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(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 理 新人教A版

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1、第1講 直線與圓 [做真題] 題型一 圓的方程 1.(2016·高考全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.-       B.- C. D.2 解析:選A.由題可知,圓心為(1,4),結(jié)合題意得=1,解得a=-. 2.(2015·高考全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓+=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析:由題意知a=4,b=2,上、下頂點的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,-2),右頂點的坐標(biāo)為(4,0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2),(0,-2),(4,0)三點

2、.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-m)2+y2=r2(0<m<4,r>0),則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-)2+y2=. 答案:(x-)2+y2= 3.(2018·高考全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)

3、+(x2+1)=. 由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則 解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 題型二 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1.(2018·高考全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(  ) A.[2,6]         B.[4,8] C.[

4、,3] D.[2,3] 解析:選A.圓心(2,0)到直線的距離d==2,所以點P到直線的距離d1∈[,3].根據(jù)直線的方程可知A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以△ABP的面積S=|AB|d1=d1.因為d1∈[,3],所以S∈[2,6],即△ABP面積的取值范圍是[2,6]. 2.(2015·高考全國卷Ⅱ)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|=(  ) A.2 B.8 C.4 D.10 解析:選C.設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則 解得 所以圓的方程為x2+y2-2x

5、+4y-20=0. 令x=0,得y=-2+2或y=-2-2, 所以M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),所以|MN|=4,故選C. 3.(2016·高考全國卷Ⅲ)已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=2,則|CD|=________. 解析:設(shè)圓心到直線l:mx+y+3m-=0的距離為d,則弦長|AB|=2=2,得d=3,即=3,解得m=-,則直線l:x-y+6=0,數(shù)形結(jié)合可得|CD|==4. 答案:4 [明考情] 1.近兩年圓的方程成為高考全國卷命題

6、的熱點,需重點關(guān)注.此類試題難度中等偏下,多以選擇題或填空題形式考查. 2.直線與圓的方程偶爾單獨命題,單獨命題時有一定的深度,有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置,難度較大,對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上. 直線的方程 [考法全練] 1.若平面內(nèi)三點A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,則a=(  ) A.1±或0 B.或0 C. D.或0 解析:選A.因為平面內(nèi)三點A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,所以kAB=kAC,即=,即a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1±.故選A. 2.若直線mx+2y+

7、m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行,則m的值為(  ) A.7 B.0或7 C.0 D.4 解析:選B.因為直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行,所以m(m-1)=3m×2,所以m=0或7,經(jīng)檢驗,都符合題意.故選B. 3.已知點A(1,2),B(2,11),若直線y=x+1(m≠0)與線段AB相交,則實數(shù)m的取值范圍是(  ) A.[-2,0)∪[3,+∞) B.(-∞,-1]∪(0,6] C.[-2,-1]∪[3,6] D.[-2,0)∪(0,6] 解析:選C.由題意得,兩點A(1,2),B(2,11)分布在直線y=x+1(m≠0)的

8、兩側(cè)(或其中一點在直線上),所以≤0,解得-2≤m≤-1或3≤m≤6,故選C. 4.已知直線l過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點,且點P(0,4)到直線l的距離為2,則直線l的方程為__________________. 解析:由得所以直線l1與l2的交點為(1,2).顯然直線x=1不符合,即所求直線的斜率存在,設(shè)所求直線的方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,因為P(0,4)到直線l的距離為2,所以=2,所以k=0或k=.所以直線l的方程為y=2或4x-3y+2=0. 答案:y=2或4x-3y+2=0 5.(一題多解)已知直線l:x-y-1

