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1、2022年高三第二次模擬試題 理科數(shù)學(xué)（解析版） 一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。 1．若純虛數(shù)滿(mǎn)足，（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則 （A）8 （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以設(shè)，則，即，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得，所以，選B. 2．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】集合，而，因?yàn)?，所以，選A. 3．設(shè)函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析

2、】因?yàn)轫n函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，所以，即，所以，所以函數(shù)，所以，選C. 4．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，選D. 5．如下圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積是，則該幾何體的俯視圖可以是 【答案】C 【解析】若俯視圖為A,則幾何體為邊長(zhǎng)為1的正方體，所以體積為1，不滿(mǎn)足條件；若為B,則該幾何體為底面直徑為1，高為1的圓柱，此時(shí)體積為，不滿(mǎn)足條件；若為D, 幾何體為底面半徑為1，高為1的圓柱的部分，此時(shí)體積為，不滿(mǎn)足條件，若為C，該幾何體為底面是直角三角形且

3、兩直角邊為1，高為1的三棱柱，所以體積為，滿(mǎn)足條件，所以選C. 6．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】根據(jù)程序框圖可知，本程序是計(jì)算，所以，選C 7．在中，已知是邊上的一點(diǎn)，若，，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因?yàn)?所以,又,所以。 8．已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為C,則,因?yàn)闉橹苯侨?/p>

4、形，所以根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)方程得，所以，，所以離心率，選D. 9．函數(shù)的部分圖象如圖，設(shè)是圖象的最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的平移不改編圖象的大小，所以將圖圖象向右平移個(gè)單位，此時(shí)函數(shù)為，A點(diǎn)平移到O點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)的周期,此時(shí),,,所以,，所以，所以，即，選B. 10．已知，是由直線(xiàn)，和曲線(xiàn)圍成的曲邊三角形區(qū)域，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為，則的值是 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】區(qū)邊三角形的面積為，區(qū)域的面積為1，若向區(qū)域上隨機(jī)投一

5、點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率，所以，所以，選D. 11．已知命題：“”，命題：“，”。若命題：“且”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】，即，所以。,有，則說(shuō)明方程有解，即判別式，解得或，因?yàn)槊}為真，所以同為真命題，所以或，選A. 12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋糠謱?duì)應(yīng)值如下表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，下列關(guān)于函數(shù)的命題： ①函數(shù)是周期函數(shù)； ②函數(shù)在上是減函數(shù)； ③如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么的最大值為4； ④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)。 其中真命題的個(gè)數(shù)是 （A）4個(gè) （B）3個(gè) （C）2個(gè) （D）1個(gè) 【答

6、案】D 【解析】由導(dǎo)數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)或，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)和，函數(shù)取得極大值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值,所以函數(shù)不是周期函數(shù)，①不正確；②正確；因?yàn)樵诋?dāng)和，函數(shù)取得極大值，，要使當(dāng)函數(shù)的最大值是4，當(dāng)，所以的最大值為5，所以③不正確；由知，因?yàn)闃O小值未知，所以無(wú)法判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，所以④不正確，所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，選D. 第Ⅱ卷 二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把正確答案填在大題紙給定的橫線(xiàn)上。 13．為了了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1:

7、2:3，第2小組的頻數(shù)位12，則抽取的學(xué)生人數(shù)是__________。 【答案】 【解析】后兩個(gè)小組的頻率為，所以前3個(gè)小組的頻率為，又前3個(gè)小組的頻率比為，所以第二小組的頻率為，所以抽取的總?cè)藬?shù)為。 14．設(shè)圓的切線(xiàn)與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，切線(xiàn)的方程為_(kāi)_______________。 【答案】 【解析】設(shè)A,B的坐標(biāo)為，則AB的直線(xiàn)方程為，即，因?yàn)橹本€(xiàn)和圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離，整理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以的最小值為，此時(shí)，即，此時(shí)切線(xiàn)方程為，即。 15．已知船在燈塔北偏東處，且船到燈塔的距離為2km，船在燈塔北偏西處，、兩船間

8、的距離為3km，則B船到燈塔的距離為_(kāi)___________km。 【答案】 【解析】由題意知，,,設(shè)B船到燈塔的距離為，即，由余弦定理可知，即，整理得，解得（舍去）或。 16．給出下列四個(gè)結(jié)論： ①“若，則”的逆命題是真命題； ②設(shè)，則“或”是“”的充分不必要條件； ③函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)； ④已知服從正態(tài)分布，且，則。 其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________。（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【答案】②③ 【解析】①的逆命題為：“若，則”，當(dāng)時(shí)，命題不成立。根據(jù)充分條件和必要條件的判斷可知②正確。當(dāng)時(shí)，，所以恒過(guò)定點(diǎn)，所以③正確；根據(jù)正態(tài)發(fā)布的對(duì)稱(chēng)性可知,，所以，所以④錯(cuò)

9、誤，所以正確的結(jié)論有②③。 三．解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 17．（本小題滿(mǎn)分12分）已知，，設(shè)函數(shù)。 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （Ⅱ）若且，求的值。 18．（本小題滿(mǎn)分12分）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又、、成等比數(shù)列。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，。 19．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上且，矩形所在平面和圓所在平面垂直，已知，。 （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為？ 20．（本小題滿(mǎn)分12分）某高中學(xué)校為了推進(jìn)課程改革，滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的需求，

10、決定從高一開(kāi)始，在每周的周一、周三、周五的課外活動(dòng)期間同時(shí)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和生物輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門(mén)科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門(mén)科目的輔導(dǎo)講座（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)為滿(mǎn)座，否則成為不滿(mǎn)座），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿(mǎn)座概率如下表： 根據(jù)右表： （Ⅰ）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿(mǎn)座的概率； （Ⅱ）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿(mǎn)座的科目數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。 21．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，橢圓：的離心率為，軸被曲線(xiàn)：截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于的短軸長(zhǎng)。 （Ⅰ）求、的方程； （Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于點(diǎn)、，直線(xiàn)、分別與相交于點(diǎn)。 （ⅰ）證明：。 （ⅱ）記的面積分別為，若，求的取值范圍。 22．（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)，，且是函數(shù)的極值點(diǎn)。 （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）若直線(xiàn)是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)，且直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。