《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.2　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.2.了解平行(共線)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 定義 與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘 幾何定義 λ＞0 λa與向量a的方向相同 λ＜0 λa與向量a的方向相反 λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 運(yùn)算律 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 結(jié)合律

2、 λ(μa)＝(λμ)a 知識(shí)點(diǎn)二　共線向量與共面向量 思考1　回顧平面向量中關(guān)于向量共線的知識(shí)，給出空間中共線向量的定義． 答案　如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量． 思考2　空間中任何兩個(gè)向量都是共面向量，這個(gè)結(jié)論是否正確？ 答案　正確．根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進(jìn)行平移，空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為共面向量． 梳理　平行(共線)向量與共面向量 共線(平行)向量 共面向量 定義 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 平行于同一個(gè)平面的向量叫做共

3、面向量 充要條件 對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb 若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb 推論 如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋ta，①其中a叫做直線l的方向向量，如圖所示． 若在l上取＝a，則①式可化為＝＋t 如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使＝x＋y，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O來(lái)說(shuō)，有＝＋x＋y (1)若p＝xa＋yb，則p與a，b共

4、面．(√) (2)若p與a，b共面，則p＝xa＋yb.(×) (3)若＝x＋y，則P，M，A，B共面．(√) (4)若P，M，A，B共面，則＝x＋y.(×) 類型一　共線問(wèn)題 例1　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D (2)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k＝________. 考點(diǎn)　線線、線面平行的判斷 題點(diǎn)　線線平行的判斷 答案　(1)A　(2)1 解析　(

5、1)∵＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又與有公共點(diǎn)A， 所以A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2， 且與共線，故＝x， 即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2， 故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0， 又∵e1，e2不共線， ∴解得故k的值為1. 反思與感悟　(1)判斷向量共線的策略 ①熟記共線向量的充要條件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b. ②判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù)λ. (2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路 對(duì)于空間三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)

6、論來(lái)證明三點(diǎn)共線． ①存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ成立． ②對(duì)空間任一點(diǎn)O，有＝＋t(t∈R)． ③對(duì)空間任一點(diǎn)O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量與＋是否共線？ 考點(diǎn)　線線、線面平行的判斷 題點(diǎn)　線線平行的判斷 解　設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G， ∴＝，＝， 又∵，，共面， ∴＝＋＝＋＝(＋)， ∴與＋共線． 類型二　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用 例2　如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各

7、向量： (1)；(2)；(3)＋. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 解　(1)＝＋ ＝(＋)＋＝a＋c＋b. (2)＝＋＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. (3)＋＝(＋＋)＋(＋) ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＝a＋b＋c. 引申探究 若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且＝”，其他條件不變，如何表示？ 解　＝＋＝＋＋＝a＋c＋b. 反思與感悟　利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧 (1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量． (2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用

8、中點(diǎn)性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且＝. 求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 證明　設(shè)＝a，＝b，＝c. 因?yàn)椋?，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－) ＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c ＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝， 又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線． 類型三　空間向量共面問(wèn)題 例3　(1)已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，確定在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B

9、，M一定共面． ①＋＝3－； ②＝4－－. (2)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)M滿足＝＋＋. ①，，三個(gè)向量是否共面？ ②點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)？ 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 解　(1)①∵＋＝3－， ∴＝＋(－)＋(－) ＝＋＋， ∴－＝＋， ∴＝＋， ∴，，為共面向量， ∴P與A，B，M共面． ②＝2＋(－)＋(－) ＝2＋＋， 根據(jù)空間向量共面的推論，點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是＝＋x＋y， ∴P與A，B，M不共面． (2)①∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋＝－－， ∴向量，，共面． ②由①知向量，

10、，共面， 又它們有共同的起點(diǎn)M， 且A，B，C三點(diǎn)不共線， ∴M，A，B，C四點(diǎn)共面， 即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)． 反思與感悟　向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)H為PC上的點(diǎn)，且＝，點(diǎn)G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四點(diǎn)共面，求m的值． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 解　連接BG. 因?yàn)椋剑?，＝? 所以＝－， 因?yàn)椋剑? 所以＝＋－＝－＋＋. 因?yàn)椋?，所以＝?/p>

11、 所以＝(－＋＋) ＝－＋＋. 又因?yàn)椋剑? 所以＝－＋＋， 因?yàn)椋絤， 所以＝m＝－＋＋， 因?yàn)椋剑剑? 所以＝＋＋. 又因?yàn)镚，B，P，D四點(diǎn)共面， 所以1－＝0，m＝. 即m的值是. 1．下列命題中正確的是(　　) A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線 B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面 C．零向量沒(méi)有確定的方向 D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　線線平行的判定 答案　C 解析　零向量的方向是任意的． 2．A，B，C不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若＝＋＋，則P，A，B，C四點(diǎn)(　　

12、) A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．無(wú)法判斷是否共面 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 答案　B 解析?。剑剑?＋)＋(＋)＝＋＋， ∴－＝＋，∴＝＋. 由共面的充要條件，知P，A，B，C四點(diǎn)共面． 3．下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D.||＝|| 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案　C 解析　由＝知與共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A，B，C三點(diǎn)共線． 4．若非零空間向量e1，e2不共線，則使2ke1－e2與e1＋2(k＋1)e2共線的k的值為_(kāi)

13、_______． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案　－ 解析　若2ke1－e2與e1＋2(k＋1)e2共線， 則2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]， ∴∴k＝－. 5．若非零空間向量e1，e2不共線，則使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k＝________. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案　±1 解析　由ke1＋e2與e1＋ke2共線， 得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即故k＝±1. 1．四點(diǎn)P，A，B，C共面?對(duì)空間任意一點(diǎn)O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 2.＝＋x＋y稱為空間平

