《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.2 空間圖形的公理(二)學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.2 空間圖形的公理(二)學(xué)案 北師大版必修2（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 4.2　空間圖形的公理(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握公理4及等角定理.2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角． 知識點一　平行公理(公理4) 思考　在平面內(nèi)，直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c.該結(jié)論在空間中是否成立？ 答案　成立． 梳理　平行公理 (1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行． (2)符號表示：?a∥c. 知識點二　空間兩直線的位置關(guān)系 思考　在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？ 觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎？ 答案　平行與相交． 教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板

2、的左右兩側(cè)所在的直線；六角螺母中直線AB與CD. 梳理　異面直線的概念 (1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線． (2)異面直線的畫法(襯托平面法) 如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托． (3)判斷兩直線為異面直線的方法 ①定義法； ②兩直線既不平行也不相交． (4)空間兩條直線的三種位置關(guān)系 ①從是否有公共點的角度來分： ②從是否共面的角度來分： 知識點三　等角定理 思考　觀察圖，在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的

3、大小關(guān)系如何？ 答案　從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°. 梳理　等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)． 知識點四　異面直線所成的角 思考　在平行六面體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？ 答案　相等． 梳理　異面直線所成角的定義 定義 前提 兩條異面直線a，b 作法 經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b 結(jié)論 我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角) 范圍

4、記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°. 特殊情況 當(dāng)θ＝90°時，a與b互相垂直，記作：a⊥b. 1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線．(　×　) 2．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．(　√　) 3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠BAC＝∠B′A′C′.(　×　) 類型一　公理4及等角定理的應(yīng)用 例1　在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點，求證：EE′∥FF′. 考點　平行公理 題點　判斷、證明線線平行 證明　因為E，E′分別是AB，A′B′的中點， 所以BE∥B′

5、E′，且BE＝B′E′. 所以四邊形EBB′E′是平行四邊形， 所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. 反思與感悟　(1)空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一平面內(nèi)且兩直線沒有公共點．②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行． (2)“等角”定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，在實際應(yīng)用時，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點． 求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1.

6、 考點　空間等角定理 題點　判斷、證明角的關(guān)系 證明　(1)如圖 ，連接AC， 在△ACD中， ∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點， ∴MN是△ACD的中位線， ∴MN∥AC，MN＝AC. 由正方體的性質(zhì)得 AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1， ∴四邊形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)． 而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 類型二　異面直線 命題角度1　異面直線的判定 例2　(1)若a，b是異

7、面直線，b，c是異面直線，則a，c的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．相交或平行 C．平行或異面 D．相交、平行或異面 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　D 解析　異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a，b異面，直線c的位置可如圖所示． (2)如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？ 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 解　由異面直線的定義可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線． 反思與感悟　判斷兩直線是否為異面直線，只需判斷它們

8、是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是異面直線． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)在四棱錐P－ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對． 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　8 解析　與AB異面的有側(cè)棱PD和PC，同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側(cè)棱，故共有異面直線4×2＝8(對)． (2)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？ 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 解　還原的正方體如圖所示． 異面直線有三對，分別為AB與CD， AB與GH，EF與

9、GH. 命題角度2　求異面直線所成的角 例3　在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。? 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 解　如圖所示，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G， 則EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD， 由AB＝CD知EG＝FG， 從而可知∠GEF為EF與AB所成角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成角． ∵AB與CD所成角為30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG為等腰三角形， 當(dāng)∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°， 當(dāng)

10、∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°， 故EF與AB所成角的大小為15°或75°. 反思與感悟　(1)異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點O常選取兩異面直線中其中一個線段的端點或中點或幾何體中的某個特殊點． (2)求異面直線所成的角的一般步驟： ①作角：平移成相交直線． ②證明：用定義證明前一步的角為所求． ③計算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面A′B′C′D′與AA′D′D的中心，則EF與CD所成角的大小是____

11、____． 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 答案　45° 解析　連接B′D′，則E為B′D′的中點，連接AB′，則EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB為異面直線EF與CD所成的角，即∠B′AB＝45°. 1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是(　　) A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　B 解析　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直

12、線，故選B. 2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，則∠A′O′B′為(　　) A．130° B．50° C．130°或50° D．不能確定 考點　空間等角定理 題點　利用等角定理求角 答案　C 解析　根據(jù)定理，∠A′O′B′與∠AOB相等或互補(bǔ)，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°. 3．下列四個結(jié)論中錯誤的個數(shù)是(　　) ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行； ②平行于同一直線的兩直線平行； ③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c； ④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線． A．

13、1 B．2 C．3 D．4 考點　 題點　 答案　B 解析?、佗芫鶠殄e誤結(jié)論．①可舉反例，如a，b，c三線兩兩垂直． ④如圖甲所示，c，d與異面直線l1，l2交于四個點，此時c，d異面； 當(dāng)點A在直線l1上運動(其余三點不動)時，會出現(xiàn)點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c，d共面相交． 4．如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號) 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　②④ 解析　①中，∵G，M是中點， ∴AG∥BM，AG＝BM， ∴GM∥AB，GM＝AB

