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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專(zhuān)題 正態(tài)分布練習(xí)（含解析）理 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知隨機(jī)變量，且，，則 A. B. C. D. （正確答案）B 解：隨機(jī)變量，正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是， ， ，， ， ． 故選：B． 根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)性，即可求得． 本題主要考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題． 2. 某班有50名學(xué)生，一次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布已知，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 （正確答

2、案）A 解：考試的成績(jī)服從正態(tài)分布 考試的成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)， ， ， ， 該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為 故選A． 根據(jù)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布得到考試的成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)，得到，從而得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)． 本題考查正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，利用對(duì)稱(chēng)寫(xiě)出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解． 3. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則 A. B. C. D. （正確答案）A 【分析】 本題主要考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題根據(jù)對(duì)稱(chēng)性

3、，由的概率可求出，即可求出． 【解答】 解：， ． ， ． 故選A． 4. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則與的值分別為 A. B. C. ， D. （正確答案）C 解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，， ，． 故選：C． 根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得結(jié)論． 本題考查正態(tài)分布，正態(tài)曲線(xiàn)有兩個(gè)特點(diǎn)：正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；在正態(tài)曲線(xiàn)下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題． 5. 已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為 附：若，則；；． A

4、. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539 （正確答案）B 解：由題意， 則落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為． 故選：B． 求出，即可得出結(jié)論． 本題考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題． 6. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度曲線(xiàn)為函數(shù)的圖象，若，則 A. B. C. D. （正確答案）A 解：正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為， 總體X的期望為2，標(biāo)準(zhǔn)差為1， 故的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)， ， ， 故選：A． 根據(jù)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)的意義即可得出X的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，再

5、由概率分布的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，即可得到答案． 本題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查概率分布的對(duì)稱(chēng)性及運(yùn)算能力，正確理解正態(tài)總體的概率密度函數(shù)中參數(shù)、的意義是關(guān)鍵． 7. 已知隨機(jī)變量，若，，則 A. B. C. D. （正確答案）D 解：由題意，， 隨機(jī)變量， ， 故選：D． 根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)性，即可求得． 本題主要考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義、函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 8. 設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是

6、 注：若，則， A. B. 6038 C. 7028 D. 6587 （正確答案）D 【分析】 根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，利用幾何概型即可計(jì)算本題考查了正態(tài)分布、幾何概型，屬于中檔題． 【解答】 解：，， ，則， 則， 陰影部分的面積為：． 正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是6587． 故選D． 9. 已知某批零件的長(zhǎng)度誤差單位：毫米服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， A. B. C. D. （正確答案）B 解：由題意，，

7、 所以． 故選：B． 由題意，，可得，即可得出結(jié)論． 本題考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題． 10. 隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則 A. B. C. D. （正確答案）C 解：， ． 故選：C． 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性先求出，再得出． 本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題． 11. 某校高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，且，則的值為 A. B. C. D. （正確答案）D 解：近似地服從正態(tài)分布， ， ， ． 故選D． 根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算． 本題考查了正態(tài)

8、分布的特點(diǎn)與概率計(jì)算，屬于中檔題． 12. 某地市高三理科學(xué)生有30000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)，已知，若按分層抽樣的方式取200份試卷進(jìn)行成績(jī)分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取 A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份 （正確答案）B 解：， ， ， 應(yīng)從120分以上的試卷中抽取份數(shù)為． 故選：B． 利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出，再根據(jù)分層抽樣原理按比例抽取即可． 本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)，分層抽樣原理，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 設(shè)隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____ ． （正確答案） 解：由題

9、意可知隨機(jī)變量，滿(mǎn)足正態(tài)分布，對(duì)稱(chēng)軸為， ， 則：，解得． 故答案為． 直接利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，列出方程求解即可． 本題考查正態(tài)分布的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 14. 已知隨機(jī)變量，若，則______． （正確答案） 解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布， 曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)， ，， ． 故答案為： 根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，且，依據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性，即可求得答案． 本題考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，考查概率的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題． 15. 某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有_

10、_____ 人 （正確答案）7 解：考試的成績(jī)服從正態(tài)分布 考試的成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)， ， 所以估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為人． 故答案為：7． 根據(jù)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布得到考試的成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)，得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)． 本題考查正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，利用對(duì)稱(chēng)寫(xiě)出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解． 16. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則的值為_(kāi)_____ ． （正確答案） 解：， ． 故答案為：． 根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性先求出，再求出． 本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬

11、于基礎(chǔ)題． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 17. 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸單位：根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望； 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． 試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； 下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

12、 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，，2，，16． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和精確到． 附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，． （正確答案）解：由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為， 則落在之外的概率為， 因?yàn)椋? 所以， 又因?yàn)椋? 所以； 由知尺寸落在之外的概率為， 由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件， 因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理； 因?yàn)橛脴颖酒骄鶖?shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值， 且，， 所以，， 所以， 因此需要對(duì)當(dāng)

13、天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)， 則剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)， 將剔除掉后剩下的15個(gè)數(shù)據(jù)，利用方差的計(jì)算公式代入計(jì)算可知， 所以． 通過(guò)可求出，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論； 由及知落在之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理； 通過(guò)樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)、可知，進(jìn)而需剔除之外的數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算即得結(jié)論． 本題考查正態(tài)分布，考查二項(xiàng)分布，考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 18. 在某學(xué)校的一次選拔性考試中，隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)單位：分，并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表： 組別

14、 頻數(shù) 5 18 28 26 17 6 求抽取的樣本平均數(shù)和樣本方差同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表； 已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績(jī)z服從正態(tài)分布其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且規(guī)定分是復(fù)試線(xiàn)，那么在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有多少人？附：，若，則，． 已知樣本中成績(jī)?cè)谥械?名考生中，有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪(fǎng)，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望． （正確答案）解：由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得： 樣本平均數(shù)， 樣本方差， 由知， ， 在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有：人． 由已知

15、得的可能取值為1，2，3， ， ， ， 的分布列為： 1 2 3 P 人． 由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)和樣本方差由知，由此能求出，從而能求出在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試人數(shù)． 由已知得的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列與期望． 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用． 19. “過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)

16、檢部門(mén)隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)， 求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表； 由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求Z落在內(nèi)的概率； 將頻率視為概率，若某人從某超市購(gòu)買(mǎi)了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為； 若，則，． （正確答案）解：所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為． 服從正態(tài)分布，且，， ， 落在內(nèi)的概率是． 根據(jù)題意得，；；； ；． 的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ． 本題考查了統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，正態(tài)分布，屬于中檔題． 所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為． ， 根據(jù)題意得，；； ；；． 即可求得X的分布列、期望值．