9、=0,l1:2x-y-2=0.若直線l2與l1關(guān)于直線l對稱,則直線l2的方程是________. 解析:法一:l1與l2關(guān)于l對稱,則l1上任意一點關(guān)于l的對稱點都在l2上,故l與l1的交點(1,0)在l2上. 又易知(0,-2)為l1上的一點,設(shè)其關(guān)于l的對稱點為(x,y),則 ,解得 即(1,0),(-1,-1)為l2上兩點,故可得l2的方程為x-2y-1=0. 法二:設(shè)l2上任一點為(x,y),其關(guān)于l的對稱點為(x1,y1),則由對稱性可知 解得 因為(x1,y1)在l1上, 所以2(y+1)-(x-1)-2=0,即l2的方程為x-2y-1=0. 答案:x-2y

10、-1=0 (1)兩直線的位置關(guān)系問題的解題策略 求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時,主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù).若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線的一般式方程判斷. (2)軸對稱問題的兩種類型及求解方法 點關(guān)于 直線的 對稱 若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,則線段P1P2的中點在對稱軸l上,而且連接P1,P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2) 直線關(guān) 于直線 的對稱

11、 有兩種情況,一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行.一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決 圓的方程 [典型例題] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A,B,曲線Γ與y軸交于點C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過點C?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由. (2)求證:過A,B,C三點的圓過定點. 【解】 由曲線Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0. 設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則可得Δ=m2-8m>0,x1+x2=m,x1x2=2m. 令x=0,得y=2m,即C(0

12、,2m). (1)若存在以AB為直徑的圓過點C,則·=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-. 由Δ>0得m<0或m>8,所以m=-, 此時C(0,-1),AB的中點M即圓心,半徑r=|CM|=, 故所求圓的方程為+y2=. (2)證明:設(shè)過A,B兩點的圓的方程為x2+y2-mx+Ey+2m=0, 將點C(0,2m)代入可得E=-1-2m, 所以過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0, 整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0. 令可得或 故過A,B,C三點的圓過定點(0,1)和. 求圓的方程的2種方法

13、 幾何法 通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,從而求得圓的基本量和方程 代數(shù)法 用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù),從而求得圓的方程 [對點訓(xùn)練] 1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2)       B. C.(-2,0) D. 解析:選D.若方程表示圓,則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,化簡得3a2+4a-4<0,解得-2

14、y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=4 D.(x+1)2+(y-1)2=4 解析:選A.設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,b),則a2+b2=r2①,(a-2)2+b2=r2②,=1③,聯(lián)立①②③解得a=1,b=-1,r2=2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-1)2+(y+1)2=2.故選A. 3.(2019·安徽合肥模擬)已知圓M:x2+y2-2x+a=0,若AB為圓M的任意一條直徑,且·=-6(其中O為坐標(biāo)原點),則圓M的半徑為(  ) A. B. C. D.2 解析:選C.圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-a(a<1),圓心M(1,0),則|OM|=1,因為AB為圓M的任

15、意一條直徑,所以=-,且||=||=r,則·=(+)·(+)=(-)·(+)=2-2=1-r2=-6,所以r2=7,得r=,所以圓的半徑為,故選C. 直線與圓、圓與圓的綜合問題 [典型例題] 命題角度一 切線問題 已知圓O:x2+y2=1,點P為直線+=1上一動點,過點P向圓O引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則直線AB經(jīng)過定點(  ) A.      B. C. D. 【解析】 因為點P是直線+=1上的一動點,所以設(shè)P(4-2m,m).因為PA,PB是圓x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,所以O(shè)A⊥PA,OB⊥PB,所以點A,B在以O(shè)P為直徑的圓C上,即弦AB

16、是圓O和圓C的公共弦.所以圓心C的坐標(biāo)是,且半徑的平方r2=, 所以圓C的方程為(x-2+m)2+=,① 又x2+y2=1,② 所以②-①得,(2m-4)x-my+1=0, 即公共弦AB所在的直線方程為(2x-y)m+(-4x+1)=0,所以由得所以直線AB過定點.故選B. 【答案】 B 過一點求圓的切線方程的方法 (1)過圓上一點(x0,y0)的圓的切線的方程的求法 若切線斜率存在,則先求切點與圓心連線所在直線的斜率k(k≠0),由垂直關(guān)系知切線斜率為-,由點斜式方程可求切線方程.若切線斜率不存在,則可由圖形寫出切線方程x=x0. (2)過圓外一點(x0,y0)的圓的切

