(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第37講 數(shù)列的遞推關(guān)系與通項學(xué)案 理
《(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第37講 數(shù)列的遞推關(guān)系與通項學(xué)案 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第37講 數(shù)列的遞推關(guān)系與通項學(xué)案 理(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第37講 數(shù)列的遞推關(guān)系與通項 考試要求 掌握常見求通項的方法. 診 斷 自 測 1.(必修5P41習(xí)題13改編)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,那么an-am=________d. 答案 (n-m) 2.在數(shù)列{an}中,a1=1,=,那么an=________. 解析 當(dāng)n≥2時,an=a1××××…×=1××××…×=,當(dāng)n=1時也成立,故an=. 答案 3.若數(shù)列{an}滿足a1=1,an=n+an-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為________. 解析 由an=n+an-1可變形為an-an-1=n(n≥2,n∈N*),由此可寫出以下各
2、式:an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,an-2-an-3=n-2,…,a2-a1=2,將以上等式兩邊分別相加,得an-a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2,所以an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=. 答案 an= 4.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,d=2,Sn+2-Sn=24,則n=________. 解析 因為a1=1,d=2,所以Sn=n2,Sn+2-Sn=(n+2)2-n2=24,解得n=5. 答案 5 5.在斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,…中,an,an+1,an+2的關(guān)系是________. 答案 an+2=an+an+1 知
3、識 梳 理 常見求數(shù)列通項的幾種類型 (1)形如an-an-1=f(n)(n∈N*且n≥2) 方法:累加法,即當(dāng)n∈N*,n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1. (2)形如=f(n)(n∈N*且n≥2) 方法:累乘法,即當(dāng)n∈N*,n≥2時,an=··…··a1. 注意:n=1不一定滿足上述形式,所以需檢驗. (3)形如an=pan-1+q(n∈N*且n≥2) 方法:化為an+=p的形式.令bn=an+,即bn=pbn-1,{bn}為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列{an}的通項公式. (4)形如an=pan-1+f(n)(n∈N*且n≥
4、2) 方法:兩邊同除pn,得=+,令bn=,得bn=bn-1+,轉(zhuǎn)化為利用疊加法求bn(若為常數(shù),則{bn}為等差數(shù)列),從而求得數(shù)列{an}的通項公式. 考點一 利用“累乘、累加”法求通項 【例1-1】 (2018·蘇北四市聯(lián)考)已知數(shù)列{an},{bn},其中a1=,數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=2bn. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)是否存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2,有1+++…+<恒成立?若存在,求出m的最小值. 解 (1)因為Sn=n2an(n∈N*), 當(dāng)n≥2時,Sn-1=
5、(n-1)2an-1.所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1. 所以(n+1)an=(n-1)an-1.即=,又a1=, 所以an=···…···a1 =···…···=. 當(dāng)n=1時,上式成立,故an=. 因為b1=2,bn+1=2bn,所以{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故bn=2n. (2)由(1)知,bn=2n.則1+++…+ =1+++…+ =2-. 假如存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2, 有1+++…+<恒成立, 即2-<恒成立. 由≥2,解得m≥16. 所以存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2,有1+++…+<恒
6、成立.此時m的最小值為16. 【例1-2】 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式. 解 由an+2+2an-3an+1=0,得an+2-an+1=2(an+1-an), ∴數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=3為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴an+1-an= 3·2n-1, ∴n≥2時,an-an-1=3·2n-2,…,a3-a2=3·2,a2-a1=3,將以上各式累加得an-a1=3·2n-2+…+3·2+3=3(2n-1-1),∴an=3·2n-1-2(當(dāng)n=1時,也滿足). 規(guī)律方法 求數(shù)列的通項公式,特別
7、是由遞推公式給出數(shù)列時,除疊加、迭代、累乘外,還應(yīng)注意配湊變形法.變形的主要目的是湊出容易解決問題的等差或等比數(shù)列,然后再結(jié)合等差、等比數(shù)列的運算特點解決原有問題.求得通項公式時,還可根據(jù)遞推公式寫出前幾項,由此來猜測歸納出通項公式,然后再證明. 【訓(xùn)練1】 已知a1=2,an+1=an+ln,求數(shù)列{an}的通項公式. 解 ∵an+1=an+ln, ∴an-an-1=ln=ln (n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln+ln+…+ln +ln 2+2 =2+ln =2+ln n(n≥2). 又a1=2適合上式,故an=
