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山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 雙曲線練習(xí)(含解析)

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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 雙曲線練習(xí)(含解析) 一、選擇題(本大題共12小題,共60分) 1. 已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是 A. B. C. D. (正確答案)A 解:雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,, 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時, 可得:,解得:, 方程表示雙曲線, ,可得:, 解得:,即n的取值范圍是:. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時, 可得:,解得:, 無解. 故選:A. 由已知可得,利用,解得,又,從而可求n的取值范圍. 本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用,考查了不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題. 2. 若雙曲線C:的一條漸近

2、線被圓所截得的弦長為2,則C的離心率為 A. 2 B. C. D. (正確答案)A 解:雙曲線C:的一條漸近線不妨設(shè)為:, 圓的圓心,半徑為:2, 雙曲線C:的一條漸近線被圓所截得的弦長為2, 可得圓心到直線的距離為:, 解得:,可得,即. 故選:A. 通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離,列出關(guān)系式,然后求解雙曲線的離心率即可. 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,圓的方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力. 3. 已知雙曲線C:的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則C的方程為 A. B. C. D. (正確答案)B 【分析】 本題考查橢圓與雙曲線的簡

3、單性質(zhì)的應(yīng)用,雙曲線方程的求法,考查計(jì)算能力. 根據(jù)橢圓得,根據(jù)漸近線方程為,,結(jié)合,求得a,b,即可得到C的方程。 【解答】 解:橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可得, 雙曲線C:的一條漸近線方程為, 可得,即,可得,解得,, 所求的雙曲線方程為:. 故選B. 4. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于 A. B. 3 C. 5 D. (正確答案)A 解:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為, 依題意,, . 雙曲線的方程為:, 其漸近線方程為:, 雙曲線的一個焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于. 故選A. 由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋

4、物線的焦點(diǎn)重合,先求出,再求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程,由此能求出結(jié)果. 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),求得的值是關(guān)鍵,考查點(diǎn)到直線間的距離公式,屬于中檔題. 5. 雙曲線的兩頂點(diǎn)為,,虛軸兩端點(diǎn)為,,兩焦點(diǎn)為,,若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,則雙曲線的離心率是 A. B. C. D. (正確答案)C 解:由題意可得,,,, ,, 且,菱形的邊長為, 由以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,切點(diǎn)分別為A,B,C,D. 由面積相等,可得, 即為, 即有, 由,可得, 解得, 可得,或舍去. 故選:A. 由題意可得頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)坐標(biāo),求得菱形的邊長,運(yùn)用等積

5、法可得,再由a,b,c的關(guān)系和離心率公式,計(jì)算即可得到所求值. 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用圓內(nèi)切等積法,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題. 6. 已知雙曲線C:的漸近線方程為,且其右焦點(diǎn)為,則雙曲線C的方程為 A. B. C. D. (正確答案)B 解:雙曲線C:的漸近線方程為, 可得;其右焦點(diǎn)為,可得,又, 解得,, 則雙曲線C的方程為:. 故選:B. 利用已知條件列出方程,求解即可. 本題考查雙曲線方程的求法,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題. 7. 已知,是雙曲線E:的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,與x軸垂直,,則E的離心率為 A

6、. B. C. D. 2 (正確答案)A 解:設(shè),則, 與x軸垂直, , , , , , , , . 故選:A. 設(shè),則,利用勾股定理,求出,利用,求得,可得,求出,即可得出結(jié)論. 本題考查雙曲線的定義與方程,考查雙曲線的性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,比較基礎(chǔ). 8. 已知,是雙曲線E:的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,與x軸垂直,,則E的離心率為 A. 2 B. C. D. (正確答案)D 【分析】 根據(jù)雙曲線的定義,結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算,根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的勾股

7、定理,結(jié)合雙曲線離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵. 【解答】解:與x軸垂直,, 設(shè),則, 由雙曲線的定義得,即, 在直角三角形中,,即, 即, 則, 故選D. 9. 設(shè)雙曲線的離心率是3,則其漸近線的方程為 A. B. C. D. (正確答案)A 解:雙曲線的離心率是3, 可得,則. 雙曲線的離心率是3,則其漸近線的方程為:. 故選:A. 利用雙曲線的離心率,這求出a,b的關(guān)系式,然后求漸近線方程. 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力. 10. 已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為,,P是雙曲線C右支上一點(diǎn),且若直線與圓相切,則雙曲線的離

8、心率為 A. B. C. 2 D. 3 (正確答案)B 解:解:設(shè)與圓相切于點(diǎn)M, 因?yàn)?,所以為等腰三角形,N為的中點(diǎn), 所以, 又因?yàn)樵谥苯侵?,,所? 又 , 由可得, 即為,即, 解得. 故選:B. 先設(shè)與圓相切于點(diǎn)M,利用,及直線與圓相切,可得幾何量之間的關(guān)系,從而可求雙曲線的離心率的值. 本題考查直線與圓相切,考查雙曲線的定義,考查雙曲線的幾何性質(zhì),注意運(yùn)用平面幾何的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題. 11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),且其準(zhǔn)線被該雙曲線截得的弦長是,則該雙曲線的離心率為 A. B. C. D.

