8、<1時,解集為;
當a=1時,解集為?;
當a>1時,解集為.
規(guī)律方法 1.利用f′(x)≥0(f′(x)≤0)求函數單調區(qū)間時,常轉化為含參的一元一次不等式或一元二次不等式的求解問題.
2.含有參數的不等式的求解,往往需要對參數進行分類討論.
(1)若二次項系數為常數,首先確定二次項系數是否為正數,再考慮分解因式,對參數進行分類討論,若不易分解因式,則可依據判別式符號進行分類討論;
(2)若二次項系數為參數,則應先考慮二次項系數是否為零,確定不等式是不是二次不等式,然后再討論二次項系數不為零的情形,以便確定解集的形式;
(3)對方程的根進行討論,比較大小,以便寫出解集.
【
9、訓練1】 (1)求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
(2)解關于x的不等式kx2-2x+k<0(k∈R).
解 (1)∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
得x1=-,x2=.
①當a>0時,-<,解集為;
②當a=0時,x2>0,解集為{x|x∈R,且x≠0};
③當a<0時,->,解集為.
綜上所述,當a>0時,不等式的解集為
;
當a=0時,不等式的解集為{x|x∈R,且x≠0};
當a<0時,不等式的解集為.
(2)①當k=0時,不等式的解為x>0.
②當k>0時,若
10、Δ=4-4k2>0,即0<k<1時,
不等式的解為<x<;
若Δ≤0,即k≥1時,不等式無解.
③當k<0時,若Δ=4-4k2>0,即-1<k<0時,不等式的解為x<或x>;
若Δ<0,即k<-1時,不等式的解集為R;
若Δ=0,即k=-1時,不等式的解集為{x|x≠-1}.
綜上所述,k≥1時,不等式的解集為?;
0<k<1時,不等式的解集為
;
k=0時,不等式的解集為{x|x>0};
當-1<k<0時,不等式的解集為
;
k=-1時,不等式的解集為{x|x≠-1};
k<-1時,不等式的解集為R.
考點三 三個二次的關系
【例3】 已知函數f(x)=2x2+
11、bx+c(b,c∈R)的值域為[0,+∞),若關于x的不等式f(x)
12、次函數圖象與x軸交點的橫坐標.(2)若x1,x2為ax2+bx+c=0(a≠0)兩根,則|x1-x2|====.
考點四 一元二次不等式的應用
【例4】 某商品每件成本價為80元,售價為100元,每天售出100件.若售價降低x成(1成=10%),售出商品數量就增加x成.要求售價不能低于成本價.
(1)設該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數關系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域;
(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元,求x的取值范圍.
解 (1)由題意得y=100·100.
因為售價不能低于成本價,所以100-80≥0.
即x≤2,
所以y=f(x)=40(10-
13、x)(25+4x),
定義域為[0,2].
(2)由題意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,
化簡得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
所以x的取值范圍是.
規(guī)律方法 求解不等式應用題的四個步驟
(1)閱讀理解,認真審題,把握問題中的關鍵量,找準不等關系.
(2)引進數學符號,將文字信息轉化為符號語言,用不等式表示不等關系,建立相應的數學模型.
(3)解不等式,得出數學結論,要注意數學模型中自變量的實際意義.
(4)回歸實際問題,將數學結論還原為實際問題的結果.
【訓練2】 甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品(生產條件要求1≤x≤10),每小時可獲得的
14、利潤是100(5x+1-)元.
(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3 000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產速度?并求最大利潤.
解 (1)根據題意得
200(5x+1-)≥3 000,
整理得5x-14-≥0,
即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
即要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3 000元,x的取值范圍是[3,10].
(2)設利潤為y元,則
y=·100
=9×104
=9×104,
故當x=6時,ymax=457 500元.
即甲廠以6千克/小時的生產速度
15、生產900千克該產品時獲得的利潤最大,最大利潤為457 500元.
一、必做題
1.(教材改編)不等式-3x2+5x-4>0的解集為________.
解析 原不等式變形為3x2-5x+4<0.
因為Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,
所以3x2-5x+4=0無解.
由函數y=3x2-5x+4的圖象可知3x2-5x+4<0的解集為?.
答案 ?
2.(教材改編)不等式≤0的解集為________.
解析 原不等式等價于
即即-
16、析 由題意知a=0時,滿足條件.
當a≠0時,由
得00)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=________.
解析 由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)(x-4a)<0,因為a>0
17、,
所以不等式的解集為(-2a,4a),
即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,
得4a-(-2a)=15,解得a=.
答案
6.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,則不等式x2-bx-a<0的解集是________.
解析 由題意知-,-是方程ax2-bx-1=0的根,
所以由根與系數的關系得-+=,-×=-.解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即為x2-5x+6<0,解集為(2,3).
答案 (2,3)
7.某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元,預測六月份銷售額為500萬元,七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增x%,九
18、、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等,若一月份至十月份銷售總額至少達7 000萬元,則x的最小值是________.
解析 由題意得,
3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,
化簡得(x%)2+3·x%-0.64≥0,
解得x%≥0.2,若x%≤-3.2(舍去).∴x≥20,即x的最小值為20.
答案 20
8.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,則a的值為________
解析 若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,則x2-2ax+a=-1有兩個相等的實根,所以Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=.
答案
19、
9.已知f(x)=則不等式f(x2-x+1)<12的解集是________.
解析 由題意得當x≥0時,f(x)≥0,且f(x)單調遞增;當x<0時,f(x)<0,且f(x)單調遞增,因為02+0=-02+0,所以f(x)在R上單調遞增,又f(3)=12,所以
f(x2-x+1)<12?f(x2-x+1)
20、,得<0,
即(ax-2)(x-1)<0.
當=1,即a=2時,解集為?;
當>1,即02時,解集為;
當a=0時,解集為{x|x>1};
當a<0時,解集為.
二、選做題
11.解關于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).
解 原不等式可化為(ax-1)(x-2)<0.
(1)當a>0時,原不等式可以化為a(x-2)<0,根據不等式的性質,這個不等式等價于(x-2)·<0.因為方程(x-2)=0的兩個根分別是2,,所以當0<a<時,2<,則原不等式的解集是;當a=時,原不等式的解集是?;
當a>時,<2,則原不等式的解集
21、是.
(2)當a=0時,原不等式為-(x-2)<0,解得x>2,
即原不等式的解集是{x|x>2}.
(3)當a<0時,原不等式可以化為a(x-2)<0,
根據不等式的性質,這個不等式等價于(x-2)·>0,
由于<2,故原不等式的解集是.
綜上所述,當a<0時,不等式的解集為;
當a=0時,不等式的解集為{x|x>2};當0<a<時,不等式的解集為;當a=時,不等式的解集為?;當a>時,不等式的解集為.
12.(揚州市2018屆高三上學期期中)函數f(x)=log3(x2+2x-8)的定義域為A,函數g(x)=x2+(m+1)x+m.
(1)若m=-4時,g(x)≤0的解集為B,求A∩B;
(2)若存在x∈使得不等式g(x)≤-1成立,求實數m的取值范圍.
解 (1)由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,則A=(-∞,-4)∪(2,+∞),
若m=-4,g(x)=x2-3x-4,由x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4,則B=[-1,4],所以A∩B=(2,4].
(2)存在x∈使得不等式x2+(m+1)x+m≤-1成立,即存在x∈,使得不等式-m≥成立,所以-m≥,
因為=x+=x+1+-1≥1,當且僅當x+1=1,即x=0時取得等號,所以-m≥1,解得m≤-1.
即實數m的取值范圍是(-∞,-1].
11