8、2+ln n(n∈N*). 考點二 構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項 【例2】 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列的通項公式; (2)已知數(shù)列滿足a1=2, an+1=2an+2n+1,求數(shù)列的通項公式. (3)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項公式. 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2, 故數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列, ∴an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1. (2)因為an+1=2an+2n+1,所以=+1,又=1,
9、故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,=n,從而an=n·2n. (3)因為a1=2,an+1=, 所以2a=an,且an>0. 兩邊取對數(shù),得lg 2+2lg an+1=lg an, 化為lg an+1+lg 2=(lg an+lg 2), 因為lg a1+lg 2=2lg 2, 所以數(shù)列{lg an+lg 2}是以2lg 2為首項、為公比的等比數(shù)列,所以lg an+lg 2=2··lg 2. 所以an=222-n-1. 規(guī)律方法 此題通過兩邊同時取對數(shù),將一個復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.通常來說,我們可以將數(shù)列取對數(shù)后轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列.將等差數(shù)列放到指數(shù)函數(shù)y=ax中轉(zhuǎn)化為等比
10、數(shù)列. 【訓(xùn)練2】 (2018·蘇州期中)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. (1)求a1,a2的值; (2)求證:數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式. (1)解 由題意,得2a1=a2-3, ① 2(a1+a2)=a3-7.?、? 又因為a1,a2+5,a3成等差數(shù)列, 所以a1+a3=2a2+10, ③ 聯(lián)立①②③,解得a1=1,a2=5. (2)證明 由題意知,當(dāng)n∈N*時, 2(Sn+1-Sn)=an+2-an+1-2n+2+2n+1, 即an+2=3an+1+2n+1,an+
11、1=3an+2n(n≥2). 由(1)知,a2=3a1+2, 所以an+1=3an+2n(n∈N*), 所以an+1+2n+1=3an+2n+2n+1=3an+3×2n=3(an+2n). 又a1+2>0,所以an+2n>0, 所以=3, 所以數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列,且公比為3, 所以an+2n=(a1+2)×3n-1=3n,an=3n-2n. 考點三 由an與Sn的遞推關(guān)系求通項 【例3】 (一題多解)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=1,Sn=2(a1+an)(n≥2,n∈N*),求Sn. 解 法一 當(dāng)n=2時,S2=2(a1+a2), 從而得a2=-a1
12、=-1.當(dāng)n≥3時, 有Sn-1=2(a1+an-1),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2an-1.又a2≠2a1, 所以數(shù)列{an}是從第二項起以a2=-1為首項、2為公比的等比數(shù)列,所以當(dāng)n≥2時,Sn=1+=2-2n-1,又S1=a1=1=2-20,所以Sn=2- 2n-1. 法二 當(dāng)n=2時,S2=2(a1+a2),從而a2=-a1=-1. 當(dāng)n≥3時,an=Sn-Sn-1,所以Sn=2(1+Sn-Sn-1), 即Sn=2Sn-1-2,所以Sn-2=2(Sn-1-2). 又因為S2-2=-2,S1-2=-1,所以S2-2=2(S1-2), 所以
13、數(shù)列{Sn-2}是以-1為首項、2為公比的等比數(shù)列,從而Sn-2=(-1)·2n-1,所以Sn=2-2n-1. 規(guī)律方法 法一的思考方法是先求出數(shù)列{an}的通項公式,再求它的前n項和,所以將Sn轉(zhuǎn)化為an,通過研究an來求和;法二的思考方法是直接研究{Sn},所以將an轉(zhuǎn)化為Sn后再求它的通項.這是研究Sn與an的關(guān)系問題的常用的兩種解法,解題時要合理選擇. 【訓(xùn)練3】 (2018·蘇州調(diào)查)已知數(shù)列{an}共有2k項(k≥2,k∈N*),數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=2,an+1=(p-1)Sn+2(n=1,2,…,2k-1),其中常數(shù)p>1. (1)求證:數(shù)列{an}是
14、等比數(shù)列; (2)若p=2,數(shù)列{bn}滿足bn=log2(a1a2…an)(n=1,2,…,2k),求數(shù)列{bn}的通項公式. (1)證明 ∵an+1=(p-1)Sn+2(n=1,2,…,2k-1), ∴an=(p-1)Sn-1+2(n=2,3,…,2k), 兩式相減得an+1-an=(p-1)(Sn-Sn-1), 即an+1-an=(p-1)an,∴an+1=pan(n=2,3,…2k-1), 原式中,令n=1,得a2=(p-1)a1+2=pa1, ∴=p≠0(n=1,2,…,2k-1), ∴{an}是等比數(shù)列. (2)解 由(1)得an=a1pn-1,∴bn=log2(
15、a1a2…an) =log2(a1·a1p·a1p2·…·a1pn-1) =log2(a·p1+2+…+n-1) =log2(a1·p)=1+log2p=1+·=1+. 一、必做題 1.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式是________. 解析 ∵an=n(an+1-an),∴=, ∴an=···…···a1 =···…···1=n. 答案 an=n 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,那么的最小值為________. 解析 因為an+1-an=2n,a1=33,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a
