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(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1

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(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1_第1頁(yè)
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1、 §2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與相應(yīng)方程組的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.能用判別式法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.掌握直線與橢圓、雙曲線、拋物線位置關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題的基本解法.4.掌握直線與圓錐曲線有關(guān)的綜合問(wèn)題的解決方法. 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)相離?直線與圓錐曲線無(wú)公共點(diǎn). (2)相切?直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn). (3)相交? 2.弦長(zhǎng)公式 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí),往往涉及弦的長(zhǎng)度,可利用弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng),從而研究相關(guān)的問(wèn)題,弦長(zhǎng)公式為: 若直線l的斜率為k,與圓錐曲線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩

2、點(diǎn),則 |AB|=|x1-x2|==|y1-y2|=. 3.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定 直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立,消元得方程ax2+bx+c=0. 方程特征 交點(diǎn)個(gè)數(shù) 位置關(guān)系 直線與橢圓 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相離 直線與雙曲線 a=0 1 直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相離 直線與拋物線 a=0 1 直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸重合或平行且兩者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0

3、1 相切 a≠0,Δ<0 0 相離 應(yīng)用弦長(zhǎng)公式時(shí)注意的問(wèn)題 直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題一定注意直線斜率不存在的情況,同時(shí),當(dāng)直線過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)(c,0)時(shí),直線方程設(shè)為x=my+c,此種設(shè)法,在拋物線中運(yùn)用,顯得更為方便. (1)橢圓+=1上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是a+c.(√) (2)過(guò)點(diǎn)(2,4)的直線與橢圓+y2=1只有一條切線.(×) (3)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為雙曲線-=1上的任一點(diǎn),則|x0|≥a.(×) 類(lèi)型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例1 直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個(gè)交點(diǎn),求m2的值. 解 因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)

4、,由消去y,得(1+4m2)x2+8mx+3=0,所以由Δ=64m2-12(1+4m2)=16m2-12=0,解得m2=. 引申探究 1.典例中若直線與橢圓相交,弦的中點(diǎn)的軌跡方程是什么? 解 由得(4m2+1)x2+8mx+3=0, Δ=64m2-12(4m2+1)=16m2-12>0,即m2>, 設(shè)中點(diǎn)M(x,y),交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 消去m,得x2+4y2-4y=0. 2.典例中若直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng). 解 由得(4m2+1)x2+8mx+3=0, Δ=64m2-12(4m2+1)=16m2-12>0, 即m>或m<-

5、, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 則 因此|AB|== =. 反思與感悟 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法 跟蹤訓(xùn)練1 已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí),直線l與橢圓C: (1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn); (2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn); (3)沒(méi)有公共點(diǎn). 解 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立, 得方程組 將①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③ 方程③根的判別式Δ=64m2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)當(dāng)Δ>0,即-3

6、橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn). (2)當(dāng)Δ=0,即m=±3時(shí),方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn),即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn). (3)當(dāng)Δ<0,即m<-3或m>3時(shí),方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根,可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn). 類(lèi)型二 弦長(zhǎng)問(wèn)題 例2 (2017·寧波檢測(cè))設(shè)橢圓M:+=1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù),且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4. (1)求橢圓M的方程; (2)若直線y=x+m交橢圓M于A,B兩點(diǎn),P(1,)為橢圓M上一點(diǎn),求△PAB面積的最大值. 解 (1)

7、由題意可知,雙曲線的離心率為, 則橢圓的離心率e==. 由得a=2,c=,b=, 故橢圓M的方程為+=1. (2)聯(lián)立方程消去y,得4x2+2mx+m2-4=0, 由Δ=8m2-16(m2-4)>0, 得-2b>

8、0),直線l1:-=1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線l2被橢圓C截得的弦長(zhǎng)是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的,求橢圓C的方程. 解 由l1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2,得a2+b2=8. 設(shè)l2:y=(x-c),代入橢圓C的方程并化簡(jiǎn),得 (b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0. 設(shè)直線l2與橢圓C交于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2). 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=, x1x2=, 從而|x1-x2|= = =, 則由弦長(zhǎng)公式,得|MN|=·=. 化簡(jiǎn),得a2=3b2. 聯(lián)立a2+b2=8,a2=3b2,得a2=6,b2=2, 故橢圓C的方程

9、為+=1. 類(lèi)型三 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 例3 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:|AN|·|BM|為定值. (1)解 由已知=,ab=1. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=. ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明 由(1)知,A(2,0),B(0,1). 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0),則+y=1. 當(dāng)x0≠0時(shí),直線PA的方程為y=(x-2), 令x=0得yM=. 從而|B

