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1、廣西柳州市2022年中考數(shù)學 專題訓練05 函數(shù)與幾何圖形的綜合
1.[xx·濟寧]已知函數(shù)y=mx2-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點.
(1)求m的取值范圍,并寫出當m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式;
(2)題(1)中求得的函數(shù)記為C1.
①當n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,求n的值;
②函數(shù)C2:y=m(x-h)2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點P落在以原點為圓心,半徑為的圓內(nèi)或圓上.設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點為M,求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式.
2.[xx·攀枝花改編]如圖ZT5-1,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A
2、,B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,3).
圖ZT5-1
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的最大值.
(3)點D為拋物線對稱軸上一點.當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,求點D的坐標.
3.[xx·無錫]如圖ZT5-2,以原點O為圓心,3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(點B在點A的右邊),P是半徑OB上一點,過點P且垂直于AB的直線與☉O分別交于C,D兩點(點C在點D的上方),直線AC,DB交于點E.若AC∶CE=1∶2.
圖ZT5-2
(
3、1)求點P的坐標;
(2)求過點A和點E,且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達式.
4.[xx·柳北區(qū)三模]如圖ZT5-3,拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3),交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).
圖ZT5-3
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點M的坐標;
(2)連接OC,CM,求tan∠OCM的值;
(3)若點P在拋物線的對稱軸上,連接BP,CP,BM,當∠CPB=∠PMB時,求點P的坐標.
5.[xx·柳北區(qū)4月模擬]如圖ZT5-4①,在平面直角坐標系xOy中,直線l:y=x+m與x軸,y軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y=x2
4、+bx+c經(jīng)過點B,且與直線l的另一個交點為C(4,n).
圖ZT5-4
(1)求n的值和拋物線的解析式.
(2)點D在拋物線上,且點D的橫坐標為t(0
5、x2-x-與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.
圖ZT5-5
(1)求直線AE的解析式.
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是線段CP上的一點,點N是線段CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值.
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2-x-沿x軸正方向平移得到新拋物線y',y'經(jīng)過點D,y'的頂點為點F.在新拋物線y'的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由
6、.
參考答案
1.解:(1)由題意可得:
解得:m<,且m≠0.
當m=2時,函數(shù)解析式為y=2x2+x.
(2)①函數(shù)y=2x2+x圖象開口向上,對稱軸為直線x=-,
∴當x<-時,y隨x的增大而減小.
∵當n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,
∴2n2+n=-3n.
∴n=-2或n=0(舍去).
∴n=-2.
②∵y=2x2+x=2x+2-,
∴函數(shù)C1的圖象頂點M的坐標為-,-.
由圖形可知當P為射線MO與圓的交點時,距離最大.
∵點P在直線OM上,由O(0,0),M-,-可求得直線的解析式為y=x.
設(shè)P(a,b),則有a=2
7、b.
根據(jù)勾股定理可得PO2=(2b)2+b2=()2,解得b=1(負值已舍).
∴a=2.
∴PM最大時函數(shù)C2的解析式為y=2(x-2)2+1.
2.解:(1)由題意得解得
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3.
(2)方法1(代數(shù)法):如圖①,過點P作PG∥CF交CB于點G,
由題意知∠BCO=∠CFE=45°,F(0,m),C(0,3),
∴△CFE和△GPE均為等腰直角三角形,
∴EF=CF=(3-m),PE=PG.
又易知直線BC的解析式為y=-x+3.
設(shè)xP=t(1
8、3=t+m,∴m=t2-5t+3.
∴PE+EF=(3-m)+(-m-2t+3)=(-2t-2m+6)=-(t+m-3)=-(t2-4t)=-(t-2)2+4,
∴當t=2時,PE+EF取最大值4.
方法2:(幾何法)如圖②,由題易知直線BC的解析式為y=-x+3,OC=OB=3,
∴∠OCB=45°.
同理可知∠OFE=45°,
∴△CEF為等腰直角三角形.
以BC為對稱軸將△FCE對稱得到△F'CE,作PH⊥CF'于點H
則PE+EF=PF'=PH.
又PH=yC-yP=3-yP.
∴當yP最小時,PE+EF取最大值.
∵拋物線的頂點坐標為(2,-1),
∴當y
9、P=-1時,(PE+EF)max=×(3+1)=4.
