b,a〉,a與b的夾角的范圍是[0,π]

2、,其中當(dāng)〈a,b〉=0時(shí),a與b方向相同;當(dāng)〈a,b〉=π時(shí),a與b方向相反;當(dāng)〈a,b〉=時(shí),a與b互相垂直.反之,若a∥b,則〈a,b〉=0或π;若a⊥b,則〈a,b〉=. 知識(shí)點(diǎn)二 數(shù)量積的概念及運(yùn)算律 1.已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的數(shù) 量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì) (1)a⊥b?a·b=0. (2)|a|2=a·a,|a|=. (3)cos〈a,b〉=. 3.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)(λa)·b=λ(a·b). (2)a·b=b·a(交換律). (3)a·(b+c

3、)=a·b+a·c(分配律). 特別提醒:不滿(mǎn)足結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c). (1)對(duì)于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(×) (2)對(duì)于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).(×) (3)若非零向量a,b為共線(xiàn)且同向的向量,則a·b=|a||b|.(√) (4)對(duì)任意向量a,b,滿(mǎn)足|a·b|≤|a||b|.(√) 類(lèi)型一 數(shù)量積的計(jì)算 例1 如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),求: (1)·; (2)·; (3)·; (4)·. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 用定義求數(shù)量積 解

4、 (1)·=· =||||·cos〈,〉 =cos 60°=. (2)·=·=||2=. (3)·=· =||·||cos〈,〉 =cos 120°=-. (4)·=·(-) =·-· =||||cos〈,〉-||||cos〈,〉 =cos 60°-cos 60°=0. 反思與感悟 (1)已知a,b的模及a與b的夾角,直接代入數(shù)量積公式計(jì)算. (2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積,可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開(kāi),再利用a·a=|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算. 跟蹤訓(xùn)練1 已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側(cè)面AB1

5、的中心,F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn).試計(jì)算: (1)·;(2)·;(3)·. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 用定義求數(shù)量積 解 如圖,設(shè)=a,=b, =c,則|a|=|c|=2,|b|=4, a·b=b·c=c·a=0. (1)· =b·=|b|2=42=16. (2)·=·(a+c)=|c|2-|a|2 =22-22=0. (3)·=· =(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2. 類(lèi)型二 利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題 例2 (1)已知空間四邊形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,那么AD與BC的位置關(guān)系 為_(kāi)______.(填“平行”或“垂直”) 考點(diǎn) 空間

6、向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 垂直 解析 ∵·=(+)·(-) =·+·-2-· =·(--)=·=0, ∴AD與BC垂直. (2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點(diǎn),G為CC1的中點(diǎn),求證:A1O⊥平面GBD. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 證明 設(shè)=a,=b,=c, 則a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|. ∵=+=+(+) =c+a+b, =-=b-a, =+=(+)+ =a+b-c ∴·=·(b-a) =c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·

7、a =(b2-a2) =(|b|2-|a|2)=0. 于是⊥,即A1O⊥BD. 同理可證⊥,即A1O⊥OG. 又∵OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面CBD, ∴A1O⊥平面GBD. 反思與感悟 (1)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法 證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)鍵是確定直線(xiàn)的方向向量,根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)判斷兩直線(xiàn)是否垂直. (2)證明與空間向量a,b,c有關(guān)的向量m,n垂直的方法 先用向量a,b,c表示向量m,n,再判斷向量m,n的數(shù)量積是否為0. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖,在空間四邊形OACB中,OB=OC,AB=AC,求證:OA⊥BC. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量

8、積的綜合應(yīng)用 證明 因?yàn)镺B=OC,AB=AC,OA=OA, 所以△OAC≌△OAB, 所以∠AOC=∠AOB. 又·=·(-)=·-· =||·||cos∠AOC-||·||cos∠AOB=0, 所以⊥,即OA⊥BC. 類(lèi)型三 利用數(shù)量積解決空間角或距離問(wèn)題 命題角度1 解決角度問(wèn)題 例3 在空間四邊形OABC中,連接AC,OB,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量與所成角的余弦值. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求角 解 ∵=-, ∴·=·-· =||||·cos〈,〉-||||·cos〈,〉 =8×

9、4×cos135°-8×6×cos120°=24-16, ∴cos〈,〉= ==. 反思與感悟 求兩個(gè)空間向量a,b夾角的方法類(lèi)同平面內(nèi)兩向量夾角的求法,利用公式cos〈a,b〉=,在具體的幾何體中求兩向量的夾角時(shí),可把其中一個(gè)向量的起點(diǎn)平移至與另一個(gè)向量的起點(diǎn)重合,轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問(wèn)題. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線(xiàn)A1B與AC所成的角. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求解 解 不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1, 設(shè)=a,=b,=c, 則|a|=|b|=|c|=1, a·b=b·c=c·a=0, =a-c,=a+b.