10、M|=|1-yM|=. 直線PB的方程為y=x+1. 令y=0得xN=. ∴|AN|=|2-xN|=. ∴|AN|·|BM|=· =· = ==4. 當(dāng)x0=0時(shí),y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, ∴|AN|·|BM|=4. 故|AN|·|BM|為定值. 反思與感悟 定值問(wèn)題類(lèi)型及常見(jiàn)解法 (1)直線過(guò)定點(diǎn)型,一般通過(guò)運(yùn)算使直線方程中只含一個(gè)參數(shù)來(lái)求定點(diǎn). (2)參數(shù)和為定值型,往往把參數(shù)用交點(diǎn)坐標(biāo)表示,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)為某一常數(shù). 跟蹤訓(xùn)練3 橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖,A,

11、B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明2m-k為定值. (1)解 因?yàn)閑==,故==1-=, 所以a=2b. 再由a+b=3,得a=2,b=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明 因?yàn)锽(2,0),P不為橢圓頂點(diǎn),則可設(shè)BP的方程為y=k(x-2).① 將①代入+y2=1,解得P. 又直線AD的方程為y=x+1,② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1),P,N(x,0)三點(diǎn)共線可解得N. 所以MN的斜率為m=, 則2m-k=-k=(定值). 例4 (2017·杭州

12、檢測(cè))已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求直線l的方程. 解 (1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=. 又=,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故橢圓E的方程為+y2=1. (2)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)不合題意,故設(shè)直線l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 將y=kx-2代入+y2=1得, (1+4k2)x2-16kx+12=0. 當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時(shí), x1,2

13、=. 從而|PQ|=|x1-x2| =. 又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=, 所以△OPQ的面積 S△OPQ=d·|PQ|=. 設(shè)=t,則t>0,S△OPQ==. 因?yàn)閠+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=±時(shí)等號(hào)成立,且滿(mǎn)足Δ>0, 所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),直線l的方程為 y=±x-2. 反思與感悟 最值問(wèn)題的兩種常見(jiàn)求法 (1)數(shù)形結(jié)合法:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí),可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿(mǎn)足的不等式(如雙曲線的范圍,直線與圓錐曲線相交時(shí)Δ>0等),通過(guò)解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍. (2)目標(biāo)函數(shù)法:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)

14、關(guān)系時(shí),則可先建立目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域,最后確定最值. 跟蹤訓(xùn)練4 已知橢圓+=1,動(dòng)直線l與橢圓交于B,C兩點(diǎn).若點(diǎn)B的坐標(biāo)為,求△OBC面積的最大值. 解 直線OB的方程為y=x,即3x-2y=0, 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于直線OB的直線l′的方程為y=x+b, 則當(dāng)l′與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),△OBC的面積最大. 聯(lián)立化為3x2+3bx+b2-3=0, 由Δ=9b2-12(b2-3)=0,解得b=±2. 當(dāng)b=2時(shí),C; 當(dāng)b=-2時(shí),C. 所以△OBC面積的最大值為××=. 1.平面上到定點(diǎn)A(1,0)和到定直線l:x+2y+3=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡為

15、(  ) A.直線B.拋物線C.雙曲線D.橢圓 答案 B 2.一條直線與雙曲線的兩支交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(  ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 3.拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 4.若直線ax-y+1=0與拋物線y2=4x有兩交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________. 答案 (-∞,0)∪(0,1) 5.已知橢圓+=1(a>b>0),F(xiàn)(,0)為其右焦點(diǎn),過(guò)F且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),|AB|=2,則該橢圓的方程為_(kāi)_______

16、,離心率為_(kāi)_______. 答案 +=1  1.解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),主要方法是構(gòu)建一元二次方程,判斷其解的個(gè)數(shù).確定斜率與直線的傾斜角時(shí),應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形,以及在雙曲線和拋物線中,直線和圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切. 2.在探求最值時(shí),常結(jié)合幾何圖形的直觀性,充分利用平面幾何結(jié)論,借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問(wèn)題獲解.同時(shí),要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件. 一、選擇題 1.(2017·金華檢測(cè))直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的值為(  ) A.1 B.1或3 C.0 D.1或0 答案 D

17、 2.(2017·臺(tái)州檢測(cè))已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與直線y=2x有交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為(  ) A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞) 答案 C 3.過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于C,若|AF|=6,=λ,則λ的值為(  ) A.B.C.D.3 答案 D 4.已知雙曲線-=1 (b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 

18、D 5.已知雙曲線方程為-=1,過(guò)點(diǎn)(2,0)作直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)A,B,記滿(mǎn)足|AB|=m的直線l的條數(shù)為f(m),則f(m)的可能取值為(  ) A.0,2,4 B.1,2,3,4 C.0,1,2,3,4 D.2,4 答案 A 6.(2017·金華檢測(cè))過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F作直線AB,CD與拋物線交于A,B,C,D四點(diǎn),且AB⊥CD,則·+·的最大值等于(  ) A.-4B.-16C.4D.-8 答案 B 二、填空題 7.若斜率為的直線l與橢圓+=1(a>b>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則該橢圓的離心率為_(kāi)_______