17、線的方程的求法 當(dāng)切線斜率存在時,設(shè)切線斜率為k,切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圓心到直線的距離等于半徑,即可得出切線方程.當(dāng)切線斜率不存在時要加以驗證. 命題角度二 弦長問題 已知圓C經(jīng)過點A(-2,0),B(0,2),且圓心C在直線y=x上,又直線l:y=kx+1與圓C相交于P,Q兩點. (1)求圓C的方程; (2)過點(0,1)作直線l1與l垂直,且直線l1與圓C交于M,N兩點,求四邊形PMQN面積的最大值. 【解】 (1)設(shè)圓心C(a,a),半徑為r,因為圓C經(jīng)過點A(-2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r, 即==r

18、,解得a=0,r=2,故所求圓C的方程為x2+y2=4. (2)設(shè)圓心C到直線l,l1的距離分別為d,d1,四邊形PMQN的面積為S. 因為直線l,l1都經(jīng)過點(0,1),且l1⊥l,根據(jù)勾股定理,有d+d2=1. 又|PQ|=2×,|MN|=2×, 所以S=|PQ|·|MN|=×2××2× =2 =2≤2 =2=7, 當(dāng)且僅當(dāng)d1=d時,等號成立, 所以四邊形PMQN面積的最大值為7. 求解圓的弦長的3種方法 關(guān)系法 根據(jù)半徑,弦心距,弦長構(gòu)成的直角三角形,構(gòu)成三者間的關(guān)系r2=d2+(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式l=|

19、x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦長,x1,x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo),k為直線的斜率) 距離法 聯(lián)立直線與圓的方程,解方程組求出兩交點坐標(biāo),用兩點間距離公式求解 命題角度三 直線與圓的綜合問題 已知圓C經(jīng)過點A(0,2),B(2,0),圓C的圓心在圓x2+y2=2的內(nèi)部,且直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為2.點P為圓C上異于A,B的任意一點,直線PA與x軸交于點M,直線PB與y軸交于點N. (1)求圓C的方程; (2)若直線y=x+1與圓C交于A1,A2兩點,求·; (3)求證:|AN|·|BM|為定值. 【解】 (1)易知圓心C在線段AB的中垂線y=x上,

20、故可設(shè)C(a,a),圓C的半徑為r. 因為直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為2,且r=, 所以C(a,a)到直線3x+4y+5=0的距離d===, 所以a=0或a=170. 又圓C的圓心在圓x2+y2=2的內(nèi)部, 所以a=0,此時r=2,所以圓C的方程為x2+y2=4. (2)將y=x+1代入x2+y2=4得2x2+2x-3=0. 設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2), 則x1+x2=-1,x1x2=-. 所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+(x1+1)(x2+1)=2x1x2-(x1+x2)+5=-3+1+5=3. (3

21、)證明:當(dāng)直線PA的斜率不存在時,|AN|·|BM|=8. 當(dāng)直線PA與直線PB的斜率都存在時,設(shè)P(x0,y0), 直線PA的方程為y=x+2,令y=0得M. 直線PB的方程為y=(x-2),令x=0得N. 所以|AN|·|BM|= =4+4 =4+4× =4+4× =4+4×=8, 綜上,|AN|·|BM|為定值8. 討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時,要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運算量.  [對點訓(xùn)練] 1.自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點P(x,y)引該圓的一條切線,切點為Q,PQ的長度等于點P到原點O的距離,則點P的軌

22、跡方程為(  ) A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0 C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0 解析:選D.由題意得,圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,如圖. 因為|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ, 所以|PO|2+r2=|PC|2, 所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2, 即6x-8y-21=0,所以點P的軌跡方程為6x-8y-21=0,故選D. 2.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點,若|MN|=,則直線l的方程為________. 解析:直線l的方程為y=kx+1,