16、2)+…+(an- an-1)=33+2+4+…+2(n-1)=n2-n+33,則=n+-1.令f(n)=n+-1,由y=x+的單調(diào)性知,當(dāng)n=6時,f(n)min=. 答案 3.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=1,an=-Sn·Sn-1(n≥2),則Sn=________. 解析 依題意得Sn-1-Sn=Sn-1·Sn(n≥2),整理得-=1.又==1,則數(shù)列是以1為首項、1為公差的等差數(shù)列,所以=1+(n-1)×1=n,即Sn=. 答案 4.已知函數(shù)f(x)由下表定義: x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 若a1=5,a
17、n+1=f(an)(n=1,2,…),則a2 017=________. 解析 a2=f(a1)=f(5)=2,a3=f(a2)=f(2)=1,a4=f(a3)=f(1)=4,a5=f(a4)=f(4)=5,可知數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列,所以a2 017=a4×504+1=a1=5. 答案 5 5.對于正項數(shù)列{an},定義Hn=為{an}的“蕙蘭”值,現(xiàn)知數(shù)列{an}的“蕙蘭”值為Hn=,則數(shù)列{an}的通項公式為________. 解析 由題意得=,即a1+2a2+3a3+…+nan=n2① 所以當(dāng)n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)2②,
18、 ①-②得 nan=n2-(n-1)2=2n-1?an=2-(n≥2),當(dāng)n=1時,a1=1,也滿足此通項公式,所以an=2-. 答案 an=2- 6.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,則數(shù)列{an}的前n項和為________. 解析 因為an+1=4an-3n+1,所以an+1-(n+1)=4(an-n),所以=4,所以數(shù)列{an-n}是以1為首項、4為公比的等比數(shù)列,所以an-n=4n-1,所以an=4n-1+n,所以Sn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n)=+=+. 答案?。?
19、7.若數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則an+2+an=________. 解析 由an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n[(-1)n-1an+2n-1]+2n+1 =-an+(-1)n(2n-1)+2n+1, 即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1. 答案 (-1)n(2n-1)+2n+1 8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. (1)證明 由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+
20、1), 又an+1≠0,所以=2,即{an+1}為等比數(shù)列. (2) 解 由(1)知an+1=(a1+1)qn-1, 即an=(a1+1)qn-1-1=2·2n-1-1=2n-1. 9.設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1=,bn+1=b+bn, (1)求證:=-; (2)若Tn=++…+,對任意的正整數(shù)n,3Tn-log2m-5>0恒成立.求m的取值范圍. (1)證明 ∵b1=,bn+1=b+bn=bn(bn+1), ∴對任意的n∈N*,bn>0. ∴==-,即=-. (2)解 Tn=++…+=-=2-. ∵bn+1-bn=b>0,∴bn+1>bn,∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
21、
∴數(shù)列{Tn}關(guān)于n遞增.∴Tn≥T1.
∵b1=,∴b2=b1(b1+1)=.∴T1=2-=.
∴Tn≥.∵3Tn-log2m-5>0恒成立.
∴l(xiāng)og2m<-3,∴0 22、1)知=,所以an=.
代入Sn=2-an,得Sn=2-.
設(shè)數(shù)列的前n項和為An,
則An=+++…+,
則An=++…++,兩式相減得
An=+++…+-=2-,
故An=4-.
所以Tn=2n-An=+2n-4.
二、選做題
11.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=,且a1=1.
(1)(一題多解)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令bn=ln an,是否存在k(k≥2,且k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列.若存在,求出所有符合條件的k值;若不存在,請說明理由.
解 (1)法一 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-,即=(n≥2).所以是首項為= 23、1的常數(shù)數(shù)列,所以=1,即an=n(n∈N*).
法二 同上,得(n-1)an=nan-1.同理得
nan+1=(n+1)an,所以2nan=n(an-1+an+1),即
2an=an-1+an+1,所以{an}成等差數(shù)列.又由a1=1,得a2=S2-a1,得a2=2,得an=1+(n-1)=n(n∈N*).
法三 同上,得=(n≥2),
所以an=···…···a1=··…···1=n,當(dāng)n=1時a1=1,也滿足an=n,所以an=n(n∈N*).
(2)假設(shè)存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列,則bkbk+2=b.因為bn=ln an=ln n,
所以bkbk+2=ln k·ln(k+2)<=<=[ln(k+1)]2=b,這與bkbk+2=b矛盾.
故不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列.
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