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1、2022年高二數學上學期期末考試試題 理 (III) 一、選擇題（本大題共12題，每題5分，滿分60分，每小題只有一個正確答案） 1.命題“若x，y都是偶數，則x＋y也是偶數”的否命題是(　　) A．若x，y都是偶數，則x＋y不是偶數 B．若x，y都不是偶數，則x＋y不是偶數 C．若x，y都不是偶數，則x＋y是偶數 D．若x，y不都是偶數，則x＋y不是偶數 2.設x，y是兩個實數，命題：“x，y中至少有一個數大于1”成立的充分不必要條件是(　　) A．x＋y＝2

2、 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 3.已知：p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，q同時為假命題，則滿足條件的x的集合為(　　) A．{x|x≤－1或x≥3，x?Z} B．{x|－1≤x≤3，x?Z} C．{x|x＜－1或x＞3，x∈Z} D．{x|－1＜x＜3，x∈Z} 4.已知橢圓＋=＝1(a>b>0)上有一點A，它關于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且滿足AF⊥BF，設∠ABF＝α，且α∈[，]，則該橢圓的離心率e的取值范圍為(　　) A．[，]

3、 B．[，] C．[，] D．[，] 5.光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C′：－＝1(m>0，n>0)有公共焦點，現一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經過的路徑長為(　　) A．k(a＋m) B．2k(a＋m)

4、 C．k(a－m) D．2k(a－m) 6.已知P為拋物線y2＝4x上一動點，記點P到y(tǒng)軸的距離為d，對于定點A(4,5)，則|PA|＋d的最小值為(　　) A．4 B． C．－1 D．－1 7.已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，設＝a，＝b，＝c，則〈，〉等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120

5、° 8.如圖，在空間直角坐標系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，B1E1＝A1B1，則等于(　　) A． B． C． D． 9.如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱，兩兩夾角都為60°，且AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M、N分別為BB1、B1C1的中點，則MN與AC所成角的余弦值為(　　) A． B． C． D． 10.已知曲線C

6、的方程為y＝xlnx，則C上點x＝1處的切線的傾斜角為(　　) A． B． C． D． 11.設函數f(x)＝cos(x＋φ)(－π<φ<0)．若f(x)＋f′(x)是偶函數，則φ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 12.函數y＝sin(2x2＋x)的導數是(　　) A．y′＝cos(2x2＋x)

7、 B．y′＝2xsin(2x2＋x) C．y′＝(4x＋1)cos(2x2＋x) D．y′＝4cos(2x2＋x) 二、填空題(共4小題,每小題5.0分,共20分) 13.已知函數f(x)＝2sin 3x＋9x，則________. 14.過點P(8,1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4相交于A，B兩點，且P是線段AB的

8、中點，則直線AB的方程為________________． 15.沿直線y＝－2發(fā)出的光線經拋物線y2＝ax反射后，與x軸相交于點A(2,0)，則拋物線的準線方程為________________．(提示：拋物線的光學性質：從焦點發(fā)出的光線經拋物線反射后與軸平行) 16.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，MN分別為棱AA1和BB1的中點，則sin〈，〉的值為________． 三、解答題(共6小題,共70分) 17.（12分）

9、已知函數f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l. (1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程； (2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于點P的直線方程y＝g(x)． 18. （10分）已知命題p：函數f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上單調遞增，命題q：關于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4＞0的解集為R.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍． 19. （12分）如圖，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分別為橢圓的左，右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B. (1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的

10、離心率； (2)若橢圓的焦距為2，且＝2，求橢圓的方程． 20. （12分）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A，B兩點，F1為左焦點． (1)求雙曲線的方程； (2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程． 21. （12分）如下圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC. (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值； (3)是否存在點E，使得二面角A－D

11、E－P為直二面角？并說明理由． 22. （12分）已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－.若拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2. (1)求拋物線C的方程； (2)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由． 答案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.D 8.C 9.B 10.B 11.B 12.C 13.6cos 3＋9 14.2x－y－15＝0 15.x＝－2

12、16. 17.解　(1)y′＝＝3x2－3. 則過點P且以P(1，－2)為切點的直線的斜率 k1＝f′(1)＝0， ∴所求直線方程為y＝－2. (2)設切點坐標為(x0，－3x0)， 則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3， ∴直線l的方程為y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)， 又直線l過點P(1，－2)， ∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)， ∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直線斜率k＝3－3＝－， 于是y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋. 18.若命題p為真，因為函數的對稱軸為x＝m，則m

13、≤2. 若命題q為真，當m＝0時，原不等式為－8x＋4＞0，顯然不成立． 當m≠0時，則有?1＜m＜4. 因為p∨q為真，p∧q為假，所以命題p，q一真一假． 故或 解得m≤1或2＜m＜4. 所以m的取值范圍為(－∞，1]∪(2,4)． 19.(1)由∠F1AB＝90°及橢圓的對稱性知b＝c，則e＝＝＝. (2)由已知得a2－b2＝1，設B(x，y)，A(0，b)，則＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，則＋＝1，得a2＝3，因此b2＝2，橢圓的方程為＋＝1. 20. 【解析】 (1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，

14、∴雙曲線的方程為x2－＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知F2(2,0)．易驗證當直線l斜率不存在時不滿足題意． 故可設直線l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0， 當k≠±時，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)， △F1AB的面積S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6， 得k4＋8k2－9＝0，則k＝±1. 所以直線l方程為y＝x－2或y＝－x＋2. 21.以A為原點，，分別為y軸、z軸的正方向，過A點且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標系Axy

15、z， 設PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)． (1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP， 又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. (2)∵D為PB的中點，DE∥BC，∴E為PC的中點， ∴D，E， ∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E， ∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角， ∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝， ∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為. (3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC， ∴D

16、E⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角A－DE－P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°， ∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時∠AEP＝90°， 故存在點E，使得二面角A－DE－P是直二面角． 22.(1)由定義知l2為拋物線的準線，拋物線焦點坐標為F 由拋物線定義，知拋物線上點到直線l2的距離等于其到焦點F的距離． 所以拋物線上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離． 所以2＝，則p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x. (2)設M(x0，y0)，由題意知直線l斜率存在，設斜率為k，且k≠0， 所以直線l方程為y－y0＝k(x－x0)， 代入y2＝4x，消x得ky2－4y＋4y0－k＝0.由Δ＝16－4k(4y0－k)＝0，得k＝. 所以直線l方程為y－y0＝(x－x0)， 令x＝－1，又由＝4x0，得N. 設Q(x1,0)，則＝(x0－x1，y0)，＝， 由題意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0， 把＝4x0代入上式，得(1－x1)x0＋＋x1－2＝0. 因為對任意的x0，等式恒成立，所以 解得x1＝1，即在x軸上，存在定點Q(1,0)，在以MN為直徑的圓上．