《(江蘇專(zhuān)版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第44講 不等式的綜合應(yīng)用學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專(zhuān)版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第44講 不等式的綜合應(yīng)用學(xué)案 理(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第44講 不等式的綜合應(yīng)用
考試要求 掌握解決不等式綜合問(wèn)題的方法(C級(jí)要求).
診 斷 自 測(cè)
1.(必修5P102習(xí)題7改編)函數(shù)y=x+(x≠0)的值域是________.
解析 當(dāng)x>0時(shí),y=x+≥2=4;
當(dāng)x<0時(shí),y=x+=-≤
-2=-4.
答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)
2.(必修5P106復(fù)習(xí)題16改編)已知x>0,y>0且滿(mǎn)足+=1,則x+y的最小值是________ .
解析 ∵ x+y=(x+y)·1=(x+y)=2+8++,x>0,y>0,∴>0,>0,x+y≥10+2=18,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立,又+=1,∴當(dāng)x=6,y=12時(shí),x
2、+y有最小值18.
答案 18
3.(必修5P98練習(xí)2(2)改編)若正數(shù)a,b滿(mǎn)足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是________.
解析 由a,b∈R*,得a+b≥2,則ab=a+b+3≥2+3,即ab-2-3≥0?(-3)(+1)≥0?≥3,∴ ab≥9.
答案 [9,+∞)
4.設(shè)x∈R,f(x)=,若不等式f(x)+f(2x)≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
解析 不等式化為k≥+,因?yàn)椤?0,1],所以k≥2.
答案 k≥2
5.(必修5P102習(xí)題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價(jià).方案甲:第一次提價(jià)p%,第二次提價(jià)q%;
3、方案乙:第一次提價(jià)q%,第二次提價(jià)p%;方案丙:第一次提價(jià)%,第二次提價(jià)%.其中p>q>0,上述三種方案中提價(jià)最多的是________.
解析 設(shè)原來(lái)價(jià)格為A,方案甲:經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A=A;方案乙:經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A;方案丙:經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A=A.因?yàn)?,所以方案丙提價(jià)最多.
答案 方案丙
考點(diǎn)一 含參數(shù)的不等式問(wèn)題
【例1】 若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有-2,求k的取值范圍.
解 由x2-x-2>0有x<-1或x>2,
由2x2+(5+2k)x+5k<0有(2x+5)(x+k)<0,
因?yàn)椋?是原不等式組的解,所以k<2.
由(2x+5)(x+k)<0有-<
4、x<-k.
因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有-2,
所以-2<-k≤3,即-3≤k<2,
故k的取值范圍是[-3,2).
【訓(xùn)練1】 已知函數(shù)f(x)=lg[(m2-3m+2)x2+(m-1)x+1]的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 ∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,∴對(duì)于任意x∈R,恒有(m2-3m+2)x2+(m-1)x+1>0.
①若m2-3m+2=0,則m=2或1.
當(dāng)m=1時(shí),不等式即為1>0,符合題意;
當(dāng)m=2時(shí),不等式即為x+1>0,對(duì)任意x∈R不恒成立,
∴ m=2不合題意,舍去.
②若m2-3m+2≠0,由題意得
解得即m<1或m>.
綜上可得,m的取
5、值范圍是(-∞,1]∪.
考點(diǎn)二 基本不等式的靈活運(yùn)用
【例2】 設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù),且+=1,則xy的最小值為_(kāi)_______.
解析 由+=1,得xy=8+x+y.
∵ x,y均為正實(shí)數(shù),∴xy=8+x+y≥8+2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立),即xy-2-8≥0,解得≥4,即xy≥16.故xy的最小值為16.
答案 16
【訓(xùn)練2】 設(shè)實(shí)數(shù)n≤6,若不等式2xm+(2-x)n-8≥0對(duì)任意x∈[-4,2]都成立,則的最小值為_(kāi)_______.
解析 設(shè)f(x)=2xm+(2-x)n-8=(2m-n)x+(2n-8)為關(guān)于x的一次函數(shù).
由題設(shè)得即
作出不等式組所表示的可行
6、域如圖所示,
設(shè)=t,則t表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)所連線段的斜率,可得≤t≤3.
g(t)==-t3在≤t≤3上為減函數(shù),
所以-≤g(t)≤-.
故的最小值為-.
答案?。?
考點(diǎn)三 多元最值問(wèn)題
【例3】 (1)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿(mǎn)足b+c≤3a,則的取值范圍為_(kāi)_______.
(2)設(shè)a,b,c均為正數(shù),滿(mǎn)足a-2b+3c=0,則的最小值是________.
解析 (1)由已知及三角形三邊關(guān)系得
∴
∴
兩式相加得0<2×<4,
∴的取值范圍為(0,2).
(2)∵a-2b+3c=0,∴b=,
∴=≥=3,
當(dāng)且僅當(dāng)a=3c時(shí)取
7、“=”.
答案 (1)(0,2) (2)3
考點(diǎn)四 不等式與函數(shù)、三角、向量等知識(shí)的結(jié)合
【例4】 (一題多解)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若B=C且7a2+b2+c2=4,則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______.
解析
如圖,在△ABC中,設(shè)D為BC的中點(diǎn),則AD⊥BC.
法一 由題知b=c,
則7a2+2b2=4,
所以b2=2-a2,
所以△ABC的面積S=a=a
=··
≤·=,當(dāng)且僅當(dāng)a2=2-a2,
即a2=時(shí)取等號(hào),所以△ABC的面積最大值為.