23、圓心C(2,3)到直線l的距離d==, 由R2=d2+,得1=+, 解得k=2或, 故所求直線l的方程為y=2x+1或y=x+1. 答案:y=2x+1或y=x+1 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C與y軸相切,且過點M(1,),N(1,-). (1)求圓C的方程; (2)已知直線l與圓C交于A,B兩點,且直線OA與直線OB的斜率之積為-2.求證:直線l恒過定點,并求出定點的坐標(biāo). 解:(1)因為圓C過點M(1,),N(1,-), 所以圓心C在線段MN的垂直平分線上,即在x軸上, 故設(shè)圓心為C(a,0),易知a>0, 又圓C與y軸相切, 所以圓C的半徑r=a, 所以

24、圓C的方程為(x-a)2+y2=a2. 因為點M(1,)在圓C上, 所以(1-a)2+()2=a2,解得a=2. 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4. (2)記直線OA的斜率為k(k≠0), 則其方程為y=kx. 聯(lián)立消去y,得(k2+1)x2-4x=0, 解得x1=0,x2=. 所以A. 由k·kOB=-2,得kOB=-,直線OB的方程為y=-x, 在點A的坐標(biāo)中用-代替k,得B. 當(dāng)直線l的斜率不存在時,=,得k2=2,此時直線l的方程為x=. 當(dāng)直線l的斜率存在時,≠,即k2≠2. 則直線l的斜率為= ==. 故直線l的方程為y-=. 即y=,所以直線

25、l過定點. 綜上,直線l恒過定點,定點坐標(biāo)為. 一、選擇題 1.已知直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30°,直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為(  ) A.(3,)       B.(2,) C.(1,) D. 解析:選C.直線l1的斜率k1=tan 30°=,因為直線l2與直線l1垂直,所以直線l2的斜率k2=-=-,所以直線l1的方程為y=(x+2),直線l2的方程為y=-(x-2),聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為(1,). 2.圓C與x軸相切于T(1,0),與y軸正半軸交于A、B兩點,且|AB|=2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

26、(  ) A.(x-1)2+(y-)2=2 B.(x-1)2+(y-2)2=2 C.(x+1)2+(y+)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 解析:選A.由題意得,圓C的半徑為=,圓心坐標(biāo)為(1,),所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-)2=2,故選A. 3.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(  ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 解析:選B.圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化為x2+(y-a)2=a2,由題意,M(0,a)到直線x+y=0的距離

27、d=,所以a2=+2,解得a=2.所以圓M:x2+(y-2)2=4,所以兩圓的圓心距為,半徑和為3,半徑差為1,故兩圓相交. 4.(2019·皖南八校聯(lián)考)圓C與直線2x+y-11=0相切,且圓心C的坐標(biāo)為(2,2),設(shè)點P的坐標(biāo)為(-1,y0).若在圓C上存在一點Q,使得∠CPQ=30°,則y0的取值范圍是(  ) A.[-,] B.[-1,5] C.[2-,2+] D.[2-2,2+2] 解析:選C.由點C(2,2)到直線2x+y-11=0的距離為=,可得圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=5.若存在這樣的點Q,當(dāng)PQ與圓C相切時,∠CPQ≥30°,可得sin∠CPQ==≥

28、sin 30°,即CP≤2,則≤2,解得2-≤y0≤2+.故選C. 5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),過定點P的直線l:ax+y-1=0與過定點Q的直線m:x-ay+3=0相交于點M,則|MP|2+|MQ|2=(  ) A. B. C.5 D.10 解析:選D.由題意知P(0,1),Q(-3,0),因為過定點P的直線ax+y-1=0與過定點Q的直線x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10,故選D. 6.(一題多解)(2019·河南鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,直線x-ky+1=0與圓C:x2+y2=4相交于A,B兩點,=+,若