10、 ∴·=(a-c)·(a+b) =|a|2+a·b-a·c-b·c=1, 而||=||=, ∴cos〈,〉==, ∵〈,〉∈(0°,180°), ∴〈,〉=60°. 因此,異面直線(xiàn)A1B與AC所成的角為60°. 命題角度2 求空間中的兩點(diǎn)間的距離 例4 如圖,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點(diǎn),求EF的長(zhǎng). 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 解 設(shè)=a,=b,=c. 由題意,知|a|=|b|=|c|=2, 且〈a,b〉=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°. 因?yàn)椋剑?

11、=-++ =-a+b+c, 所以||2=2 =a2+b2+c2+2 =×22+×22+22+2××2×2cos 60° =1+1+4-1=5, 所以||=,即EF=. 反思與感悟 求解距離問(wèn)題時(shí),先選擇以?xún)牲c(diǎn)為端點(diǎn)的向量,將此向量表示為幾個(gè)向量和的形式,求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|=求解即可. 跟蹤訓(xùn)練4 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的長(zhǎng). 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 解 因?yàn)椋剑? 所以=(++)2 =

12、2+2++2(·+·+·). 因?yàn)椤螧AD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°, 所以=1+4+9+2×(1×3×cos 60°+2×3×cos 60°)=23. 因?yàn)椋絴|2, 所以||2=23, 則||=,即AC1=. 1.對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,下列說(shuō)法正確的是(  ) A.若a·b=0,則a=0或b=0 B.若λa=0,則λ=0或a=0 C.若a2=b2,則a=b或a=-b D.若a·b=a·c,則b=c 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 B 解析 結(jié)合向量的運(yùn)算,只有B正確. 2.已知向量a,b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不相等

13、的非零向量,非零向量c是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量,則“c·a=0且c·b=0”是“l(fā)⊥α”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 若a∥b,則不一定得到l⊥α,反之成立. 3.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°,則|2a-3b|等于(  ) A. B.97 C. D.61 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 答案 C 解析 |2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2 =4×22-12×2×3×cos 60°+9×32=6

14、1, ∴|2a-3b|=. 4.已知a,b為兩個(gè)非零空間向量,若|a|=2,|b|=,a·b=-,則〈a,b〉=________. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求角 答案  解析 cos〈a,b〉==-,∵〈a,b〉∈[0,π], ∴〈a,b〉=. 5.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 答案  解析 ||2=2=(++)2 =2+2+2+2(·+·+·) =12+22+12+2×(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,

15、 ∴||=,∴EF的長(zhǎng)為. 1.空間向量運(yùn)算的兩種方法 (1)利用定義:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算. (2)利用圖形:計(jì)算兩個(gè)數(shù)量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找?jiàn)A角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算. 2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟 (1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式. (2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積. (3)代入a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解. 一、選擇題 1.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,則a+b與a-b之間的關(guān)系是(  ) A.垂直

16、B.共線(xiàn) C.不垂直 D.以上都可能 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念與性質(zhì) 題點(diǎn) 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 A 解析 由題意知|a|=|b|, ∵(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0, ∴(a+b)⊥(a-b). 2.已知向量a,b滿(mǎn)足條件:|a|=2,|b|=,且a與2b-a互相垂直,則〈a,b〉等于(  ) A.30°B.45°C.60°D.90° 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求角 答案 B 解析 根據(jù)a·(2b-a)=0, 即2a·b=|a|2=4,解得a·b=2, 又cos〈a,b〉===, 又〈a,b〉∈[0°,180°], ∴〈a,

17、b〉=45°,故選B. 3.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),則(  ) A.m∥n B.m⊥n C.m不平行于n,m也不垂直于n D.以上三種情況都有可能 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 B 4.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,則△ABC一定是(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 用定義求數(shù)量積 答案 B 解析 由(+-2)·(-) =(-+-)·(-) =(+)·(-) =||2