14、面ABC的向量表達(dá)式．由此可知空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定． 3．證明(或判斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有＝t＋(1－t)”來(lái)證明三點(diǎn)A，B，C共線． 4．空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使＝x＋y，滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)都滿足這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用于證明四點(diǎn)共面． 一、選擇題 1．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　) A．有相同起點(diǎn)的向量 B．等長(zhǎng)向量 C．共面向量 D．不共面向量 考點(diǎn)　

15、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 答案　C 解析　因?yàn)椋?，且＝? 所以－＝， 即＝＋. 又與不共線， 所以，，三向量共面． 2．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋c C．a(chǎn)－b＋c D．－a－b＋c 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　A 解析　＝＋＝＋(＋) ＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c. 3．如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a(chǎn)－b

16、＋c B．－a＋b＋c C．a(chǎn)－b＋c D．－a＋b＋c 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　B 解析　連接AE， ∵E是CD的中點(diǎn)，＝b，＝c， ∴＝(＋)＝(b＋c)． 在△ABE中，＝＋＝－＋， 又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c. 4．設(shè)點(diǎn)M是△ABC的重心，記＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，則等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　D 解析　設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)， ∵M(jìn)是△ABC的重心， ∴＝.而＝(＋)＝(c－b)， ∴＝(c－b)． 5．設(shè)空間四點(diǎn)O

17、，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則(　　) A．點(diǎn)P一定在直線AB上 B．點(diǎn)P一定不在直線AB上 C．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上 D．與的方向一定相同 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案　A 解析　已知m＋n＝1，則m＝1－n， ＝(1－n)＋n＝－n＋n， 即－＝n(－)，即＝n. 因?yàn)椤?，所以和共線， 又AP和AB有公共點(diǎn)A，所以點(diǎn)A，P，B共線，故選A. 6．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋＋，則x的值為(　　) A．1B．0C．3D. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量

18、定理及應(yīng)用 答案　D 解析　∵＝x＋＋， 且M，A，B，C四點(diǎn)共面， ∴x＋＋＝1， ∴x＝，故選D. 7．在下列命題中： ①若a，b共線，則a，b所在的直線平行； ②若a，b所在的直線是異面直線，則a，b一定不共面； ③若a，b，c三向量?jī)蓛晒裁?，則a，b，c三向量一定也共面； ④已知三向量a，b，c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0B．1C．2D．3 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 答案　A 解析　根據(jù)空間向量的基本概念知四個(gè)命題都不對(duì)． 二、填空題 8．以下命題：

19、 ①兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩個(gè)向量； ②共線的兩個(gè)向量互相平行； ③共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量； ④共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量． 其中正確命題的序號(hào)是________． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量共面定理及應(yīng)用 答案　②④ 解析　根據(jù)共面與共線向量的定義判定，知②④正確． 9．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量＝＋＋λ確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，則λ＝________. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 答案　 解析　∵A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn)，由向量＝

20、＋＋λ確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝. 10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)．用，，表示，則＝__________. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案?。? 解析?。剑? ＝＋＋(＋) ＝＋＋(－＋) ＝＋＋. 11．設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中的八個(gè)頂點(diǎn)所成的集合為S.向量的集合P＝{m|m＝，P1，P2∈S}，則P中長(zhǎng)度為a的向量有________個(gè)． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　8 解析　每一條體對(duì)角線對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，正方體共

21、有4條體對(duì)角線． 三、解答題 12．設(shè)e1，e2，e3三向量不共面，而＝e1＋2e2＋3e3，＝2e1＋λe2＋μe3，＝3λe1－e2－2μe3，如果A，B，D三點(diǎn)共線，試求λ，μ的值． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 解　＝＋＝(2e1＋λe2＋μe3)＋(3λe1－e2－2μe3)＝(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3. ∵A，B，D三點(diǎn)共線， ∴與是共線向量． ∴存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即 e1＋2e2＋3e3＝k[(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3]． ∴(1－2k－3kλ)e1＋(2－kλ＋k)e2＋(3＋kμ)e3＝0. ∵e

22、1，e2，e3三向量不共面， ∴1－2k－3kλ＝0,2－kλ＋k＝0,3＋kμ＝0. 將k＝－代入前兩式， 可得 解得λ＝－1，μ＝3. 13.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H為BC的中點(diǎn)．求證：FH∥平面EDB. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量共面定理及應(yīng)用 證明　因?yàn)镠為BC的中點(diǎn)， 所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)． 因?yàn)镋F∥AB，CD∥AB，且AB＝2EF， 所以2＋＝0， 所以＝(＋)＝＋. 因?yàn)榕c不共線， 所以由共面向量定理知，，共面． 因?yàn)镕H?平面EDB， 所以FH∥平面ED

23、B. 四、探究與拓展 14.如圖所示，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，P為一定點(diǎn)，O為平面ABC外任一點(diǎn)，則下列能表示向量的為_(kāi)_______． ①＋2＋2； ②－3－2； ③＋3－2； ④＋2－3. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　③ 解析　因?yàn)锳，B，C，P四點(diǎn)共面，所以可設(shè)＝x＋y，即＝＋x＋y，由題圖可知x＝3，y＝－2. 15.如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求證：MN∥平面CDE. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量共面定理及應(yīng)用 證明　因?yàn)镸在BD上， 且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又與不共線， 根據(jù)共面向量定理可知，，共面． 因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)， 所以MN∥平面CDE. 17