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山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 拋物線練習(xí)(含解析)

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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 拋物線練習(xí)(含解析) 一、選擇題(本大題共12小題,共60分) 1. 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn)已知,,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (正確答案)B 【分析】 畫(huà)出圖形,設(shè)出拋物線方程,利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可. 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線與圓的方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 【解答】 解:設(shè)拋物線為,如圖:,, ,,, , , , 解得:. C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為:4. 故選B. ? 2. 設(shè)F為

2、拋物線C:的焦點(diǎn),曲線與C交于點(diǎn)P,軸,則 A. B. 1 C. D. 2 (正確答案)D 解:拋物線C:的焦點(diǎn)F為, 曲線與C交于點(diǎn)P在第一象限, 由軸得:P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1, 代入C得:P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2, 故, 故選:D 根據(jù)已知,結(jié)合拋物線的性質(zhì),求出P點(diǎn)坐標(biāo),再由反比例函數(shù)的性質(zhì),可得k值. 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì),難度中檔. 3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)在直線上,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 A. B. C. D. (正確答案)A 解:把代入得:,解得, 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為, 拋物線的準(zhǔn)線方程為. 故選:A. 求出

3、直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),從而得出準(zhǔn)線方程. 本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 4. 點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為1,則a的值為 A. 或 B. 或 C. 或 D. 4或12 (正確答案)C 解:拋物線的準(zhǔn)線方程為, 點(diǎn)到拋物線y準(zhǔn)線的距離為 a 4 解得或. 故選C. 求出拋物線的準(zhǔn)線方程,根據(jù)距離列出方程解出a的值. 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),準(zhǔn)線方程,屬于基礎(chǔ)題. 5. 設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 (正確答案)D 解:拋物線C:的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且

4、斜率為的直線為:, 聯(lián)立直線與拋物線C:,消去x可得:, 解得,,不妨,,,. 則. 故選:D. 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),直線方程,求出M、N的坐標(biāo),然后求解向量的數(shù)量積即可. 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計(jì)算能力. 6. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且其漸近線方程為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A. B. C. D. (正確答案)B 解:拋物線中,,, 拋物線的焦點(diǎn)為, 設(shè)雙曲線的方程為, 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且漸近線的方程為即, , 解得,舍負(fù), 可得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 故選:B. 根據(jù)拋物線方程,

5、算出其焦點(diǎn)為由此設(shè)雙曲線的方程為,根據(jù)基本量的平方關(guān)系與漸近線方程的公式,建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b的值,即可得到該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 本題給出雙曲線與已知拋物線有一個(gè)焦點(diǎn)重合,在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題. 7. 若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于 A. B. 1 C. D. 2 (正確答案)D 解:由題意,,, , , , 故選D. 根據(jù)拋物線的定義及題意可知,得出求得p,可得答案. 本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)考查了考生對(duì)拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用,

6、屬于基礎(chǔ)題. 8. 若拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2,則 A. B. C. D. (正確答案)C 【分析】 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì),利用拋物線的方程,求出p,即可求出結(jié)果是基礎(chǔ)題. 【解答】 解:拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2,可得,則. 故選C. 9. 已知點(diǎn)在拋物線C:的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為 A. B. C. D. (正確答案)C 解:由點(diǎn)在拋物線C:的準(zhǔn)線上, 即,則, 故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為:, 則直線AF的斜率, 故選C. 由題意求得拋物線方程,求得焦點(diǎn)坐標(biāo),利用直線的斜率公式即可求得直線

7、AF的斜率. 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 10. 已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,是C上一點(diǎn),,則 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 (正確答案)A 解:拋物線C:的焦點(diǎn)為, 是C上一點(diǎn),,. , 解得. 故選:A. 利用拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式即可得出. 本題考查了拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式,屬于基礎(chǔ)題. 11. 若直線與拋物線交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則 A. 2 B. C. 2或 D. (正確答案)A 解:聯(lián)立直線與拋物線, 消去y,可得,, 判別式,

8、解得. 設(shè),, 則, 由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2, 即有, 解得或舍去, 故選:A. 聯(lián)立直線與拋物線,消去y,可得x的方程,由判別式大于0,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,計(jì)算即可求得. 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用,聯(lián)立直線和拋物線方程,消去未知數(shù),運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,注意判別式大于0,屬于中檔題. 12. 已知拋物線方程為,則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A. B. C. D. (正確答案)D 解:把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:, 拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸,,. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 故選:D. 把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式得出

9、焦點(diǎn)坐標(biāo). 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 二、填空題(本大題共4小題,共20分) 13. 已知F是拋物線C:的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)若M為FN的中點(diǎn),則______. (正確答案)6 【分析】 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),推出M坐標(biāo),然后求解即可. 【解答】 解:拋物線C:的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)若M為FN的中點(diǎn), 可知M的橫坐標(biāo)為:1, 則M的縱坐標(biāo)為:, . 故答案為6. 14. 若拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是______ . (正確

