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1、2022屆九年級數(shù)學下冊 小專題(八)圓中常見輔助線的作法練習 (新版)湘教版
圓中常見輔助線的添加口訣及技巧
半徑與弦長計算,弦心距來中間站.
圓上若有一切線,切點圓心半徑連.
要想證明是切線,半徑垂線仔細辨.
是直徑,成半圓,想成直角徑連弦.
弧有中點圓心連,垂徑定理要記全.
圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連.
還要作個內(nèi)切圓,內(nèi)角平分線夢圓.
三角形與扇形聯(lián)姻,巧妙陰影部分算.
一、連半徑——構(gòu)造等腰三角形
1.如圖,在⊙O中,AB為⊙O的弦,C,D是直線AB上的兩點,且AC=BD.求證:△OCD是等腰三角形.
證明:連接OA,OB.
∵OA,OB是⊙
2、O的半徑,
∴OA=OB.
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠OAC=∠OBD.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS).
∴OC=OD,即△OCD是等腰三角形.
二、半徑與弦長計算,弦心距來中間站
在圓中,求弦長、半徑或圓心到弦的距離時,常過圓心作弦的垂線段,再連接半徑構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理進行計算.在弦長、弦心距、半徑三個量中,已知任意兩個可求另一個.
2.如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1 m,其中水面的寬AB為0.8 m,求排水管內(nèi)水的深度.
解:過點O作OC⊥AB,垂足為C,交⊙O于點D,E,連接OA.
OA=0.5 m
3、,AB=0.8 m.
∵OC⊥AB,
∴AC=BC=0.4 m.
在Rt△AOC中,
OA2=AC2+OC2,
∴OC=0.3 m,則CE=0.3+0.5=0.8(m).
答:排水管內(nèi)水的深度為0.8m.
三、見到直徑——構(gòu)造直徑所對的圓周角
構(gòu)造直徑所對的圓周角,這是圓中常用的輔助線作法,可充分利用“半圓(或直徑)所對的圓周角是直角”這一性質(zhì).
3.如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD與AB相交于點E.∠ACD=60°,∠ADC=50°,求∠CEB的度數(shù).
解:連接BD.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
又∵∠ADC=50°,
∴∠CDB=∠ADB
4、-∠ADC
=40°.
∵=
∴∠CDB=∠CAB=40°.
∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=40°+60°=100°.
四、有圓的切線時,常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑
已知圓的切線時,常把切點與圓心連接起來,得半徑與切線垂直,構(gòu)造直角三角形,再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題.
4.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F,切點為G,連接AG交CD于點K.求證:KE=GE.
證明:連接OG.
∵FE切⊙O于點G,
∴∠OGE=90°.
∴∠OGA+∠AGE=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠OAK+∠A
5、KH=90°.
又∵∠AKH=∠GKE,
∴∠OAK+∠GKE=90°.
∵OG=OA,∴∠OGA=∠OAG.
∴∠KGE=∠GKE.
∴KE=GE.
五、“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”——判定直線與圓相切
證明一條直線是圓的切線,當直線與圓有公共點時,只需“連半徑、證垂直”即可;當已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時,常運用“d=r”進行判斷,輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線,證明垂線段的長等于半徑.
5.如圖,點A,B,C分別是⊙O上的點,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直徑,P是CD延長線上的一點,且AP=AC.求證:AP是⊙O的切線.
證明:連接
6、OA. ∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°.
又∵OA=OC,
∴∠ACP=∠CAO=30°.
∴∠AOP=60°.
又∵AC=AP,
∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°.∴OA⊥AP.
又∵OA為⊙O的半徑,
∴AP是⊙O的切線.
6.如圖,△ABC為等腰三角形,AB=AC,O是底邊BC的中點,⊙O與腰AB相切于點D,求證:AC與⊙O相切.
證明:連接OD,過點O作OE⊥AC于點E,則∠OEC=90°.
∵AB切⊙O于點D,
∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90°.
∴∠ODB=∠OEC.
又∵O是BC的中點,∴OB=OC.
∵A
7、B=AC,
∴∠B=∠C.
∴△OBD≌△OCE(AAS).
∴OE=OD,即OE是⊙O的半徑.
∴AC與⊙O相切.
六、內(nèi)切圓,連接內(nèi)角平分線把夢圓
利用內(nèi)心與頂點的連線平分這個內(nèi)角以及三角形的外角,同弧所對的圓周角相等進行角的轉(zhuǎn)換.
7.如圖,在△ABC中,E是內(nèi)心,AE的延長線交△ABC的外接圓于點D.求證:DE=DB.
證明:連接BE.
∵E為△ABC的內(nèi)心,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠DAC.
∵∠DEB=∠ABE+∠BAD,
∠DBE=∠CBE+∠DBC,
而∠DBC=∠DAC=∠BAD,
∴∠DEB=∠DBE.
∴DE=DB
8、.
七、構(gòu)造扇形與三角形,化不規(guī)則圖形的面積為規(guī)則圖形的面積
通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形,在等積轉(zhuǎn)化中,(1)可以根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等圖形變換;(2)可根據(jù)同底(等底)同高(等高)的三角形面積相等進行轉(zhuǎn)化.
8.如圖,A是半徑為2的⊙O外一點,OA=4,AB是⊙O的切線,B為切點,弦BC∥OA,連接AC,求陰影部分的面積.
解:連接OB,OC.
∵BC∥OA,
∴△OBC和△ABC同底等高.
∴S△ABC=S△OBC.
∴S陰影=S扇形OBC.
∵AB是⊙O的切線,∴OB⊥AB.
∵OA=4,OB=2,∴∠AOB=60°.
∵BC∥OA,∴∠AOB=∠OBC=60°.
∵OB=OC,∴△OBC為等邊三角形.
∴∠COB=60°.
∴S陰影=S扇形OBC==.