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1、高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程綜合檢測(cè) 新人教B版選修2-1
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.(xx·西安高二檢測(cè))雙曲線3x2-y2=9的焦距為( )
A. B.2
C.2 D.4
【解析】 方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,∴a2=3,b2=9.
∴c2=a2+b2=12,∴c=2,∴2c=4.
【答案】 D
2.(xx·荊州高二檢測(cè))對(duì)拋物線y=4x2,下列描述正確的是( )
A.開口向上,焦點(diǎn)為(0,1)
B.開口向上,焦點(diǎn)為(0,)
C.開口向右,焦點(diǎn)為(1,0)
2、
D.開口向右,焦點(diǎn)為(0,)
【解析】 拋物線可化為x2=y(tǒng),故開口向上,焦點(diǎn)為(0,).
【答案】 B
3.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1的離心率為,則n=( )
A. B.
C. D.
【解析】 依題意,a=,b=,
∴c2=a2-b2=2-n,
又e=,
∴==,∴n=.
【答案】 B
4.(xx·石家莊高二檢測(cè))設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|+|PF2|=a+(a>0),則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.橢圓 B.線段
C.橢圓或線段 D.不存在
【解析】 ∵a+≥2=6,故當(dāng)|PF1|+|PF2|=6時(shí),動(dòng)點(diǎn)P
3、表示線段F1F2,當(dāng)|PF1|+|PF2|>6時(shí),動(dòng)點(diǎn)P表示以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓.
【答案】 C
5.(xx·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))已知拋物線C1:y=2x2的圖象與拋物線C2的圖象關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,則拋物線C2的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=- B.x=
C.x= D.x=-
【解析】 拋物線C1:y=2x2關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的C2的表達(dá)式為-x=2(-y)2,即y2=-x,其準(zhǔn)線方程為x=.
【答案】 C
6.已知點(diǎn)F,A分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn),點(diǎn)B(0,b)滿足·=0,則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
4、
【解析】 ∵·=0,∴FB⊥AB,∴b2=ac,又b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0,兩邊同除以a2得,e2-1-e=0,∴e=.
【答案】 D
7.已知直線y=kx+1和橢圓x2+2y2=1有公共點(diǎn),則k的取值范圍是( )
A.k<-或k> B.-<k<
C.k≤-或k≥ D.-≤k≤
【解析】 由得(2k2+1)x2+4kx+1=0,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),故Δ=16k2-4(2k2+1)≥0,∴k≥或k≤-.
【答案】 C
8.若AB為過橢圓+=1中心的弦,F(xiàn)1為橢圓的焦點(diǎn),則△F1AB面積的最大值為( )
A.6 B.12
C.24 D
5、.48
【解析】 如圖S△F1AB=|OF1|·|yA-yB|≤c·2b
=×3×2×4=12.
【答案】 B
9.(xx·臨沂高二檢測(cè))若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為( )
A.2 B.3
C.6 D.8
【解析】 設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x0,y0),則有+=1,即y=3-x,O(0,0),F(xiàn)(-1,0),
則·=x0(x0+1)+y=x+x0+3
=(x0+2)2+2.
∵|x0|≤2,∴當(dāng)x0=2時(shí),·取得最大值為6.
【答案】 C
10.已知雙曲線中心在原點(diǎn),且一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),直線y=x-
6、1與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,則此雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】 由c=,得a2+b2=7.
∵焦點(diǎn)為F(,0),
∴可設(shè)雙曲線方程為-=1, ①
并設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2).
將y=x-1代入①并整理得
(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,
∴x1+x2=-,
由已知得-=-,解得a2=2,
得雙曲線方程為-=1.
【答案】 D
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.)
11.已知圓x2+y2=1,從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′,則線段P
7、P′的中點(diǎn)M的軌跡方程是________.
【解析】 設(shè)M(x,y),P(x1,y1),則有,將x1,y1代入到x+y=1,有x2+4y2=1.
【答案】 x2+4y2=1
12.橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,過點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,其中一個(gè)交點(diǎn)為P,則|PF2|=________.
【解析】 不妨設(shè)F1(-,0),則|PF1|=|yP|=.
又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF2|=4-=.
【答案】
13.(xx·安徽高考)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn),若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為________.
8、
【解析】 設(shè)C(x,x2),由題意可取A(-,a),B(,a),
則=(--x,a-x2),=(-x,a-x2),
由于∠ACB=,所以·=(--x)(-x)+(a-x2)2=0,
整理得x4+(1-2a)x2+a2-a=0,
即y2+(1-2a)y+a2-a=0,
所以解得a≥1.
【答案】 [1,+∞)
14.給出如下四個(gè)命題:①方程x2+y2-2x+1=0表示的圖形是圓;②橢圓+=1的離心率e=;③拋物線x=2y2的準(zhǔn)線方程是x=-;④雙曲線-=-1的漸近線方程是y=±x.其中不正確的是________.(填序號(hào))
【解析】?、俦硎镜膱D形是一個(gè)點(diǎn)(1,0),②e=,④漸
9、近線方程為y=±x,③正確.
【答案】?、佗冖?
三、解答題(本大題共4小題,共50分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)
15.(本小題滿分12分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.求橢圓C的方程.
【解】 設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,
得a=且e==,
∴a=,c=.
從而b2=a2-c2=1.
因此所求橢圓的方程為+y2=1.
16.(本小題滿分12分)已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓+=1(0<b<10)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn).
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面
10、積為,求b的值.
【解】 (1)|PF1|·|PF2|≤()2=100(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào)),∴|PF1|·|PF2|的最大值為100.
(2)S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin 60°=,
∴|PF1|·|PF2|=, ①
由題意知
∴3|PF1|·|PF2|=400-4c2. ②
由①②得c=6,∴b=8.
17.(本小題滿分12分)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4?若存在,求出
11、直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解】 (1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>0,b>0),且可知左焦點(diǎn)為F′(-2,0),
從而有解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,故橢圓C的方程為+=1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=x+t,
由得3x2+3tx+t2-12=0,
因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn),所以有Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,
解得-4≤t≤4,
另一方面,由直線OA與l的距離為4可得:=4,從而t=±2,
由于±2?[-4,4],所以符合題意的直線l不存在.
18.(本小題滿分14分)(xx·江西高考)已知三點(diǎn)O(0,0)
12、,A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y),滿足|+|=·(+)+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,-1),l與PA,PB分別交于點(diǎn)D,E,求△QAB與△PDE的面積之比.
【解】 (1)由=(-2-x,1-y),
=(2-x,1-y),得
|+|=,
·(+)=(x,y)·(0,2)=2y.
由已知得=2y+2,
化簡(jiǎn)得曲線C的方程是x2=4y.
(2)直線PA,PB的方程分別是y=-x-1,y=x-1,曲線C在Q處的切線l的方程是y=x-,且與y軸的交點(diǎn)為F(0,-),
分別聯(lián)立方程組
解得D,E的橫坐標(biāo)分別是xD=,xE=,
則xE-xD=2,|FP|=1-,
故S△PDE=|FP|·|xE-xD|=×(1-)×2=,而S△QAB=×4×(1-)=.
則=2,即△QAB與△PDE的面積之比為2.