18、-||2=0,得||=||, 故△ABC為等腰三角形. 5.已知a,b,c是兩兩垂直的單位向量,則|a-2b+3c|等于(  ) A.14B.C.4D.2 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 答案 B 解析 ∵|a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·b+6a·c-12b·c=14, ∴|a-2b+3c|=. 6.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是(  ) A.· B.· C.· D.· 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 D 解析 選項(xiàng)A,當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形

19、時(shí),可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,所以AD1⊥B1C,此時(shí)有·=0; 選項(xiàng)B,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí),可得AC⊥BD, 又AC⊥BB1,BD∩BB1=B, 可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1, 此時(shí)·=0; 選項(xiàng)C,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1, 所以AB⊥AD1,所以·=0,故選D. 7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題: ①(++)2=32;②·(-)=0;③與的夾角為60°. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(  ) A.1B.2C.3D.0 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 B 解析 ①②正確;∵

20、與的夾角為120°, ∴③不正確,故選B. 二、選擇題 8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則·=________. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 a2 解析 如圖,=-, =-=-, ∴·=(-)·(-) =·-·-·+||2 =0-0-0+a2=a2. 9.已知空間向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,若m⊥n,則λ的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 - 解析 由題意知a·b=|a||b|cos〈a,b〉=3×5×=-15

21、, 由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0, 即|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0. 解得λ=-. 10.已知a,b是空間兩個(gè)向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,則cos〈a,b〉=________. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求角 答案  解析 將|a-b|=化為(a-b)2=7,求得a·b=, 再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉求得cos〈a,b〉=. 11.已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|=________. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng)

22、 答案  解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2 =1+6×cos60°+9=13, ∴|a+3b|=. 三、解答題 12.在平行六面體ABCD-EFGH中,已知M,N,R分別是AB,AD,AE上的點(diǎn),且AM=MB,AN=ND,AR=2RE,求平面MNR分對(duì)角線(xiàn)AG所得線(xiàn)段AP與PG的比. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 解 如圖,設(shè)=m, 因?yàn)椋剑? =2+3+, 所以=2m+3m+ m, 由于P,M,R,N共面,所以2m+3m+m=1, 得m=.即=,=. 13.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC

23、=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分別為棱AB,BB′的中點(diǎn). (1)求證:CE⊥A′D; (2)求異面直線(xiàn)CE與AC′所成角的余弦值. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求角 (1)證明 設(shè)=a,=b,=c, 根據(jù)題意得|a|=|b|=|c|, 且a·b=b·c=c·a=0, ∴=b+c, =-c+b-a, ∴·=-c2+b2=0, ∴⊥,即CE⊥A′D. (2)∵=-a+c,||=|a|,||=|a|, ·=(-a+c)·=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==, 即異面直線(xiàn)CE與AC′所成角的余弦值為. 四、探究與拓展 14.等邊△AB

24、C中,P在線(xiàn)段AB上,且=λ,若·=·,則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點(diǎn) 空間向量數(shù)量積定義 答案 1- 解析 如圖,=-+=-+λ, 故·=(λ-)· =λ||2-||||cos A ·=(-λ)·(1-λ)=λ(λ-1)||2, 設(shè)||=a(a>0),則a2λ-a2=λ(λ-1)a2, 解得λ=1-. 15.如圖所示,已知線(xiàn)段AB在平面α內(nèi),線(xiàn)段AC⊥α,線(xiàn)段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,線(xiàn)段BD與α所成的角為30°,求CD的長(zhǎng). 考點(diǎn) 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn) 利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng) 解 由AC⊥α,可知AC⊥AB, 過(guò)點(diǎn)D作DD1⊥α,D1為垂足,連接BD1, 則∠DBD1為BD與α所成的角,即∠DBD1=30°, 所以∠BDD1=60°, 因?yàn)锳C⊥α,DD1⊥α, 所以AC∥DD1, 所以〈,〉=60°, 所以〈,〉=120°. 又=++, 所以||2=(++)2 =||2+||2+||2+2·+2·+2·. 因?yàn)锽D⊥AB,AC⊥AB, 所以·=0,·=0. 故||2=||2+||2+||2+2· =242+72+242+2×24×24×cos 120°=625, 所以||=25. 15

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