14、，HN∥AB，HN＝AB， ∴四邊形GHNM是平行四邊形． ∴GH∥MN，即G，H，M，N四點共面； ②中，∵H，G，N三點共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點M顯然不在平面HGN內(nèi)， ∴H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面； ③中，∵G，M是中點，∴GM∥CD，GM＝CD， ∴GM∥HN，GM＝HN，即GMNH是梯形，則GH，MN必相交，∴H，G，M，N四點共面； ④中，同②，G，H，M，N四點不共面，即GH與MN異面． 5．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中． (1)求A1C1與B1C所成角的大??； (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成

15、角的大?。? 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 解　(1)如圖所示，連接AC，AB1. 由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形， ∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角． 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°， 即A1C1與B1C所成的角為60°. (2)如圖所示，連接BD.由(1)知AC∥A1C1， ∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角． ∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1， 即A1C1與

16、EF所成的角為90°. 1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法． 2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經(jīng)常結(jié)合這一點去求異面直線所成角的大?。? 作異面直線所成的角．可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個相同的幾何體，以便找到平行線)． 一、

17、選擇題 1．如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是其所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是(　　) 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　C 解析　選項A，B中RS與PQ平行；選項D中RS與PQ相交，故選C. 2．兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形(　　) A．全等 B．不相似 C．僅有一個角相等 D．相似 考點　空間等角定理 題點　判斷、證明角的關(guān)系 答案　D 解析　由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應(yīng)相等，故選D. 3．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直

18、線c一定(　　) A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行 考點　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點　空間中直線與直線的位置關(guān)系的判定 答案　C 解析　若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面矛盾，故選C. 4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是(　　) A．空間四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 考點　平行公理 題點　判斷、證明線線平行 答案　B 解析　如圖，易證四邊形EFGH為平行四邊形． 又∵E，F(xiàn)分別為AB，

19、BC的中點， ∴EF∥AC. 又∵FG∥BD， ∴∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角． 而AC與BD所成的角為90°， ∴∠EFG＝90°， 故四邊形EFGH為矩形． 5.如圖所示，已知在正方體ABCD—A1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不正確的是(　　) A．l與AD平行 B．l與AB異面 C．l與CD所成角為30° D．l與BD垂直 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　A 6.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是(　　)

20、A．CC1與B1E是異面直線 B．C1C與AE共面 C．AE與B1C1是異面直線 D．AE與B1C1所成的角為60° 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　C 解析　由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．綜上所述，故選C. 7．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D

21、1中，異面直線A1B與AD1所成的角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 答案　C 解析　如圖，連接BC1，A1C1. ∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角． 在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1， ∴∠A1BC1＝60°. 故異面直線A1B與AD1所成的角為60°. 8．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是異面直線 D．平行、相交或異面都有可能 考點　空間中直線

22、與直線的位置關(guān)系 題點　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定 答案　D 解析　當(dāng)a，b，c共面時，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交． 二、填空題 9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論為________．(填序號) 考點　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定 答案?、邰? 解析　直線AM與CC1是異面直線，直線AM與B

23、N也是異面直線，故①②錯誤；③④正確． 10．在空間四邊形ABCD中，如圖所示，＝，＝，則EH與FG的位置關(guān)系是________． 考點　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定 答案　平行 解析　如圖，連接BD，在△ABD中，＝， 則EH∥BD， 同理可得FG∥BD. ∴EH∥FG. 11．如果兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐所在的12條直線中，異面直線共有________對． 考點　異面直線的判定 題點　異面直線的判定 答案　24 解析　六條側(cè)棱不是異面直線，一條側(cè)棱與底面六邊形的兩邊相交，與另四條邊異面，這樣異面直線一共有4×

24、6＝24(對)． 12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， (1)AC與DD1所成的角為________； (2)AC與D1C1所成的角為________． 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 答案　(1)90°　(2)45° 解析　(1)DD1和AC是異面直線，因為AA1∥DD1，所以∠A1AC為DD1和AC所成的角．因為AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°. (2)因為DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°. 三、解答題 13.如圖所示

25、，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥AF，BE＝AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)判斷C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？ 考點　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定的應(yīng)用 (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD， 可得GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD， ∴GH∥BC，GH＝BC， ∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)解　C，D，F(xiàn)，E四點共面，理由如下： 由BE∥AF，BE＝AF，G為FA的中點知，BE∥

26、GF，BE＝GF， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，BG＝CH， ∴EF∥CH，∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面． 四、探究與拓展 14.如圖，在三棱錐D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點，則EF和AC所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 答案　B 解析　如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG. ∵E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點， ∴FG∥AC，EG∥BD， 且FG＝AC，E

27、G＝BD. 又∵AC＝BD，∴FG＝EG， ∴∠EFG為EF與AC所成的角或其補(bǔ)角． ∵AC⊥BD，∴FG⊥EG， ∴∠FGE＝90°， ∴△EFG為等腰直角三角形， ∴∠EFG＝45°，即EF與AC所成的角為45°. 15.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值． 考點　異面直線所成的角 題點　求異面直線所成的角 解　如圖所示，把三棱柱補(bǔ)為四棱柱ABDC－A1B1D1C1， 連接BD1，A1D1，AD， 由四棱柱的性質(zhì)知BD1∥AC1， 則∠A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角． 設(shè)AB＝a， ∵AA1與AC，AB所成的角均為60°， 且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a. 又∠BAC＝90°， ∴在矩形ABDC中，AD＝a， ∴A1D1＝a， ∴A1D＋A1B2＝BD， ∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝. 17