10、答案)9 解:拋物線的準(zhǔn)線為, 點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10, 點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為10, 點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9. 故答案為:9. 根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M到準(zhǔn)線的距離為10,故到y(tǒng)軸的距離為9. 本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 15. 設(shè)拋物線為參數(shù),的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B,設(shè),AF與BC相交于點(diǎn)若,且的面積為,則p的值為_(kāi)_____. (正確答案) 解:拋物線為參數(shù),的普通方程為:焦點(diǎn)為,如圖:過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B,設(shè),AF與BC相交于點(diǎn), ,,, 的面積為,, 可得. 即:, 解得. 故答案為:. 化簡(jiǎn)

11、參數(shù)方程為普通方程,求出F與l的方程,然后求解A的坐標(biāo),利用三角形的面積列出方程,求解即可. 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線的參數(shù)方程的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力. 16. 拋物線的準(zhǔn)線方程是______;該拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)在此拋物線上,且,則______. (正確答案);2 解:拋物線方程為 可得,得, 所以拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為; 點(diǎn)在此拋物線上, 根據(jù)拋物線的定義,可得 即,解之得 故答案為:,2 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可得拋物線開(kāi)口向右,由得,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為;由拋物線的定義結(jié)合點(diǎn)M坐標(biāo)可得,解之可得的值. 本題給出拋物線的

12、標(biāo)準(zhǔn)方程,求它的準(zhǔn)線方程和滿足的點(diǎn)M的坐標(biāo)著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題. 三、解答題(本大題共3小題,共30分) 17. 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. Ⅰ求; Ⅱ除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)?說(shuō)明理由. (正確答案)解:Ⅰ將直線l與拋物線方程聯(lián)立,解得, 關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N, ,, , 的方程為, 與拋物線方程聯(lián)立,解得 ; Ⅱ由Ⅰ知, 直線MH的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得, , 直線MH與C除點(diǎn)H外沒(méi)有其它公共點(diǎn).

13、 Ⅰ求出P,N,H的坐標(biāo),利用,求; Ⅱ直線MH的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得,利用判別式可得結(jié)論. 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確聯(lián)立方程是關(guān)鍵. 18. 已知拋物線C:,過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. 證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 設(shè)圓M過(guò)點(diǎn),求直線l與圓M的方程. (正確答案)解:方法一:證明:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),則,, 則,,則, , 則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 當(dāng)直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程,,, ,整理得:, 則,,由, 則, 由, 則,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上, 綜上可知:坐標(biāo)原點(diǎn)O

14、在圓M上; 方法二:設(shè)直線l的方程, ,整理得:, 令,, 則, 則,則,則, 則,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上, 坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 由可知:,,,, 圓M過(guò)點(diǎn),則,, 由,則, 整理得:,解得:,, 當(dāng)時(shí),直線l的方程為, 則,, 則,半徑為丨MP丨, 圓M的方程. 當(dāng)直線斜率時(shí),直線l的方程為, 同理求得,則半徑為丨MP丨, 圓M的方程為, 綜上可知:直線l的方程為,圓M的方程 或直線l的方程為,圓M的方程為. 方法一:分類討論,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),求得A和B的坐標(biāo),由,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;當(dāng)直線l斜率存在,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的

15、可得,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 方法二:設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 由題意可知:,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得k的值,求得M點(diǎn)坐標(biāo),則半徑丨MP丨,即可求得圓的方程. 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中檔題. 19. 設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),. 求l的方程; 求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. (正確答案)解:方法一:拋物線C:的焦點(diǎn)為,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,不滿足; 設(shè)直線AB的方程為:,設(shè),,

16、 則,整理得:,則,, 由,解得:,則, 直線l的方程,; 方法二:拋物線C:的焦點(diǎn)為,設(shè)直線AB的傾斜角為,由拋物線的弦長(zhǎng)公式,解得:, ,則直線的斜率, 直線l的方程; 過(guò)A,B分別向準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為,,設(shè)AB的中點(diǎn)為D,過(guò)D作準(zhǔn)線l,垂足為D,則 由拋物線的定義可知:,,則, 以AB為直徑的圓與相切,且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D, 由可知:,, 則, 過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程 方法一:設(shè)直線AB的方程,代入拋物線方程,根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值,即可求得直線l的方程; 方法二:根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式,求得直線AB的傾斜角,即可求得直線l的斜率,求得直線l的方程; 根據(jù)過(guò)A,B分別向準(zhǔn)線l作垂線,根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可求得圓心,求得圓的方程. 本題考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線的焦點(diǎn)弦公式,考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查轉(zhuǎn)換思想思想,屬于中檔題.

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