29、點M在圓C上,則實數(shù)k的值為(  ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:選C.法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)y2-2ky-3=0,則Δ=4k2+12(k2+1)>0,y1+y2=,x1+x2=k(y1+y2)-2=-,因為=+,故M,又點M在圓C上,故+=4,解得k=0. 法二:由直線與圓相交于A,B兩點,=+,且點M在圓C上,得圓心C(0,0)到直線x-ky+1=0的距離為半徑的一半,為1,即d==1,解得k=0. 二、填空題 7.過點(,0)引直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于_

30、_______. 解析:令P(,0),如圖,易知|OA|=|OB|=1, 所以S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤, 當(dāng)∠AOB=90°時,△AOB的面積取得最大值,此時過點O作OH⊥AB于點H, 則|OH|=, 于是sin∠OPH===,易知∠OPH為銳角,所以∠OPH=30°, 則直線AB的傾斜角為150°,故直線AB的斜率為tan 150°=-. 答案:- 8.已知圓O:x2+y2=4到直線l:x+y=a的距離等于1的點至少有2個,則實數(shù)a的取值范圍為________. 解析:由圓的方程可知圓心為(0,0),半徑為2.因為圓O到直線l的距

31、離等于1的點至少有2個,所以圓心到直線l的距離d

32、所以m=-2,r==. 答案:-2  三、解答題 10.已知點M(-1,0),N(1,0),曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍. (1)求曲線E的方程; (2)已知m≠0,設(shè)直線l1:x-my-1=0交曲線E于A,C兩點,直線l2:mx+y-m=0交曲線E于B,D兩點.當(dāng)CD的斜率為-1時,求直線CD的方程. 解:(1)設(shè)曲線E上任意一點的坐標(biāo)為(x,y), 由題意得=·, 整理得x2+y2-4x+1=0,即(x-2)2+y2=3為所求. (2)由題意知l1⊥l2,且兩條直線均恒過點N(1,0).設(shè)曲線E的圓心為E,則E(2,0),設(shè)線段CD的中點為P,連接EP

33、,ED,NP,則直線EP:y=x-2. 設(shè)直線CD:y=-x+t, 由解得點P, 由圓的幾何性質(zhì),知|NP|=|CD|=, 而|NP|2=+,|ED|2=3, |EP|2=, 所以+=3-,整理得t2-3t=0,解得t=0或t=3, 所以直線CD的方程為y=-x或y=-x+3. 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點,點C的坐標(biāo)為(0,1),當(dāng)m變化時,解答下列問題: (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說明理由; (2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 解:(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下: 設(shè)A(x1,0),

34、B(x2,0),則x1,x2滿足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐標(biāo)為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為·=-,所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. (2)證明:BC的中點坐標(biāo)為(,),可得BC的中垂線方程為y-=x2(x-). 由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂線方程為x=-. 聯(lián)立又x+mx2-2=0, 可得 所以過A,B,C三點的圓的圓心坐標(biāo)為(-,-),半徑r=. 故圓在y軸上截得的弦長為2=3,即過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在直線

35、l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程; (2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 解:(1)因為圓心在直線l:y=2x-4上,也在直線y=x-1上,所以解方程組得圓心C(3,2), 又因為圓C的半徑為1, 所以圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=1, 又因為點A(0,3),顯然過點A,圓C的切線的斜率存在,設(shè)所求的切線方程為y=kx+3,即kx-y+3=0, 所以=1,解得k=0或k=-, 所以所求切線方程為y=3或y=-x+3, 即y-3=0或3x+4y-12=0. (2)因為圓C的圓心在直線l:y=2x-4上, 所以設(shè)圓心C為(a,2a-4), 又因為圓C的半徑為1, 則圓C的方程為(x-a)2+(y-2a+4)2=1. 設(shè)M(x,y),又因為|MA|=2|MO|,則有 =2, 整理得x2+(y+1)2=4,其表示圓心為(0,-1),半徑為2的圓,設(shè)為圓D, 所以點M既在圓C上,又在圓D上,即圓C與圓D有交點,所以2-1≤≤2+1, 解得0≤a≤, 所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. - 17 -

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