19、. 答案  8.拋物線焦點(diǎn)在y軸上,截得直線y=x+1的弦長(zhǎng)為5,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________,準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____________. 答案 x2=4y或x2=-20y y=-1或y=5 9.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍為_(kāi)_______________. 答案 (2,4) 解析 如圖, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 則 兩式相減得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). 當(dāng)l的斜率

20、k不存在時(shí),符合條件的直線l必有兩條. 當(dāng)k存在時(shí),x1≠x2, 則有·=2, 又y1+y2=2y0,所以y0k=2. 由CM⊥AB,得k·=-1, 即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3, 即M必在直線x=3上.將x=3代入y2=4x, 得y2=12,則有-24(為保證有4條,在k存在時(shí),y0≠0), 所以4

21、點(diǎn),則·=________.若直線l的傾斜角為45°,則·=________. 答案?。? 16 三、解答題 11.(2017·紹興檢測(cè))如圖所示,橢圓C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距為2,過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B在AM之間,又點(diǎn)A,B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且=λ. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求實(shí)數(shù)λ的值. 解 (1)由條件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1. (2)由=λ,可知A,B,M三點(diǎn)共線, 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),顯然AB所在直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-4

22、). 由消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,① 由①的判別式Δ=322k4-4(4k2+3)·(64k2-12) =144(1-4k2)>0,解得k2<,且 由(x1+x2)==,可得k2=, 將k2=代入方程①,得7x2-8x-8=0, x1,2=, 又因?yàn)椋?4-x1,-y1),=(x2-4,y2), =λ. 所以λ=,所以λ=. 12.(2017·溫州檢測(cè))已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,其離心率e=,點(diǎn)M為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△MAB面積的最大值是2. (1)求橢圓的方程; (2)若過(guò)橢圓C右頂點(diǎn)B的直線l與橢圓

23、的另一個(gè)交點(diǎn)為D,線段BD的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)P,當(dāng)·=0時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解 (1)由題意可知 解得a=2,b=, 所以橢圓方程是+=1. (2)由(1)知B(2,0),設(shè)直線BD的方程為y=k(x-2), D(x1,y1), 把y=k(x-2)代入橢圓方程+=1. 整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0, 所以2+x1=,即x1=, 則D, 所以BD中點(diǎn)的坐標(biāo)為, 則直線BD的垂直平分線方程為 y-=-, 得P,又·=0, 即·=0, 化簡(jiǎn)得=0,即16k4+7k2-9=0, 解得k=±. 故P或. 13.(2017·紹興檢測(cè))如

24、圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn). (1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo); (2)求△PAB的面積. 解 (1)由題意可知,直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t), 由消去y整理得 x2-4kx+4kt=0. 因?yàn)橹本€PA與拋物線相切,所以Δ=16k2-16kt=0,解得k=t.所以x=2t,即點(diǎn)A(2t,t2). 圓C2的圓心為D(0,1),設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知,點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱(chēng),故有 解得x0=,y0=. 即點(diǎn)B

25、. (2)由(1)知,|AP|=t, 直線AP的方程為tx-y-t2=0,所以點(diǎn)B到直線PA的距離為d=. 所以△PAB的面積為S=|AP|·d=. 四、探究與拓展 14.已知雙曲線x2-=1,過(guò)點(diǎn)P(2,1)作一條直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),并使P為AB的中點(diǎn),則直線AB的斜率為_(kāi)_______,方程為_(kāi)_______________________________. 答案 6 6x-y-11=0 15.(2017·杭州檢測(cè))已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,過(guò)它的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別作直線l1與l2,l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓于C,D兩點(diǎn),且l1⊥l

26、2. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍. 解 (1)由=,得a=2c,所以a2=4c2,b2=3c2, 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c2=1,故所求橢圓方程為+=1. (2)若l1與l2中有一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0,此時(shí)四邊形的面積S=6. 若l1與l2的斜率都存在,設(shè)l1的斜率為k,則l2的斜率為-. 不妨設(shè)直線l1的方程為y=k(x+1), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立 消去y整理得,(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0, Δ=64k4-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+144>0, x1+x2=-,x1·x2=, 所以|x1-x2|==. |AB|=|x1-x2|=. 同理可得|CD|=, 所以S=|AB|·|CD|=, 令k2=t∈(0,+∞), S= ==6- ≥6-=, 故S∈, 綜上可知,四邊形ACBD面積S的取值范圍是. 17

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