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2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 中檔題保分練(一)理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 中檔題保分練(一)理 1.(2018·海淀區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=,2Sn=Sn-1+1(n≥2,n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)記bn=an(n∈N*),求{}的前n項(xiàng)和Tn. 解析:(1)當(dāng)n=2時(shí),由2Sn=Sn-1+1及a1=,得2S2=S1+1,即2a1+2a2=a1+1,解得a2=.又由2Sn=Sn-1+1,① 可知2Sn+1=Sn+1,② ②-①得2an+1=an,即an+1=an(n≥2),且n=1時(shí),=適合上式, 因此數(shù)列{an}是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,故an=(n

2、∈N*). (2)由(1)及bn=an(n∈N*) ,可知bn=logn=n, 所以==-, 故Tn=++…+==1-=. 2.(2018·濱州模擬)在如圖所示的幾何體ABCDEF中,底面ABCD為菱形,AB=2a,∠ABC=120?,AC與BD相交于O點(diǎn),四邊形BDEF為直角梯形,DE∥BF,BD⊥DE,DE=2BF=2a,平面BDEF⊥底面ABCD. (1)證明:平面AEF⊥平面AFC; (2)求二面角E-AC-F的余弦值. 解析:(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以AC⊥BD, 又平面BDEF⊥底面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD, 因此AC⊥平面BD

3、EF,從而AC⊥EF.又BD⊥DE,所以DE⊥平面ABCD, 由AB=2a,DE=2BF=2a,∠ABC=120?, 可知AF==a,BD=2a, EF==a,AE==2a, 從而AF2+EF2=AE2,故EF⊥AF. 又AF∩AC=A,所以EF⊥平面AFC. 又EF?平面AEF,所以平面AEF⊥平面AFC. (2)取EF中點(diǎn)G,由題可知OG∥DE,所以O(shè)G⊥平面ABCD,又在菱形ABCD中,OA⊥OB,所以分別以,,的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖所示), 則 O(0,0,0),A(a,0,0),C(-a,0,0),E(0,-a,2a),F(xiàn)(0,a

4、,a), 所以=(0,-a,2a)-(a,0,0)=(-a,-a,2a),=(-a,0,0)-(a,0,0)=(-2a,0,0),=(0,a,a)-(0,-a,2a)=(0,2a,-a). 由(1)可知EF⊥平面AFC,所以平面AFC的法向量可取為=(0,2a,-a). 設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z), 則即 即令z=,得y=4, 所以n=(0,4,). 從而cos〈n,〉===. 故所求的二面角E-AC-F的余弦值為. 3.(2018·綿陽模擬)某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力,經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動,經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后從該年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽

5、取100名學(xué)生進(jìn)行測試,并將其成績分為A、B、C、D、E五個等級,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示(視頻率為概率),根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),回答下列問題: (1)試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)锽的人數(shù); (2)若等級A、B、C、D、E分別對應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分,學(xué)校要求平均分達(dá) 90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”,請問該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)? (3)為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點(diǎn),現(xiàn)從A、B兩種級別中,用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本,再從中任意選取3個學(xué)生樣本分析,求這3個樣本為A級的個數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解析:(1)從條形圖中可知這

6、100人中,有56名學(xué)生成績等級為B, 所以可以估計(jì)該校學(xué)生獲得成績等級為B的概率為=, 則該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)約有800×=448. (2)這100名學(xué)生成績的平均分為×(32×100+56×90+7×80+3×70+2×60)=91.3, 因?yàn)?1.3>90,所以該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”已過關(guān). (3)由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本,其中A級4個,B級7個,從而任意選取3個,這3個為A級的個數(shù)ξ的可能值為0,1,2,3. 則P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 因此可得ξ的分布列為: ξ

7、0 1 2 3 P 則E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 4.請?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答 (選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),a>0),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4sin θ . (1)試將曲線C1與C2化為直角坐標(biāo)系xOy中的普通方程,并指出兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍; (2)當(dāng)a=3時(shí),兩曲線相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|. 解析:(1)曲線C1:,消去參數(shù)t可得普通方程為(x-3)2+(y-2)2=a2. 曲線C2:ρ=4sin θ,兩邊同乘ρ.可得普通方程為x2+

8、(y-2)2=4. 把(y-2)2=4-x2代入曲線C1的普通方程得:a2=(x-3)2+4-x2=13-6x, 而對C2有x2≤x2+(y-2)2=4,即-2≤x≤2,所以1≤a2≤25.故當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為[1,5]. (2)當(dāng)a=3時(shí),曲線C1:(x-3)2+(y-2)2=9, 兩曲線交點(diǎn)A,B所在直線方程為x=. 曲線x2+(y-2)2=4的圓心到直線x=的距離為d=, 所以|AB|=2=. (選修4-5:不等式選講)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|. (1)在下面給出的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并由圖象找出滿足不等式f(x)≤3的解集; (2)若函數(shù)y=f(x)的最小值記為m,設(shè)a,b∈R,且有a2+b2=m,試證明:+≥. 解析:(1)因?yàn)閒(x)=|2x-1|+|x+1|= 所以作出圖象如圖所示,并從圖可知滿足不等式f(x)≤3的解集為[-1,1]. (2)證明:由圖可知函數(shù)y=f(x)的最小值為,即m=.所以a2+b2=,從而a2+1+b2+1=, 從而+=[(a2+1)+(b2+1)]=≥=. 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號成立, 即a2=,b2=時(shí),有最小值, 所以+≥得證.

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