(3)由(1)知對稱軸為直線x=2,設(shè)D(2,n),如圖③.
當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC上方D1位置時,
由勾股定理得C+BC2=B,
即(2-0)2+(n-3)2+(3)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;
當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC下方D2位置時,
由勾股定理得B+BC2=C,
即(2-3)2+(n-0)2+(3)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1.
∴當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,D點坐標為(2,5)或(2,-1).
3.解:(1)過點
10、E作EF⊥x軸于點F,
∵CD⊥AB,
∴CD∥EF,PC=PD.
∴△ACP∽△AEF,
△BPD∽△BFE.
∵AC∶CE=1∶2,
∴AC∶AE=1∶3.
∴==,==.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB.
∴3AP-3PB=AB.
又∵☉O的半徑為3,設(shè)P(m,0),
∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0).
(2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0).
∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12.
連接BC.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP,
∴=.
∴CP2=
11、AP·BP=4×2=8.
∴CP=2(負值已舍).∴EF=3CP=6.
∴E(9,6).
∵拋物線的頂點在直線CD上,
∴CD是拋物線的對稱軸,
∴拋物線過點(5,0).
設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c.
根據(jù)題意得
解得
∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-x-.
4.解:(1)由拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3),
得3=a(4-2)2-1,解得a=1,
∴拋物線的解析式為y=(x-2)2-1,頂點M的坐標為(2,-1).
(2)如圖,連接OM,
∵OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20,
∴CM2+O
12、M2=OC2,
∴∠OMC=90°.
OM=,CM=2,tan∠OCM===.
(3)如圖,過C作CN垂直于對稱軸,垂足N在對稱軸上,取一點E,使EN=CN=2,連接CE,EM=6.
當y=0時,(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0).
∵CN=EN,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°,
∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM,
∴∠EPC=∠PBM,∴△CEP∽△PMB,
∴=,易知MB=,CE=2,
∴=,解得PM=3±,
∴P點坐標為(2,2+)或(2,2-).
5.解:(1)∵直線l:y=x+m經(jīng)過點B(0,
13、-1),
∴m=-1,
∴直線l的解析式為y=x-1.
∵直線l:y=x-1經(jīng)過點C(4,n),
∴n=×4-1=2.
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,-1),
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-x-1.
(2)令y=0,則x-1=0,
解得x=,
∴點A的坐標為,0,
∴OA=.
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB===.
∵DE∥y軸,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DE·cos∠DEF=DE·=DE,
DF=DE·sin∠DEF=DE·=DE,
∴p=2(DF+EF)=2×+DE=DE,
∵點D的橫坐
14、標為t(0
15、)2-(x+1)-1+,
解得x=-.
綜上所述,點A1的橫坐標為或-.
6.解:(1)令y=0,得x2-x-=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴點A(-1,0),B(3,0).
∵點E(4,n)在拋物線上,
∴n=×42-×4-=,
即點E,
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,
則,解得
∴直線AE的解析式為y=x+.
(2)令y=x2-x-中x=0,得y=-,
∴C(0,-).由(1)得點E,
∴直線CE的解析式為y=x-.
過點P作PH∥y軸,交CE于點H,如圖①,
設(shè)點Pt,t2-t-,則Ht,t-,
∴PH=t--=-t2+t,
∴S△PCE=S
16、△PHC+S△PHE=·PH·
=××4
=-t2+t
=-(t2-4t)
=-(t-2)2+.
∵-<0,
∴當t=2時,S△PCE最大,此時點P(2,-).
∵C(0,-),
∴PC∥x軸.
∵B(3,0),K為BC的中點,
∴K,-.
如圖②,作點K關(guān)于CP,CD的對稱點K1,K2,連接K1K2,分別交CP,CD于點M,N.
此時KM+MN+NK最小,易知K1,-.
∵OC=,OB=3,OD=1,
∴∠OCB=60°,∠OCD=30°,
∴CD平分∠OCB,
∴點K2在y軸上.
∵CK=OC=,
∴點K2與原點O重合,
∴KM+MN+NK=K1M+MN+NO=OK1==3,
∴KM+MN+NK的最小值為3.
(3)存在.如圖③,點Q的坐標分別為Q1(3,2),Q23,,Q33,-,
Q43,.