9、∞)上為減函數(shù)且f(1)=0,
所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.
因?yàn)槠婧瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以在(-∞,0)上f(x)為減函數(shù)且f(-1)=0,
即x<-1時(shí),f(x)>0.
綜上使<0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
15.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x)
10、)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(x+y)=f(x)+
f(y)+,且f()=0,當(dāng)x>時(shí),f(x)>0.給出以下結(jié)論:
①f(0)=-;②f(-1)=-;③f(x)為R上的減函數(shù);④f(x)+為奇函數(shù);⑤f(x)+1為偶函數(shù).其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .?
解析:令x=y=0,代入可得f(0)=2f(0)+,
因此f(0)=-,①對(duì);令x=-y=,
代入可得f(0)=f()+f(-)+,
即-=0+f(-)+,因此f(-)=-1,
再令x=y=-,代入可得
f(-1)=f(-)+f(-)+=-,因此②對(duì);
令y=-1,代入可得f(x-1)=f(x)+f(-1)+,
11、
即f(x-1)-f(x)=f(-1)+=-1<0,
因此f(x-1)
12、f(x)=x2+ax+b的對(duì)稱軸為x=-,所以-=1,所以a=-2.
(2)若f(x)過(guò)(2,0)點(diǎn),所以f(2)=0.
所以22-2×2+b=0,所以b=0,所以f(x)=x2-2x.
當(dāng)x=1時(shí)f(x)最小為f(1)=-1,當(dāng)x=3時(shí),f(x)最大為f(3)=3,
所以f(x)在[0,3]上的值域?yàn)閇-1,3].
18.(本小題滿分10分)
已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1,-3≤x≤3.
(1)證明:f(x)是偶函數(shù);
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)的值域.
(1)證明:因?yàn)?3≤x≤3,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
因?yàn)閒(-x)=(-x)2-2|
13、-x|-1=f(x),
所以f(x)為偶函數(shù).
(2)解:f(x)=
函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-1,0],[1,3];單調(diào)減區(qū)間為[-3,-1],[0,1].
(3)當(dāng)x=±3時(shí),f(x)max=2,當(dāng)x=±1時(shí),f(x)min=-2,故f(x)的值域?yàn)閇-2,2].
19.(本小題滿分10分)
已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),且其定義域?yàn)閇m-1,2m].
(1)求m,n的值.
(2)求函數(shù)f(x)在其定義域上的最大值.
解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),
所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
又
14、因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇m-1,2m].
所以m-1+2m=0,
解得m=.
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),
所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,
解得n=0.
(2)由(1)得函數(shù)的解析式為f(x)=x2+1,
定義域?yàn)閇-,],
其圖象是開口向上,且以y軸為對(duì)稱軸的拋物線,
所以當(dāng)x=±時(shí),f(x)取最大值.
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),滿足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值.
解:(1)由f(0)=2,得c=2,
又f(x+1)-f(x)=2x-1,
得2ax+a+b=2x-1,
故解得a=1,b=-2.
所以f(x)=x2-2x+2.
(2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=1,且開口向上,
所以f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),
單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).
(3)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
對(duì)稱軸為x=1∈[-1,2],
故f(x)min=f(1)=1,
又f(-1)=5,f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.