法二 設(shè)BD=CD=m,AD=n,
則由已知得7(2m)2+2(m2+n2)
8、=4,
所以15m2+n2=2≥2mn,
所以mn≤,當(dāng)且僅當(dāng)15m2=n2時(shí)取等號(hào),
此時(shí)m2=,所以△ABC面積的最大值為.
答案
一、必做題
1.已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=x+(x>1)的最小值為3,則a的值為_(kāi)_______.
解析 f(x)=x-1++1≥2+1=3,則a=1.
答案 1
2.若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x>y>0,且log2x+log2y=1,則的最小值為_(kāi)_______.
解析 由log2x+log2y=1,得xy=2,===x-y+≥4,則的最小值為4.當(dāng)且僅當(dāng)x=+1,y=-1時(shí)取等號(hào).
答案 4
3.(2017·鎮(zhèn)江期末)函數(shù)y=asi
9、n(ax+θ)(a>0,θ≠0)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)和其相鄰最低點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_______.
解析 函數(shù)的周期T為,則=,最高點(diǎn)和其相鄰最低點(diǎn)的距離為2=≥=2.
答案 2
4.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前2 011項(xiàng)和等于2 011,則+的最小值為_(kāi)_______.
解析 由題意得S2 011==2 011,
∴a1+a2 011=2.又a2+a2 010=a1+a2 011=2,
∴+=(a2+a2 010)
=+1≥2.
答案 2
5.(2017·蘇北四市三模)若對(duì)于任意x>0,≤a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析?。?,
因?yàn)閤>0,所以x+
10、≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),
則≤=,
即的最大值為,故a≥.
答案
6.(一題多解)設(shè)P(x,y)為函數(shù)y=x2-1(x>)圖象上一動(dòng)點(diǎn),記m=+,則當(dāng)m取最小值時(shí),點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
解析 法一 m=+=6++,因?yàn)閤>,所以x2-3>0,x-1>0,
所以m≥6+2=8.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時(shí),m取得最小值,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).
法二 m=+=6++,因?yàn)閤>,所以y>2,
所以y-2>0,x-1>0,所以m≥8.
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),m取得最小值,下同法一.
答案 (2,3)
7.函數(shù)f(x)=ax2-2(a-3)x+a-2中,a為負(fù)整數(shù)
11、,則使函數(shù)至少有一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)的所有a值的和為_(kāi)_______.
解析 由ax2-2(a-3)x+a-2=0得a(x-1)2=2-6x,顯然x=1不成立,所以x≠1,所以a=.因?yàn)閍為負(fù)整數(shù),所以x>且(x-1)2<6x-2,解得4-
12、x,y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則+的最小值為_(kāi)_______.
解析 不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.由z=ax+by得y=-x+,當(dāng)z變化時(shí),它表示經(jīng)過(guò)可行域的一組平行直線,其斜率為-,在y軸上的截距為,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,6)時(shí),在y軸上的截距最大,從而z也最大,所以4a+6b=12,即2a+3b=6,所以+=·=≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=1時(shí)等號(hào)成立.所以+的最小值為4.
答案 4
10.已知1≤lg xy≤4,-1≤lg≤2,求lg的取值范圍.
解 由1≤lg xy≤4,-1≤lg ≤2,
得
13、1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2,
而lg =2lg x-lg y=(lg x+lg y)+(lg x-lg y),
所以-1≤lg ≤5,
即lg 的取值范圍是[-1,5].
二、選做題
11.北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì),某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言,決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元,年銷(xiāo)售8萬(wàn)件.
(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2 000件,要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最高為多少元?
(2)為了抓住申奧契機(jī),擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷(xiāo)售量,公司決定
14、立即對(duì)該商品進(jìn)行技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革,并提高定價(jià)到x元,公司擬投入(x2-600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用,投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用,投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn):當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).
解 (1)設(shè)每件定價(jià)為t元,
依題意得(8-×0.2)t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.
所以要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最高為40元.
(2)依題意知x>25,
且ax≥25×8+50+(x2-600)+x,
等價(jià)于a≥+x+(x>25).
15、由于+x≥2=10,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a≥10.2.
當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.
12.(2017·大同期末)已知關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)·x-2≥0,a∈R.
(1)若不等式的解集為(-∞,-1]∪[2,+∞),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)解關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.
解 (1)因?yàn)閍x2+(a-2)x-2≥0的解集為(-∞,-1]∪[2,+∞)
16、,
所以方程ax2+(a-2)x-2=0的兩根為x=-1或x=2,
所以-1×2=,解得a=1.
(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3對(duì)任意x∈R恒成立,即(a-2)x2+(a-2)x+1≥0對(duì)任意x∈R恒成立.因此,①當(dāng)a=2時(shí),不等式變?yōu)?≥0,顯然成立;②當(dāng)a≠2時(shí),解得20時(shí),-1<,所以(x+1)(ax-2)≥0?x≤-1或x≥;
當(dāng)a<-2時(shí),-1<,所以(x+1)(ax-2)≥0?-1≤x≤;
當(dāng)a=-2時(shí),-1=,所以(x+1)(ax-2)≥0?(x+1)2≤0?x=-1;
當(dāng)-2,所以(x+1)(ax-2)≥0?≤x≤-1.
綜上可得,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x≤-1};
當(dāng)a>0時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)-2