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1、山東省德州市2022年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí) 重點(diǎn)題型訓(xùn)練 大題加練(二)
1.如圖,拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)與x軸交于點(diǎn)(-1,0),與BC交于點(diǎn)C,連接AC,BC,已知∠ACB=90°.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B,C重合),連接并延長AP交拋物線于另一點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x.
①記△BCQ的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求出當(dāng)S=4時(shí)x的值;
②記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在最大值?若存在,求出的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
2.(xx·遵義中考)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+x+
2、c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)和點(diǎn)D(4,-2).點(diǎn)E是直線y=-x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)如圖1,若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn),且在直線CE的上方,連接MC,OE,ME.求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖2,CE∥x軸與拋物線相交于
3、點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC,CE分別交于點(diǎn)F,G.試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CHEF的面積最大,求點(diǎn)H的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)M(4,m)是該拋物線上的一點(diǎn),在x軸、y軸上分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形PQKM的周長最小,請(qǐng)求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).
4.(xx·煙臺(tái)中考)如圖1,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-4,0),B(1,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C,D.
(1)求直線和拋物線的表達(dá)式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)
4、單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為直角三角形?請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值;
(3)如圖2,將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后,與x軸,y軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn).在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,在直線EF上是否存在點(diǎn)N,使得DM+MN的值最?。咳舸嬖?,求出其最小值及點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案
1.解:(1)∵∠ACB=90°,OC⊥AB,
∴∠COA=90°,
∴∠ACO=∠CBO,∠AOC=COB,
∴△ACO∽△CBO,∴=,
∴OC2=OA·OB.
當(dāng)x=0時(shí),y=2,即C(
5、0,2).
∵A(-1,0),C(0,2),
∴OB=4,∴B(4,0).
將A,B代入y=ax2+bx+2得
解得
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+x+2.
(2)①如圖,連接OQ.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,-x2+x+2),
∴S=S△OCQ+S△OBQ-S△OBC=×2x+×4(-x2+x+2)-×2×4=-x2+4x.
令-x2+4x=4,解得x1=x2=2,故x的值為2.
②存在.
如圖,過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H.
∠ACP=∠QHP=90°,∠APC=∠QPH,
∴△APC∽△QPH,∴==.
∵S△BCQ=BC·QH=QH,∴QH=,
∴==(-x2
6、+4x)=-(x-2)2+,
∴當(dāng)x=2時(shí),取得最大值,最大值為.
2.解:(1)把C(0,2),D(4,-2)代入二次函數(shù)表達(dá)式得
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+x+2,
聯(lián)立一次函數(shù)表達(dá)式得
解得x=0(舍去)或x=3,
則E(3,1).
(2)如圖,過M作MH∥y軸,交CE于點(diǎn)H.
設(shè)M(m,-m2+m+2),則H(m,-m+2),
∴MH=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m,
S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH·3=-m2+3m+3,
當(dāng)m=-=時(shí),S最大=,此時(shí)M坐標(biāo)為(,3).
(3)如圖,連接BF.
當(dāng)-x
7、2+x+2=0時(shí),x1=,x2=,
∴OA=,OB=.
∵∠ACO=∠ABF,∠AOC=∠FOB,
∴△AOC∽△FOB,
∴=,即=,
解得OF=,
則F坐標(biāo)為(0,-).
3.解:(1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx-5得
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x-5.
(2)設(shè)H(t,t2-4t-5).
∵CE∥x軸,
∴-5=x2-4x-5,
解得x1=0,x2=4,
∴E(4,-5),CE=4.
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y2=a2x+b2.
∵B(5,0),C(0,-5),
∴
∴
∴直線BC的表達(dá)式為y2=x-5,
∴F(
8、t,t-5),HF=t-5-(t2-4t-5)=-(t-)2+
∵CE∥x軸,HF∥y軸,
∴CE⊥EF,
∴S四邊形CHEF=CE·HF=-2(t-)2+,
∴H(,-).
(3)如圖,分別作K,M關(guān)于x軸,y軸對(duì)稱的點(diǎn)K′,M′,分別交PQ延長線于點(diǎn)K′,M′.
∵點(diǎn)K為頂點(diǎn),∴K(2,-9),
∴點(diǎn)K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)K′的坐標(biāo)為(-2,-9).
∵M(jìn)(4,m),∴M(4,-5).
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,5).
設(shè)直線K′M′的表達(dá)式為y3=a3x+b3,
則
∴
∴直線K′M′的表達(dá)式為y3=x-,
易知圖中點(diǎn)P,Q即為符合條件的點(diǎn),
9、∴P,Q的坐標(biāo)分別為P(,0),Q(0,-).
4.解:(1)∵直線y=kx+過點(diǎn)B(1,0),
∴0=k+,k=-,
∴直線的表達(dá)式為y=-x+.
∵拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-4,0),B(1,0),
∴解得
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-.
(2)t= s, s, s或 s.
提示:情況一:當(dāng)∠DCP為直角時(shí),
在Rt△OCB中,CB==,
cos∠CBO==.
∵cos∠CBO=cos∠CBP=,
∴=,
∴PB=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,0),
∴t= s時(shí),△PDC為直角三角形.
情況二:解可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,4).
當(dāng)∠CD
10、P為直角時(shí),同理可得cos∠CBP==.
∵BD==2,
∴BP=,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),
∴t= s時(shí),△PDC為直角三角形.
情況三:當(dāng)∠DPC為直角時(shí),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0),則
DP2+CP2=CD2,即(a+5)2+42+a2+()2=52+()2,
解得a=,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)或(,0),
∴t= s或 s時(shí),△PDC為直角三角形.
(3)存在.
直線EF的表達(dá)式為y=-x+-4=-x-.
取D關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,則D′坐標(biāo)為(2,4).
如圖,過D′作D′N⊥EF于點(diǎn)N,過點(diǎn)D′作D′G⊥x軸,垂足為Q,延長線交EF于點(diǎn)G.
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)
11、為(a,-a-).
∵∠EQG=∠D′NG=90°,∠G=∠G,
∴∠ND′G=∠GEB.
∵∠GEB=∠ABC,
∴∠ND′G=∠ABC,
則=tan∠ND′G=tan∠ABC=,
解得a=-2,
∴-a-=-2,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,-2).
∵點(diǎn)N到D′G的距離為2-(-2)=4,
又∵對(duì)稱軸與D′G的距離為2-(-)=,
∴點(diǎn)N在對(duì)稱軸的左側(cè),由此可證明線段D′N與對(duì)稱軸有交點(diǎn),其交點(diǎn)即為DM+MN取最小值時(shí)M的位置.
將x=2代入y=-x-得y=-,
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,-),
∴D′G=,
∴D′N=D′G·cos∠ND′G=D′G·cos∠ABC=·=2,
即DM+MN的最小值為2.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,b),則=tan∠ND′G=,
解得b=-,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,-).
綜上所述,DM+MN的最小值為2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,-),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,-2).