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2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課下層級訓(xùn)練34 合情推理與演繹推理(含解析)文 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課下層級訓(xùn)練34 合情推理與演繹推理(含解析)文 新人教A版 1.命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”過程應(yīng)用了(  ) A.分析法        B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 B [結(jié)合推理及分析法和綜合法的定義可知,B正確.] 2.給出下列三個類比結(jié)論: ①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=

2、logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是(  ) A.0    B.1    C.2     D.3 B [(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①錯誤.sin(α+β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=,故②錯誤.由向量的運算公式知③正確.] 3.某人進行了如下的“三段論”:如果f′(x0)=0,則x=x0是函數(shù)f(x)的極值點

3、,因為函數(shù)f(x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值f′(0)=0,所以x=0是函數(shù)f(x)=x3的極值點.你認(rèn)為以上推理的(  ) A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.結(jié)論正確 A [若f′(x0)=0,則x=x0不一定是函數(shù)f(x)的極值點,如f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是極值點,故大前提錯誤.] 4.對于數(shù)25,規(guī)定第1次操作為23+53=133,第2次操作為13+33+33=55,如此反復(fù)操作,則第2 014次操作后得到的數(shù)是(  ) A.25 B.250 C.55 D.133 D [由題意知,第3次操作為53+53=250,第4次操作為23+5

4、3+03=133,第5次操作為13+33+33=55,…. 因為每次操作后的得數(shù)呈周期排列,且周期為3,又2 014=671×3+1,故第2 014次操作后得到的數(shù)是133.] 5.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知,若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達式應(yīng)為(  ) A.dn= B.dn= C.dn= D.dn= D [若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}為等差數(shù)列;若{cn}是等比數(shù)列,則c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,∴d

5、n==c1·q,即{dn}為等比數(shù)列.] 6.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示,按照圖中的規(guī)律,第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為__________. 6n+2 [由題意知,第1個圖中有8根火柴棒,第2個圖中有8+6根火柴棒,第3個圖中有8+2×6根火柴棒,……,依此類推,第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為8+6(n-1)=6n+2.] 7.已知x∈(0,+∞),觀察下列各式: x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,類比得x+≥n+1(n∈N*),則a=__________. nn [第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時a=22=4;第三

6、個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.] 8.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時, 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一個城市. 由此可判斷乙去過的城市為__________. A [由甲、乙的回答易知甲去過A城市和C城市,乙去過A城市或B城市,結(jié)合丙的回答可得乙去過A城市.] 9.在銳角三角形ABC中,求證:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 證明 ∵△ABC為銳角三角形, ∴A+B>,∴A>-B, ∵y=sin x在上是增函數(shù), ∴sin

7、 A>sin=cos B, 同理可得sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 10.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值. (1)證明 ∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)解 ∵a,b,c成等比

8、數(shù)列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cosB==≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立.∴cosB的最小值為. [B級 能力提升訓(xùn)練] 11.(2018·寧夏銀川期末)將正整數(shù)排列如下: 1 2  3  4 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 … 則圖中數(shù)2 016出現(xiàn)在(  ) A.第44行第81列 B.第45行第81列 C.第44行第80列 D.第45行第80列 D [由題意可知第n行有2n-1個數(shù),則前n行的數(shù)的個數(shù)為1+3+5+…+(2n-1)=n2,因為442=1 936,452=2 025,且1 936<2 016

9、<2 025,所以2 016在第45行,又第45行有2×45-1=89個數(shù),2 016-1 936=80,故2 016在第45行第80列.] 12.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程,比如在中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個定值x,這可以通過方程=x確定x=2,則1+=(  ) A. B. C. D. C [設(shè)1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=(x=舍),故1+=.] 13.(2016·全國卷Ⅱ)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三

10、人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是__________. 1和3 [由丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知,丙為“1和2”或“1和3”,又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,所以乙只可能為“2和3”,所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,所以甲只能為“1和3”.] 14.(2019·浙江紹興月考)已知cos =, cos cos =, cos cos cos =, …… (1)根據(jù)以上等式,可猜想出的一般結(jié)論是__

11、________; (2)若數(shù)列{an}中,a1=cos ,a2=cos cos ,a3=cos cos cos ,…,前n項和Sn=,則n=__________. (1)cos cos ·…·cos =(n∈N*) (2)10 [(1)從題中所給的幾個等式可知,第n個等式的左邊應(yīng)有n個余弦相乘,且分母均為2n+1,分子分別為π,2π,…,nπ,右邊應(yīng)為,故可以猜想出結(jié)論為cos ·cos ·…·cos =(n∈N*). (2)由(1)可知an=,故Sn==1-==,解得n=10.] 15.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體ABCD中,類比上述結(jié)論,

12、你能得到怎樣的猜想,并說明理由. 解 如圖,由射影定理得 AD2=BD·DC,AB2=BD·BC, AC2=DC·BC, 故+=+===. 在四面體A-BCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AH⊥底面BCD,垂足為H. 則=++. 證明:連接BH并延長交CD于E,連接AE. ∵AB,AC,AD兩兩垂直, ∴AB⊥平面ACD,又∵AE?平面ACD, ∴AB⊥AE,在Rt△ABE中, =+① 又易證CD⊥AE, 故在Rt△ACD中,=+② 把②式代入①式,得=++. 16.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù): ①sin213°+co

13、s217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解 (1)選擇②式,計算如下:sin215°+cos2 15°-sin15°cos 15°=1-sin 30°=1-=. (2)

14、三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=. 證明如下: 法一:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2 -sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α =sin2α+cos2α=. 法二:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =+-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α) -sin αcos α-sin2α =-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α -(1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos 2α=.

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