6、只需證(a＋c)2－ac<3a2，只需證－2a2＋ac＋c2<0，即證2a2－ac－c2>0，即證(a－c)·(2a＋c)>0，即證(a－c)(a－b)>0.
8．某同學(xué)在紙上畫出如下若干個三角形：
△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……
若依此規(guī)律，得到一系列的三角形，則在前2 015個三角形中▲的個數(shù)是( )
A．62 B．63
C．64 D．61
考點 歸納推理的應(yīng)用
題點 歸納推理在圖形中的應(yīng)用
答案 A
解析 前n個▲中所包含的所有三角形的個數(shù)是1＋2＋3＋…＋n＋n＝，由＝2 015，解得n＝62.
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n
7、×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為( )
A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝
C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c
考點 數(shù)學(xué)歸納法定義及原理
題點 數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基
答案 A
解析 令n＝1,2,3，
得
所以a＝，b＝c＝.
10．用反證法證明命題“＋是無理數(shù)”時，假設(shè)正確的是( )
A．假設(shè)是有理數(shù) B．假設(shè)是有理數(shù)
C．假設(shè)或是有理數(shù) D．假設(shè)＋是有理數(shù)
考點 反證法及應(yīng)用
題點 如何正確進行反設(shè)
答案 D
解析 應(yīng)對結(jié)論進行否定，則＋不是無理數(shù)，
即＋是有理數(shù)．
11
8、．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有( )
①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
考點 類比推理的應(yīng)用
題點 平面幾何與立體幾何之間的類比
答案 C
解析 類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知，①③一定屬于相似體．
12．設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2 016等于( )
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
9、
3
5
2
A.1 B．2
C．4 D．5
考點 歸納推理的應(yīng)用
題點 歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用
答案 D
解析 x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，x6＝f(2)＝1，x7＝f(1)＝4，x8＝f(4)＝5，x9＝f(5)＝2，…，所以數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列，所以x2 016＝x4＝5，故選D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋3＋…＋n2＝”時，從n＝k到n＝k＋1，等式左端需要增加的代數(shù)式為_________________
10、_______．
考點 數(shù)學(xué)歸納法定義及原理
題點 數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析 當(dāng)n＝k時，等式的左端為1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時，等式的左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m，n的大小關(guān)系是________．
考點 綜合法及應(yīng)用
題點 利用綜合法解決不等式問題
答案 m>n
解析 ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?(＋)2>()2?＋>?>?lg>lg.
15．古埃及數(shù)學(xué)中有一個獨特現(xiàn)象：除了用一個單獨的符號表示以外
11、，其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個分?jǐn)?shù)和的形式，例如＝＋.可以這樣來理解：假定有2個面包，要平均分給5個人，每人分將剩余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得＋.同理可得＝＋，＝＋，…，按此規(guī)律，則＝________，＝________(n＝5,7,9,11，…)．
考點 歸納推理的應(yīng)用
題點 歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用
答案?。。?
解析 由＝＋，＝＋，＝＋得，當(dāng)n＝5,7,9時，等號右邊第一個分?jǐn)?shù)的分母分別為3,4,5，第二個分?jǐn)?shù)的分母分別是等號左邊分?jǐn)?shù)的分母與等號右邊第一個分?jǐn)?shù)分母的乘積．
16.現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在
12、另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．
考點 類比推理的應(yīng)用
題點 平面幾何與立體幾何之間的類比
答案
解析 解法的類比(特殊化)，可得兩個正方體重疊部分的體積為.
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)1，，2能否為同一等差數(shù)列中的三項？說明理由．
考點 反證法及應(yīng)用
題點 反證法的應(yīng)用
解 假設(shè)1，，2能為同一等差數(shù)列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設(shè)公差為d，則1＝－md,2＝＋nd，m，n為兩個正整數(shù)，消去d得m＝(＋1
13、)n.
∵m為有理數(shù)，(＋1)n為無理數(shù)．
∴左邊為有理數(shù)，右邊為無理數(shù)，m＝(＋1)n不成立，矛盾．
∴假設(shè)不成立，即1，，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項．
18．(12分)已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－a2＋ab，因為a>0，所以只需證2c>a＋b.
因為2c>a＋b已知，所以原不等式成立．
19．(12分)已知A，B都是銳角，且A＋B≠
14、90°，(1＋tan A)·(1＋tan B)＝2.求證：A＋B＝45°.
考點 綜合法及應(yīng)用
題點 利用綜合法解決函數(shù)問題
證明 因為(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，
展開化簡為tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
因為A＋B≠90°，tan(A＋B)＝＝1，
又因為A，B都是銳角，
所以0°
15、請從以上三個式子中任選一個，結(jié)合此范圍，驗證其正確性(注意不能近似計算)；
(2)請將此規(guī)律推廣至一般情形，并證明．
考點 歸納推理的應(yīng)用
題點 歸納推理在數(shù)對(組)的應(yīng)用
解 (1)驗證①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般結(jié)論為：若n∈N*，
則＋<2，證明如下：
要證＋<2，
只需證(＋)2<(2)2，
即證2n＋2＋2·<4n＋4，
即證·
16、引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相應(yīng)各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有＋＋＝1.請你運用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論．
考點 類比推理的應(yīng)用
題點 平面幾何與立體幾何之間的類比
解 類比結(jié)論：從四面體內(nèi)部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應(yīng)各面上的高分別為ha，hb，hc，hd.
則有＋＋＋＝1.
證明：＝
＝，
同理有＝，＝，＝，
又VP－BCD＋VP－CDA＋VP－BDA＋VP－ABC＝VA－BCD，
∴＋＋＋＝＝1.
22．(12分)已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函數(shù)f(
17、x)的表達式．
(2)已知數(shù)列{xn}的項滿足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，試求x1，x2，x3，x4.
(3)猜想{xn}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
考點 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題
題點 利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題
解 (1)∵f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，
∴
解得a＝1，b＝0，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2)x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝[1－f(1)][1－f(2)]＝×＝，
x3＝(1－f(3))＝×＝，
x4＝×＝.
(3)由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，
x4＝＝，…，
由此可以猜想xn＝.
證明：①當(dāng)n＝1時，
∵x1＝，而＝，
∴猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，xn＝成立，
即xk＝，則當(dāng)n＝k＋1時，
xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·(1－f(k＋1))
＝xk·(1－f(k＋1))
＝·
＝·
＝·＝.
∴當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立，
根據(jù)①②可知，對一切n∈N*，猜想xn＝都成立．
2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測試卷 新人教A版選修2-2