9、(正確答案)D 解:由題意可知:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線, 將代入雙曲線方程,解得:, 則準(zhǔn)線被該雙曲線截得的弦長為, ,, 雙曲線的離心率, 則雙曲線的離心率, 故選D. 由題意可知:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線,將代入雙曲線方程,解得:,即可求得,,利用雙曲線的離心率公式,即可求得雙曲線的離心率. 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),主要是離心率公式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 12. 設(shè)雙曲線的離心率為,且一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程是 A. B. C. D. (正確答案)A 解:根據(jù)題意,拋物線的方程為,則其焦點(diǎn)為, 又由雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的

10、焦點(diǎn)相同, 則有而,且; 雙曲線的離心率為,則有, 解可得, 又由; 則; 故雙曲線的方程為:; 故選:A. 根據(jù)題意,由拋物線的方程計(jì)算可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合題意可得雙曲線中有,結(jié)合離心率公式可得,解可得n的值,由雙曲線的幾何性質(zhì)計(jì)算可得m的值,將m、n的值代入雙曲線的方程即可得答案. 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),注意分析雙曲線焦點(diǎn)的位置. 二、填空題(本大題共4小題,共20分) 13. 已知雙曲線C:的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)若,則C的離心率為______ . (正確答案) 解:雙曲線C:的右頂點(diǎn)為, 以A

11、為圓心,b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn). 若,可得A到漸近線的距離為:, 可得:,即,可得離心率為:. 故答案為:. 利用已知條件,轉(zhuǎn)化求解A到漸近線的距離,推出a,c的關(guān)系,然后求解雙曲線的離心率即可. 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力. 14. 雙曲線的漸近線與圓相切,則此雙曲線的離心率為______. (正確答案) 【分析】 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,雙曲線的漸近線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力求出雙曲線的漸近線方程,利用漸近線與圓相切,得到a、b關(guān)系,然后求解雙曲線的

12、離心率. 【解答】 解:由題意可知雙曲線的漸近線方程之一為:, 圓的圓心,半徑為1, 雙曲線的漸近線與圓相切, 可得:, 可得,, . 故答案為. 15. 雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離是其到左頂點(diǎn)距離的一半,則雙曲線的離心率______. (正確答案) 解:雙曲線的右焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為, 右焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為:, 右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)為的距離為:, 由題意可得,, 即有,即, 即, 由,則有, 解得,. 故答案為:. 求出雙曲線的左頂點(diǎn)以及右焦點(diǎn),以及漸近線方程,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式,列出a、b、c關(guān)系式,然后由離心率公式即可計(jì)

13、算得到. 本題考查雙曲線的離心率的求法,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題. 16. 已知雙曲線的離心率為,則______. (正確答案)2或 解:雙曲線, 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時,,, 可得, 雙曲線的離心率為, , 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時,,, 可得, 雙曲線的離心率為, , 可得,即,可得. 故答案為:2或. 直接利用雙曲線的方程,求出a,b,c利用離心率求解即可. 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力. 三、解答題(本大題共3小題,共30分) 17. 已知雙曲線C:及直線l:. 若l與C有兩個不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍; 若l與C交于A,B

14、兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求AB的長. (正確答案)解:雙曲線C與直線l有兩個不同的交點(diǎn), 則方程組有兩個不同的實(shí)數(shù)根,分 整理得分 ,解得且分 雙曲線C與直線l有兩個不同交點(diǎn)時,k的取值范圍是分 設(shè)交點(diǎn),, 由得,即,解得:. 且分 . 分 聯(lián)立直線與雙曲線方程,利用方程組與兩個交點(diǎn),求出k的范圍. 設(shè)交點(diǎn),,利用韋達(dá)定理以及弦長公式區(qū)間即可. 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力. 18. 已知雙曲線C以、為焦點(diǎn),且過點(diǎn). 求雙曲線C與其漸近線的方程; 若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)求直

15、線l的方程. (正確答案)解:設(shè)雙曲線C的方程為,半焦距為c, 則,,, 所以, 故雙曲線C的方程為 雙曲線C的漸近線方程為 設(shè)直線l的方程為,將其代入方程, 可得 ,若設(shè),, 則,是方程的兩個根,所以, 又由,可知, 即,可得, 故,解得, 所以直線l方程為 設(shè)出雙曲線C方程,利用已知條件求出c,a,解得b,即可求出雙曲線方程與漸近線的方程; 設(shè)直線l的方程為,將其代入方程,通過,求出t的范圍,設(shè),,利用韋達(dá)定理,通過,求解t即可得到直線方程. 本題考查雙曲線的方程的求法,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力. 19. 雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn),求其方程. (正確答案)解:橢圓的焦點(diǎn)為,, 設(shè)雙曲線方程為, 過點(diǎn),則, 得或36,而,, 雙曲線方程為. 根據(jù)已知中雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn),我們可以設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程含參數(shù),然后根據(jù)經(jīng)過點(diǎn),得到一個關(guān)于a的方程,解方程,即可得到的值,進(jìn)而得到雙曲線的方程. 本題考查的知識點(diǎn)是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中根據(jù)已知條件設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程含參數(shù),并構(gòu)造一個關(guān)于a的方程,是解答本題的關(guān)鍵.

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